Решение №39782: Пусть \(а\) - меньшее основание, а \(b\) - большее, тогда площадь одного треугольника равна \(S_{1} = \fraq{1}{2}a \cdot h\), а второго \(S_{2} = \fraq{1}{2}b \cdot h\), где \(h\) - высота трапеции, следовательно, \(S_{1} = S_{2}\), только если \(a = b\), а это противоречит определению трапеции.

Ответ: Рассмотрим два многоугольника, на которые данная диагональ делит исходный многоугольник. В предыдущей задаче было доказано, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных. Тогда \(d < P_{1}\) и (d < P_{2}\), где \(d\) - длина диагонали, а \(P_{1}\) и \(P_{2}\) - периметры (без стороны, совпадающей с диагональю) многоугольников, на которые данный разбивает диагональ, но \(P_{1} + P_{2} = Р\). Тогда: \(2d < P\); \(d < \fraq{P}{2}\). Следовательно, диагональ многоугольника, периметр которого равен 20 см, не может быть равна 10 см.

Решение №39783: По определению параллелограмма: \(BC \parallel AD\), тогда \(\angle FBA = \angle EAB\) как внутренние накрест лежащие при \(ВC \parallel AD\) и секущей \(AB\). \(\angle FMB = \angle AME\) - как вертикальные. \(МВ = АМ\) по условию, тогда \(\Delta FBM = \Delta ЕАМ\) по стороне и двум углам, прилежащим к ней.

Ответ: NaN

Решение №39784: По теореме Пифагора: \(BM = \sqrt{BA^2 - AM^2} \Rightarrow BM < BA\); \(BN = \sqrt{BC^2 - CN^2} \Rightarrow BN < BC\); \(DF = \sqrt{DC^2 - CF^2} \Rightarrow DF < DC\); \(ED = \sqrt{AD^2 - EA^2} \Rightarrow ED < AD\). Складываем эти неравенства: \(BM + BN + DF + ED < BA + BC + CD + AD\).

Ответ: NaN

Решение №39785: Нет. Многоугольники называются равными, если они имеют равные соответствующие стороны. Условие равенства площадей не дает однозначного равенства сторон.

Ответ: NaN

Решение №39786: Нет. Например, прямоугольники со сторонами 3, 5 и 4, 4 имеют равные периметры 16, а их площади равны 15 и 16 соответственно.

Ответ: Нет.

Решение №39787: \(1 : 1\). Данная прямая делит высоту параллелограмма пополам, а следовательно, и площадь каждой части - половина лонади всего параллелограмма, следовательно, эти части равновелики.

Ответ: \(1 : 1\).

Решение №39788: a) Верно. Из теоремы Пифагора: \(a_{1} = \fraq{d}{\sqrt{2}}\) и (a_{2} = \fraq{d}{\sqrt{2}}\). б) Верно. Контрпример: пусть площади прямоугольников равны 12 \(см^2\), стороны одного из них равны 3 см и 4 см, а другого - 2 см и 6 см, следовательно, данные прямоугольники равновелики, но не равны. в) Верно: \(S_{1} = a_{1}^2\) и \(S_{2} = a_{2}^2\), если \(S_{1} = S_{2}\), то \(a_{1}^2 = a_{2}^2\), следовательно, \(a_{1} = a_{2}\), и квадраты равны.

Ответ: a) Верно; б) верно; в) верно.

Решение №39789: У прямоугольника. Пусть сторона квадрата равна \(a\), тогда стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\), \(b > a\). \(S_{кв.} = a^2\) и \(S_{пр.} = a \cdot b\); \(\fraq{S_{пр.}}{S_{кв.}} = \fraq{b}{a} >1\); \(S_{пр.} > S_{кв.}\).

Ответ: \(S_{пр.} > S_{кв.}\).

Решение №39790: \(S = 4 \cdot 5 = 20 (см^2)\).

Ответ: NaN

Решение №39791: \(S = 12 \cdot 1 = 12 (см^2)\). \(S = 3 \cdot 4 = 12 (см^2)\).

Ответ: NaN

Решение №39792: \(S_{ABCD} = S_{AB_{1}C_{1}D}\).

Ответ: NaN

Решение №39793: a) б)

Ответ: NaN

Решение №39794: a) \(AB = 9\) см, \(ВС = 4\) см. \(S = AB \cdot BC = 9 \cdot 4 = 36 (см^2)\). б) \(AB : BC = 5 : 7\); \(P_{ABCD} = 48\) см. \(P_{ABCD} = 2(AB + BC)\). Пусть \(АВ = 5х\), \(ВС = 7х\), следовательно: \(48 = 2(5x + 7x)\); \(48 = 24x\); \(x = 2\) (см). \(АВ = 5x\); \(АВ = 10\) см; \(ВС = 7х\); \(ВС = 14\) см; \(S = AB \cdot BC\); \(S = 10 \cdot 14 = 140 (см^2)\). в) \(AD = 12\); \(AC = 13\) см. По теореме Пифагора: \(CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\) (см). \(S = AD \cdot CD\); \(S = 5 \cdot 12 = 60 (см^2)\).

