Решение №38391: Пусть \(AB = A_{1}B_{1}\), \(АС = А_{1}C_{1}\) и \(\angle A + \angle A_{1} = 180^\circ\). Совместите стороны \(АВ\) и \(А_{1}В_{1}\) так, чтобы точки \(С\) и \(С_{1}\) лежали по разные стороны от прямой \(АВ\) (рис. 232). Тогда высоты треугольников \(АВС\) и \(А_{1}В_{1}С_{1}\), проведённые к сторонам \(АВ\) и \(А_{1}В_{1}\), совпадут.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38392: Пусть \(M\) - точка пересечения медиан треугольника \(АВС\), \(С_{1}\) - середина стороны \(АВ\). У треугольников \(АМС_{1}\) и \(ВМС_{1}\) равны стороны \(АС_{1}\) и \(ВС_{1}\) и равны высоты, проведённые к этим сторонам.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38393: Из равенства площадей треугольников \(АВР\) и \(АСР\) следует, что прямая \(АР\) равноудалена от точек \(В\) и \(С\). Такая прямая либо параллельна отрезку \(ВС\), либо проходит через его середину.

Ответ: NaN

Решение №38394: Прямые \(ВС\) и \(AD\) параллельны, поэтому треугольники \(АВС\) и \(DBC\) равновелики. Прямые \(CD\) и \(ВЕ\) параллельны, поэтому треугольники \(BCD\) и \(ECD\) равновелики.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38395: Из равенства площадей треугольников \(АОВ_{1}\) и \(АОС_{1}\) с общим основанием \(АО\) следует, что высоты, проведённые к этому основанию, равны. Поэтому из равенства углов \(ОАВ_{1}\) и \(ОAC_{1}\) следует, что \(AB_{1} = AC_{1}\). По свойству биссектрисы треугольника \(AB_{1} = \frac{bc}{a+c}\) и \(AC_{1} = \frac{bc}{a+b}\), где \(а = ВС\), \(b = СА\) и \(с = АВ\). Следовательно, \(b = с\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38396: Если углы \(А\) и \(А_{1}\) треугольников \(АВС\) и \(А_{1}В_{1}С_{1}\) равны, то их высоты, проведённые к сторонам \(АВ\) и \(А_{1}В_{1}\), пропорциональны сторонам \(АС\) и \(А_{1}С_{1}\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38397: Воспользуйтесь задачами 19.1 и 19.6.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38398: Отношение произведения площадей треугольников \(АОВ\) и \(COD\) к произведению площадей треугольников \(ВОС\) и \(AOD\) равно отношению произведения \(AO \cdot BO \cdot CO \cdot DO\) к произведению \(BO \cdot CO \cdot AO \cdot DO\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38399: Первый способ. Воспользуйтесь тем, что \(\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}} = \frac{AO \cdot BO}{AO \cdot DO} = \frac{BO}{DO} = \frac{OC}{AO} = \frac{BO \cdot OC}{AO \cdot BO} = \frac{S_{BOC}}{S_{AOB}}\). Второй способ. Воспользуйтесь задачей 19.8 и примером 1 на с. 74.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38400: Согласно свойству биссектрисы \(АС_{1} : АВ = b: (a + b)\) и \(AB_{1} : AC = c : (a + c)\). Поэтому отношение площади треугольника \(AB_{1}C_{1}\) к площади треугольника \(АВC\) равно \(\frac{bc}{(a+b)(a+c)}\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38401: Пусть точка \(М\) лежит на диагонали \(АС\). Тогда равны площади треугольников 1 и 2, 3 и 4 (рис. 233, а); площади треугольников \(АВС\) и \(ADC\) также равны. Пусть точка \(М\) не лежит на диагонали \(АС\). Тогда можно рассмотреть точку \(М_{1}\), в которой прямая, проходящая через точку \(М\) параллельно прямой \(АВ\), пересекает диагональ \(АС\), и сравнить площади параллелограммов с вершинами \(В\) и \(D\) для точек \(М\) и \(М_{1}\) (рис. 238, б).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38402: Проведите через вершины треугольника прямые, параллельные данному отрезку, и примите за основания параллелограммов их стороны, параллельные данному отрезку. Высоты параллелограммов, проведённые к этим основаниям, равны попарным расстояниям между проведёнными прямыми (рис. 234).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38403: Пусть отмеченные точки делят стороны параллелограмма так, как показано на рисунке 235. Тогда \(х_{1}y_{1} + (1 - х_{1})y_{2} + x_{2}(1 - y_{1}) + (1 - x_{2})(1 - y_{2}) = 1\), т. e. \((x_{1} - x_{2})(y_{1} - y_{2}) = 0.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38404: Сторона прямоугольника отрезает от квадрата прямоугольный треугольник, отношение катетов которого равно \(3 : 4\). Поэтому если сторона квадрата равна \(4х\), то стороны прямоугольника равны \(frac{4x}{5}\) и \(5x + frac{3x}{5}\).