Ответ: a) \(36 см^2\); б) \(140 см^2\); в) \(60 см^2\).

Решение №39795: Площадь прямоурольника: \(S_{1} = bc\). Площадь квадрата: \(S_{2} = a^2\). \(a^2 = bc\); \(a^2 = 9 \cdot 25 = 225\); \(a = 15\) (см).

Ответ: 15 см.

Решение №39796: По теореме Пифагора: \(d = \sqrt{а^2 + а^2} = \sqrt{2}a\). Тогда сторона квадрата: \(a = \fraq{d}{\sqrt{2}}\) и его площадь: \(S = а^2\); \(S = \fraq{12^2 \cdot 2}{2} = 144 (м^2)\).

Ответ: \(144 (м^2)\).

Решение №39797: Площадь квадрата равна \(S = а^2\); тогда его сторона \(а = \sqrt{S}\); \(a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\) (см). Периметр квадрата: \(Р = 4а\); \(P = 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\) (см).

Ответ: \(16\sqrt{2}\) см.

Решение №39798: Площадь прямоугольника равна: \(S = а \cdot b\); но \(a = 2b\), тогда \(S = 2b^2\); \(2b^2 = 128\); \(b^2 = 64\); \(b = 8\) (см); \(а = 2b\), тогда \(а = 16\) (см).

Ответ: 8 см и 16 см.

Решение №39799: а) \(S = a \cdot h_{a}\); \(S = 10 \cdot 6 = 60 (см^2)\). б) \(S = a \cdot h_{a}\); отсюда \(a = \fraq{S}{h_{a}}\); \(a = \fraq{48}{4} = 12\) (см). в) (S = a \cdot h_{a}\); \(h_{a} = \fraq{S}{a}\); \(h_{a} = \fraq{120}{24} = 5\) (см).

Ответ: а) \(60 (см^2)\); б) 12 см; в) 5 см.

Решение №39800: По теореме Пифагора: \(b^2 = a^2 + d^2\). \(a = \sqrt{b^2 - d^2}\); \(a = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{64} = 8\) (см). \(S = a \cdot d\); \(S = 8 \cdot 15 = 120 (см^2)\).

Ответ: \(20 (см^2)\).

Решение №39801: \(S = a \cdot h_{a} \Rightarrow h_{a} = \fraq{S}{a}\); \(h_{a} = \fraq{96}{12} = 8\) (см). \(S = b \cdot h_{b} \Rightarrow h_{b} = \fraq{S}{b}\); \(h_{b} = \fraq{96}{16} = 6\) (см).

Ответ: 6 см и 8 см.

Решение №39802: \(S_{a} = a \cdot h_{a}\); \(S_{a} = 16 \cdot 9 = 144 (см^2)\); \(S_{b} = S_{a} = 144 (см^2)\) и \(S_{b} = b^2\); тогда \(b^2 = 144 (см^2)\); \(b = 12\) (см).

Ответ: 12 см.

Решение №39803: Площадь всей стены: \(S_{ст} = a \cdot b = 2,25 \cdot 1,8 = 4,05 (м^2) = 40 500 (см^2)\). Площадь одной плитки: \(S_{пл} = d^2\); \(S = 15^2 = 225 (см^2)\). Количество плиток: \(N = \fraq{S_{ст}}{S_{пл}} = \fraq{40 500}{225} = 180\).

Ответ: 180 плиток.

Решение №39804: Задача имеет два решения: a) \(ВС = 4\) см; \(AC\) - биссектриса, тогда \(\angle BAC = \angle CAE = 45^\circ\). Тогда \(\Delta АВС\) - равнобедренный то признаку. По определению равнобедренного треугольника \(AB = ВС\), тогда \(АВ = 4\) см; \(BD = BC + CD = 3 + 4 = 7\) (см). \(S = BD \cdot AB\); \(S = 7 \cdot 4 = 28 (см^2)\). б) \(ВС = 3\) см. Аналогично пункту а) доказывается, что \(ВС = АВ\), тогда \(S = AB \cdot BD\); \(S = 3 \cdot 7 = 21 (см^2)\).

Ответ: Задача имеет два решения: a) \(28 см^2\); б) \(21 см^2\).

Решение №39805: Пусть сторона \(a\) равна \(5х\), тогда \(b\) равна \(12х\). По теореме Пифагора: \(d^2 = a^2 + b^2\); \(d^2 = 25x^2 + 144x^2\); \(d^2 = 169x^2\); \(x = \fraq{d}{13}\); \(x = \fraq{26}{13} = 2\); \(а = 5 \cdot 2 = 10\) (см); \(b = 12 \cdot 2 = 24\) (см). \(S = a \cdot b\); \(S = 10 \cdot 24 = 240 (см^2)\).

Ответ: 240 \(см^2\).

Решение №39806: a) Периметр \(P = 2(а + b)\). Площадь \(S = a \cdot h_{a}\) и \(S = b \cdot h_{b}\) тогда: \(а \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}\). откуда \(b = a\fraq{h_{a}}{h_{b}}\) Тогда: \(Р = 2(a + a\fraq{h_{a}}{h_{b}}\); \(a = \fraq{P}{2 \cdot (1 + \fraq{h_{a}}{h_{b}})} = \fraq{P}{2h_{a} + h_{b}\); \(a = 12 см\) \(S = a \cdot h_{a}\); \(S = 12 \cdot 6 = 72 см^{2}\) Ответ: \(72 см^{2}\) б) По теореме Пифагора для \(\Delta ABE\): \(AB^{2} = BE^{2} + EA^{2}\), тогда: \(BE = \sqrt{AB^{2} - EA^{2}}\); \(BE = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 см\); \(AD = AE + ED\); \(AD = 10 см\). \(S = AD \cdot BE = 30 см^{2}\) Ответ: \(30 см^{2}\) в) Проведем \(BE \perp AD \rightarrow \Delta ABE\) - прямоугольный. T. к. \(\angle BAE = 30^\circ\), то \(BE = \fraq{1}{2} AB\) (как катет, лежащий против угла в \(30^\circ\)) \(\rightarrow BE = \fraq{1}{2} \cdot 8 = 4 (см)\). \(S = BC \cdot BE = 10 \cdot 4 = 40 (cm^{2})\). Построим треугольник \(ABB_{1}\) так, что: \(BB_{1} \perp AD\), \(\angle EAB_{1} \perp \angle EAB = 30^\circ\). Torда \(\Delta АВЕ\) и \(\Delta АВ_{1}Е\) п прямоугольные и \(\angle ABE = \angle AB_{1}E = 60^\circ\). \(\angle BAB_{1} = \angle BAE + \angle EAB_{1} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\) По признаку \(\Delta ABB_{1}\) - равносторонний, тогда по определению \(АВ = ВВ_{1} = АВ_{1}\) и по свойству медианы \(АЕ\) - медиана. Тогда \(ВЕ = \fraq{AB}{2}\). Площадь: \(S = BE \cdot AD\); \(S = \fraq{AB \cdot BC}{2}\); \(S = \fraq{8 \cdot}{2} = 40 см^{2}\) Ответ: \(40 см^{2}\).

Ответ: NaN

Решение №39807: \(S = AB \cdot BD\). По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} BD^{2} = BE^{2} + ED^{2} DC^{2} = CE^{2} + ED^{2} BD^{2} DC^{2} = BC^{2} \end{cases} \end{equation*} \) Вычтем из 1-го уравнения 2-е: \( \begin{equation*} \begin{cases} BD^{2} - DC^{2} = BE^{2} + EC^{2} BD^{2} + DC^{2} = BC^{2} \end{cases} \end{equation*} \) Сложим оба уравнения: \(2BD^{2} = BE^{2} + EC^{2} + BC^{2}\) \(BC = EB + EC = 9 + 4 = 13 (см)\) \(BD^{2} = \fraq{1}{2} \cdot (9^{2} + 4^{2} + 13^{2}) = \fraq{1}{2} \cdot (81 + 16 + 169) = 133\); \(AB^{2} = AD^{2} - BD^{2} = 36\); \(S = \sqrt{36 \cdot 133} = 6\sqrt{133}\) Ответ: \(6\sqrt{133}\) б) Т.к. \(\Delta ECD\) - прямоугольный, то \(\angle EDC = 45^\circ\), тогда \(\Delta EDC\) - равнобедренный \(\rightarrow EC = ED\) и по теореме Пифагора: \(EC^{2} + ED^{2} = CD^{2}\); \(2EC^{2} = CD^{2}\); \(EC = \fraq{4\sqrt{2}}{\sqrt{2} = 4 см\); \(EC = 4 см\) \(S = ED \cdot BC\); \(S = 4 \cdot 8 = 32 (см^{2})\). Ответ: \(32 см^{2}\).

Ответ: Ответ: \(32 см^{2}\)

Решение №39808: Периметр ромба \(Р = 4а\), отсюда \(a = \fraq{P}{4}\); \(a = \fraq{24}{4} = 6 (см)\) Площадь ромба \(S = a \cdot h\); \(h = \fraq{S}{a}\); \(h = \fraq{24}{6} = 4 (см)\).

Ответ: Ответ: высота ромба равна \(4 см\).