Ответ: NaN

Решение №38405: Cначала докажите, что отношения длин отрезков такие, как показано на рисунке 236, а затем докажите, что площадь треугольника \(АРВ\) составляет \(frac{2}{7}\) от площади треугольника \(АВС\).

Ответ: NaN

Решение №38406: а) Площади треугольников \(АВС\) и \(DBC\) равны, поэтому точки \(А\) и \(D\) равноудалены от прямой \(ВС\). б) Согласно а) диагонали пятиугольника параллельны его сторонам. Пусть \(О\) - точка пересечения диагоналей \(АС\) и \(BD\), \(S_{AOB} = х\). Пятиугольник \(ABCDE\) можно разрезать на параллелограмм \(AODE\) и треугольники \(АОВ\) и \(ВСD\), поэтому его площадь равна \(3S + х\). Ясно, что \(S_{AOB} : S_{BOC} = AO : OC = S_{AOD} : S_{COD}\), т. e. \(x : (S - x) = S : x\). Поэтому \(x = \frac{\sqrd5-1}{2}S\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38407: Расстояние от точки \(М\) до прямой \(CD\) равно полусумме расстояний от точек \(А\) и \(В\) до этой прямой.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38408: Вычтите из обеих частей равенства, полученного в задаче 19.17, сумму площадей треугольников \(DKN\) и \(CNL\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38409: Tpeугольники \(АЕС\) и \(CBD\) подобны, и отношение их высот, проведенных из вершин \(Е\) и \(В\), равно \(АС : CD\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38410: Площадь четырёхугольника \(КЕСF\) меньше площади треугольника \(BFC\), а площадь этого треугольника равна четверти площади квадрата. Площадь треугольника \(AKF\) больше половины площади треугольника \(ABF\), поскольку \(FK > КВ\), а площадь треугольника \(AKF\) равна половине площади квадрата.

Ответ: NaN

Решение №38411: Пусть \(АР : PB = х : (1 - x)\), а площадь треугольника \(АВС\) равна 1. Тогда площади треугольников \(АМР\) и \(BNP\) равны \((1 - х)x^2 и (1 - х)^2 х\), а площадь треугольника \(RCQ\) равна \(х(1 - х)\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38412: Рассмотрите равносторонний треугольник и треугольник с углом, близким к \(180^\circ\).

Ответ: NaN

Решение №38413: Рассмотрите равнобедренный треугольник, основание которого мало по сравнению с боковой стороной.

Ответ: NaN

Решение №38414: Возьмите прямоугольник, отношение смежных сторон которого велико, и рассмотрите один из треугольников, на которые его разделяют диагонали.

Ответ: NaN

Решение №38415: Воспользуйтесь выражением для высоты треугольника, полученным в задаче 16.3.

Ответ: NaN

Решение №38416: Воспользуйтесь формулой Герона.

Ответ: NaN

Решение №38417: При увеличении чисел \(а\), \(b\) и \(с\) на 1 каждое из чисел \(р = \frac{а+ b + c}{2}\), \(p-а\), \(р-b\) и \(р-с\) увеличивается.

Ответ: NaN

Решение №38418: Пусть \(ВС = а\) и \(АС = b\). Тогда перпендикуляр, проведённый из точки \(В\) к прямой \(АС\), не превосходит \(а\). Этот перпендикуляр равен \(а\) в случае, когда угол \(С\) треугольника \(АВС\) прямой.

Ответ: NaN

Решение №38419: Зафиксируйте точки \(В\) и \(С\). Тогда точка \(А\) расположена на одной из двух дуг окружностей с общей хордой \(ВС\) (рис. 237). Серединный перпендикуляр к отрезку \(ВС\) пересекает эти дуги в двух точках, касательные к окружности в этих точках параллельны прямой \(ВС\). Высота треугольника \(АВС\) наибольшая, когда \(А\) - одна из этих точек.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38420: Проведите через вершины четырёхугольника прямые, параллельные его диагоналям. Эти прямые ограничивают параллелограмм, площадь которого вдвое больше площади четырёхугольника (рис. 238). Стороны этого параллелограмма равны \(а\) и \(b\), поэтому его наибольшая площадь равна \(ad\).

Ответ: NaN