Решение №39809: По определению средней линии: \(А_{1}В_{1}\) - средняя линия \(\Delta ABC\); \(A_{1}D_{1}\) - средняя линия \(\Delta BAD\); \(D_{1}C_{1}\) - средняя линия \(\Delta ADC\); \(C_{1}B_{1}\) - средняя линия \(\Delta BCD\). По свойству средней линии: \(С_{1}В_{1} \parallel BD\); \(AВ_{1}B_{1} \parallel AC\)l \(AВ_{1}D_{1} \parallel BD\); \(D_{1}C_{1} \parallel AC\) и \(A_{1}D_{1} = B_{1}C_{1} = \fraq{BD}{2}\); \(A_{1}B_{1} = D_{1}C_{1} = \fraq{AC}{2}\) По свойству диагоналей ромба \(BD \perp AC\), тогда \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) - прямоугольник. Тогда \(S = A_{1}B_{1} \cdot A_{1}D_{1}\); \(S = \fraq{AC}{2} \cdot \fraq{BD}{2}\) \(S = \fraq{16}{2} \cdot \fraq{30}{2} = 120 (см^{2})\) Ответ: \(120 (см^{2}\)

Ответ: Ответ: \(120 (см^{2}\)

Решение №39810: По определению ромб явлется параллелограммом, тогда по свойству углов параллелограмма: \(\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\); \(\angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Тогда \(AH = \fraq{AB}{2}\) (см. решение задачи 551 (в)). По определению ромба \(AB = BC = CD = DA\), тогда \(ВС = AB = 2АН\). \(ВС = 5 \cdot 2 = 10 (см)\) . Площадь ромба \(S = AH \cdot BC\); \(S = 5 \cdot 10 = 50 (см^{2})\) Ответ: \(50 (см^{2})\)

Ответ: Ответ: \(50 (см^{2})\)

Решение №39811: По теореме Пифагора: \(BD = \sqrt(AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{AB^{2} + AB^{2}} = \(\sqrt{AB}\). Площади равны: \( \begin{equation*} \begin{cases} S_{ABCD} = AB^{2}; S_{A_{1}BDC_{1}} = BD^{2} \end{cases} \end{equation*} \) Тогда \(S_{A_{1}BDC_{1}} = (\sqrt{2} AB)^{2} = 2AB^{2} = 2S_{ABCD}\)

Ответ: NaN

Решение №39812: По определению квадрата \(BA = AD\), тогда по определению равнобедренного треугольника \(\Delta ABD\) -равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника \(\angle ABD = \angle BDA = 45^\circ\). Тогда \(\angle HBE = \angle HEB = \angle KED = \angle EDK = 45^\circ\), тогда \(\Delta ВНЕ\) и \(\Delta EKD\) равнобедренные по признаку и тогда \(ВН = НЕ\) и \(EK = KD\). Следовательно, сторона квадрата \(AD = HE + EK\). \(AD = 1,8 + 2,2 = 4,0 (м)\). Площадь этого квадрата \(S = AD^{2}\); \(S = 4 \cdot 4 = 16 (м^{2}\). Ответ: \(16 (м^{2}\)

Ответ: NaN

Решение №39813: Пo теореме о наклонной и перпендикуляре высота должна быть меньше наклонной, то есть высота \(15 см\) проведена к меньшей стороне, тогда площадь \(S = DA \cdot AB = 15 \cdot 12 = 180 (см^{2}) Ответ: \(180 см^{2})

Ответ: NaN

Решение №39814: По свойству противолежащих углов параллелограмма \(\angle BAE = \angle BCH\). \(\angle BAE + \angle ABC = 180^\circ\) внутренние односторонние при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(АВ\). Тогда: \(\angle EBH = \angle ABC - \angle ABE - \angle CBH = 180^\circ -\angle BAE - \angle ABE -\angle CBH\) \(\Delta ABE\) и \(Delta BCH\) прямоугольные, по теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABE = 90^\circ -\angle BAE\); \angle CBH = 90^\circ - \angle BCH - \angle BAE\), тогда \(\angle EBH = 180^\circ - \angle BAE - (90^\circ - \angle BAE) \cdot 2 = \angle BAE\) Тогда \(\angle BAE = 30^\circ\), а против угла в \(30^\circ\) в прямоугольном треугольнике лежит катет, вдвое меньший гипотенузы (см. доказательство в задаче 551 в). Тогда \(AB = CD = 2BE = 2 \cdot 12 = 24 (см)\). Площадь равна: \(S = AB \cdot HB = 24 \cdot 16 = 384 (см^{2})\). Ответ: \(384 см^{2}\).

Ответ: NaN

Решение №39815: Для того чтобы прямоугольник можно было бы сложить, \(Delta ECD\) должен быть подобен \(\Delta EBA\). Проверим это: \(\fraq{CD}{ED} = \fraq{3}{8}\); \(\fraq{BA}{EA} = \fraq{5}{13}\) На самом деле, из разрезанного таким образом квадрата можно сложить фигуру, показанную на рис. (б). Посередине этого прямоугольника дырка площадью \(1 см^{2}\).

Ответ: NaN

Решение №39816: По свойству диагоналей ромба \(BD\) - биссектриса \(\angle ABC\). Тогда по свойству биссектрисы для \(\Delta HBC\): \(\fraq{HB}{BC} = \fraq{OH}{OC} = \fraq{5}{13}\). Пусть \(НВ = 5х\), тогда \(ВС = 13х\). По теореме Пифагора для \(\Delta НВС\): \(НВ^2 + НC^2 = ВC^2\); а т. к. \(НС = НО + ОС\), то: \(5^2x^2 + (5 + 13)^2 = 13^2x^2\); \(18^2 = (169 - 25)х^2\); \(144x^2 = 18^2\); \(12x = 18\); \(x = \fraq{3}{2}\); \(BC = 13x = \fraq{13 \cdot 3}{2} = 19,5\) (см). Площадь \(S = AB \cdot HC\). По определению ромба \(АВ = ВС\). Тогда: \(S = BC \cdot HC\); \(S = 19,5 \cdot 18 = 351 (см^2)\).

Ответ: \(351 (см^2)\).

Решение №39817: По теореме Пифагора для \(\Delta ACH\): \(АС^2 = АH^2 + HC^2\); \(АH^2 = АC^2 - HC^2\); \(АH^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25\); \(АН = 5\) (см). Пусть \(АВ = х\), тогда \(НВ = х - 5\). По определению ромба \(ВС = АВ = х\). По теореме Пифагора для \(\Delta НВС\): \(HB^2 + HC^2 = BC^2\); \((x - 5)^2 + 12^2 = x^2\); \(x^2 - 10x + 25 + 144 = x^2\); \(10x = 169\); \(x = 16,9\). Тогда \(АВ = 16,9\) (см). Площадь: \(S = AB \cdot HC = 12 \cdot 16,9 = 202,8 (см^2)\).

Ответ: \(202,8 (см^2)\).

Решение №39818: \(BC \parallel ID\) - по определению трапеции; \(BI \parallel CD\) - по условию, тогда \(BIDC\) - параллелограмм, следовательно, биссектриса \(ВІ\) делит трапецию на треугольник и параллелограмм. \(\angle BAI + \angle ABC = 180^\circ\) - внутренние односторонние при \(BC \parallel AD\) и секущей \(АВ\); \(\angle IBC = \angle ABI\) - по определению биссектрисы; \(\angle IBC = \angle IDC\) - по свойству противолежащих углов параллелограмма; \(\angle BAI = \angle IDC\) - по свойству углов равнобедренной трапеции, тогда: \(\angle BAI = \angle ABI = \angle IBC \Rightarrow 3\angle BAI = 180^\circ\); \(\angle BAI = 60^\circ\); \(\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\); \(\angle BCD = \angle ABC = 120^\circ\); \(\angle CDI = \angle BAI = 60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\) и \(120^\circ\). Биссектриса делит трапецию на треугольник и параллелограмм.

Решение №39819: \(\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\) - внутренние односторонние при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(АВ\), тогда: \(\angle DBC = 180^\circ - \angle ABD - \angle BAD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). \(\angle DBC = \angle BDA\) - внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(BD\), тогда \(\angle BAD = \angle BDA = 45^\circ\), тогда по признаку \(\Delta ABD\) - равнобедренный и по определению \(AB = BD\). По теореме Пифагора: \(AD^2 = AB^2 + BD^2 = 2AB^2 = 2BD^2\); \(AB = BD = \fraq{AD}{\sqrt{2}}\). Площадь параллелограмма \(S = AB \cdot BD = \fraq{AD^2}{2} = \fraq{16}{2} = 8 (см^2)\). \(\Delta BCD = \Delta BAD\) и \(\Delta АВС = \Delta АСD\) по двум сторонам и углу между ними, тогда \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}S = 4 (см^2)\); \(S_{BCD} = \fraq{1}{2}S = 4 (см^2)\).

Ответ: \(4 (см^2)\).

Решение №39820: \(S_{ABCD} = 2S\). (Диагональ \(СА\) делит площадь параллелограмма на два равных треугольника: \(\Delta АВС = \Delta АСD\).)

Ответ: \(S_{ABCD} = 2S\).

Решение №39821: a) \(S = \fraq{1}{2}c \cdot h_{c}\); б) \(S = \fraq{1}{2}a \cdot b\).

Ответ: a) \(S = \fraq{1}{2}c \cdot h_{c}\); б) \(S = \fraq{1}{2}a \cdot b\).

Решение №39822: Да. Пусть \(S_{1}\) и \(S_{2}\) - площади треугольников, а \(h_{1}\) и \(h_{2}\) - высоты соответственно, тогда для оснований \(a_{1}\) и \(a_{2}\) , получим: \(S_{1} = \fraq{1}{2}a_{1}h_{1}\) и \(S_{2} = \fraq{1}{2}a_{2}h_{2}\), откуда \(a_{1} = \fraq{2S_{1}}{h_{1}}\) и \(a_{2} = \fraq{2S_{2}}{h_{2}}\). Если \(S_{1} = S_{2}\) и \(h_{1} = h_{2}\), то \(a_{2} = \fraq{2S_{1}}{h_{1}} = a_{1}\).

Ответ: Да.

Решение №39823: Нет. Площадь трапеции определяется формулой: \(S = \fraq{a + b}{2} \cdot h\). Например, две трапеции с равными высотами и имеющие основания \(а_{1} = 3\) см, \(b_{1} = 4\) см и \(а_{2} = 2\) см, \(b_{2} = 5\) см будут иметь одинаковые площади.

Ответ: Нет.

Решение №39824: Пусть \(а\) - меньшее основание, а \(b\) - большее, тогда площадь одного треугольника равна \(S_{1} = \fraq{1}{2}a \cdot h\), а второго \(S_{2} = \fraq{1}{2}b \cdot h\), где \(h\) - высота трапеции, следовательно, \(S_{1} = S_{2}\), только если \(a = b\), а это противоречит определению трапеции.

Ответ: Пусть \(а\) - меньшее основание, а \(b\) - большее, тогда площадь одного треугольника равна \(S_{1} = \fraq{1}{2}a \cdot h\), а второго \(S_{2} = \fraq{1}{2}b \cdot h\), где \(h\) - высота трапеции, следовательно, \(S_{1} = S_{2}\), только если \(a = b\), а это противоречит определению трапеции.

Решение №39825: a) \(АС = 5\) см; \(ВН = 3\) см; \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AC \cdot BH\); \(S_{ABC} = \fraq{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7,5 (см^2)\); б) \(АН = 1,8\) см; \(НС = 3,2\) (см); \(S_{ABH} = \fraq{1}{2}AH \cdot BH = 2,7 (см^2)\); \(S_{BHC} = \fraq{1}{2}HC \cdot BH = 4,8 (см^2)\).

Ответ: a) \(7,5 (см^2)\); б) \(S_{ABH} = 2,7 (см^2)\); \(S_{BHC} = 4,8 (см^2)\).

Решение №39826: a) \(BC = 2\) см; \(AD = 5\) см; \(BH = 2,5\) (см); \(S_{ABCD} = \fraq{BC + AD}{2} \cdot BH = \fraq{5 + 2}{2} \cdot 2,5 = 8,75 (см^2)\); б) \(S_{ABD} = \fraq{1}{2}BH \cdot AD = \fraq{2,5 \cdot 5}{2} = 6,25 (см^2)\); \(S_{BCD} = \fraq{1}{2}BH \cdot BC = \fraq{2 \cdot 2,5}{2} = 2,5 (см^2)\).

Ответ: a) \(8,75 (см^2)\); б) \(S_{ABD} = 6,25 (см^2)\); \(S_{BCD} = 2,5 (см^2)\).

Решение №39827: (\(BB_{1}\) - высота, проведенная к \(АС\)) a) \(S = BB_{1} \cdot \fraq{AC}{2} = \fraq{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 = 20 (см^2)\); б) \(S = \fraq{AB \cdot BC}{2} = \fraq{8 \cdot 6}{2} = 24 (см^2)\); в) По теореме Пифагора: \(AB^2 = BB_{1}^2 + AB_{1}^2\); \(\Delta АВС\) - равносторонний по признаку. По определению равностороннего треугольника \(АВ = ВС = CA\). По свойству высоты \(AB_{1} = B_{1}C = \fraq{АС}{2}\); тогда: \(BB_{1}^2 = AB^2 - (\fraq{AB}{2})^2 = \fraq{3}{4}AB^2\); \(BB_{1} = \fraq{\sqrt{3}}{2}AB\). Площадь равна: \(S = \fraq{1}{2}BB_{1} \cdot AC = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = 4\sqrt{3} (см^2)\).

Ответ: a) \(20 (см^2)\); б) \(24 (см^2)\); в) \(4\sqrt{3} (см^2)\).

Решение №39828: a) Площадь \(S = \fraq{1}{2}a \cdot h_{a}\). По теореме Пифагора: \(b^2 = h_{a}^2 + b_{a}^2\), \(b_{a}\) - проекция \(b\) на \(a\), по свойству высоты равнобедренного треугольника \(b_{a} = \fraq{a}{2}\), тогда \(h_{a} = \sqrt{b^2 - \fraq{a^2}{4}}\); \(h_{a} = \sqrt{13^2 - 25} = \sqrt{144} = 12\) (см). \(S = \fraq{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60 (см^2)\). б) По теореме Пифагора: \(АВ^2 = АH^2 + BH^2\); \(ВH^2 = АB^2 - HA^2\); \(BH = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\) (см). \(S = \fraq{1}{2}BH \cdot AC\); \(AC = AH + HC = 8 + 2 = 10\) (см). \(S = \fraq{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 = 75 (см^2)\).

Ответ: a) \(60 (см^2)\); б) \(75 (см^2)\).

Решение №39829: а) По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\); \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\); \(b = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{256} = 16\) (см). \(S = \fraq{1}{2}a \cdot b\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96 (см^2)\). б) \(\angle CAH = 90^\circ - \angle АСH = 45^\circ\) - по теореме о сумме углов треугольника. Тогда \(\angle CAH = \angle ACH\) и \(\Delta АСН\) - равнобедренный по признаку, тогда по определению равнобедренного треугольника \(AH = CH\). Тогда \(СН = 4\) см, \(СВ = НВ + CH = 4 + 2 = 6\) (см); \(S = \fraq{1}{2}AH \cdot CB = \fraq{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12 (см^2)\).

Ответ: а) \(96 (см^2)\); б) \(12 (см^2)\).

Решение №39830: Площадь \(S = h_{a} \cdot a \cdot \fraq{1}{2}\); \(a = \fraq{2S}{h_{a}}\); \(a = \fraq{2 \cdot 150}{15} = 20\) (см); \(b = \fraq{2S}{h_{b}}\); \(b = \fraq{2 \cdot 150}{12} = 25\) (см); \(c = \fraq{2S}{h_{c}}\); \(c = \fraq{2 \cdot 150}{20} = 15\) (см). \(P = a + b + c\); \(P = 20 + 25 + 15 = 60\) (см).

Ответ: 60 см.

Решение №39831: \(S = \fraq{1}{2}c \cdot h_{c}\); отсюда \(c = \fraq{2S}{h_{c}}\); \(c = \fraq{2 \cdot 10}{4} = 10\) (см).

Ответ: 10 см.

Решение №39832: Площадь квадрата \(S_{ABCD} = АВ^2 = 1\). \(\Delta BB_{1}A = \Delta DD_{1}C\) по стороне и двум углам, прилежащим к ней. \(S_{ABB_{1}} = S_{CDD_{1}} = \fraq{1}{2}AB \cdot a = \fraq{1}{2}a\) - площади \(\Delta ABB_{1}\) и \(\Delta CDD_{1}\). Тогда \(S_{B_{1}CD_{1}A} = S_{ABCD} - 2S_{ABB_{1}} = 1 - a\).

Ответ: \(1 - а\).

Решение №39833: \(S_{ABH} = \fraq{1}{2}HH_{1} \cdot AB\), но \(HH_{1} = BC = AB\) по определению квадрата, поэтому: \(S_{ABH} = \fraq{1}{2}AB^2\); \(S_{ABH} = \fraq{1}{2} \cdot 1 = 0,5\).

Ответ: 0,5.

Решение №39834: По свойству диагоналей ромба: \(AC \perp BD\) и \(AO = OC\); \(BO = OD\), тогда: \(\Delta AOD = \Delta OCD = \Delta ОСВ = \Delta ОВА\) - по двум сторонам и углу между ними, тогда: \(S_{ABCD} = 4S_{AOD}\); \(S_{AOD} = \fraq{1}{2}AO \cdot OD = \fraq{1}{2} \cdot \fraq{AC}{2} \cdot \fraq{OD}{2} = \fraq{8 \cdot 20}{8} = 2 (см^2)\); \(S_{ABCD} = 4 \cdot 20 = 80 (см^2)\).

Ответ: \(80 (см^2)\).

Решение №39835: \(S_{ABCD} = 4S_{AOD} = 4 \fraq{1}{2} \cdot \fraq{AC}{2} \cdot \fraq{BD}{2} = \fraq{AC \cdot BD}{2}\) (см. решение задачи № 579). Тогда: \(S_{ABCD} = \fraq{AC \cdot 2AC}{2} = AC^2\)\); отсюда: \(AC = \sqrt{S_{ABCD}}\): \(AC = \sqrt{64} = 8\) (см); \(BD = 2AC = 16\) (см).

Ответ: 8 см и 16 см.

Решение №39836: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(S_{ABC} = AC \cdot \fraq{BH}{2}\); \(S_{ADC} = AC \cdot \fraq{HD}{2}\), \end{cases} \end{equation*} \) но \(BH = HD + DB = 2HD\); \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}AC \cdot HD \cdot 2 = 2S_{ADC}\).

Ответ: NaN

Решение №39837: По свойству диагоналей параллелограмма: \(АO = OC\) и \(BO = OD\). Проводим высоты \(ВВ_{1}\) и \(OO_{1}\). \(\Delta BВ_{1}D \sim \Delta OO_{1}D\) по равному острому углу, тогда из подобия \(ВВ_{1} : OO_{1} = BD : OD = 2: 1\): \(ВВ_{1} = OO_{1}\). \(S_{AOD} = \fraq{1}{2}AD \cdot OO_{1}\); \(S_{ABD} = \fraq{1}{2}AD \cdot BB_{1} = AD \cdot OO_{1}\), но \(S_{AOB} = S_{ABD} = S_{AOD}\), тогда \(S_{AOB} = AD \cdot OO_{1} - \fraq{1}{2}AD \cdot OO_{1} = \fraq{1}{2}AD \cdot OO_{1} = S_{AOD}\).

Ответ: NaN

Решение №39838: а) Площадь трапеции находим по формуле \(S = \fraq{a + b}{2} \cdot h\), \(S = \fraq{4 + 10}{2} \cdot 6 = 42 (см^2)\). б) По свойству средней линии: \(с = \fraq{а + b}{2}\). Площадь трапеции: \(S = \fraq{a + b}{2} \cdot h = hc\); \(S = 8 \cdot 8 = 64 (см^2)\).

Ответ: а) \(42 (см^2)\); б) \(64 (см^2)\).

Решение №39839: Проводим высоты \(BB_{1}\) и \(CC_{1}\). Так как трапеция равнобедренная, то \(AB_{1} = C_{1}D = \fraq{AD - BC}{2} = \fraq{16 - 8}{2} = 4\) (см). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABB_{1} = 90^\circ - \angle BAB_{1} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ = \angle BAB_{1}\). Тогда по признаку \(\Delta ABB_{1}\) - равнобедренный. По определению равнобедренного треугольника \(АB_{1} = ВB_{1} = 4\) см. Площадь трапеции \(S = \fraq{BC+ AD}{2} \cdot BB_{1}\); \(S = \fraq{8 + 16}{2} \cdot 4 = 48 (см^2)\).

Ответ: \(48 (см^2)\).

Решение №39840: Проводим высоту \(СС_{1}\), тогда \(АС_{1} = ВС\) и \(С_{1}D = AD - BC\); \(С_{1}D = 10 - 6 = 4\) (см). По теореме Пифагора для \(\Delta СС_{1}D\): \(CD^2 = CС_{1}^2 + С_{1}D^2\); \(CС_{1} = \sqrt{CD^2 - С_{1}D^2}\); \(CС_{1} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3\) (см). Площадь трапеции: \(S = \fraq{AD+ BC}{2} \cdot CС_{1}\); \(S = \fraq{10 + 6}{2} \cdot 3 = 24 (см^2)\).

Ответ: \(24 (см^2)\).

Решение №39841: a) По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AB^2 = AH^2 + HB^2\); \(BC^2 = BH^2 + HC^2\); \end{cases} \end{equation*} \) тогда: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AH = \sqrt{AB^2 - HB^2}\); \(HC = \sqrt{BC^2 - BH^2}\); \(AH = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5\) (см); \(HC = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{82} = 9\) (см). \end{cases} \end{equation*} \) \(AC = AH + HC\); \(AC = 5 + 9 = 14\) (см). \(S = \fraq{1}{2}AC \cdot BH\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84 (см^2)\). Отвёт: \(84 (см^2)\). б) Из метрических соотношений \(h_{c} = \sqrt{4 \cdot 9} = 6\) (см) - длина высоты, проведенной к гипотенузе. По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(a^2 = a_{c}^2 + h_{c}^2\); \(b^2 = b_{c}^2 + h_{c}^2\); \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(a^2 = 9^2 + 6^2 = 117\); \(b^2 = 4^2 + 6^2 = 52\); \end{cases} \end{equation*} \) \(a =3\sqrt{13}\) (см); \(b = 2\sqrt{13}\) (см); \(S = \fraq{1}{2}ab\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 3\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{13} = 39 (см^2)\). Ответ: площадь прямоугольного тре-угольника равна 39 (см^2)\). в) По свойству высоты равностороннего треугольника она также является медианой, тогда, если \(a\) - сторона треугольника, по теореме Пифагора: \(a^2 = h^2 + (\fraq{a}{2})^2\); \(h^2 = \fraq{3}{4}a^2\); \(a = \fraq{2}{\sqrt{3}}h\); \(a = \fraq{2 \cdot 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 4\) (см). Площадь \(S = \fraq{1}{2}ah\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} (см^2)\). Ответ: 4\sqrt{3} (см^2)\).

Ответ: a) \(84 (см^2)\); б) \(39 (см^2)\); в) \(4\sqrt{3} (см^2)\).