№38411

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Биссектрисы \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) треугольника \(АВС\) пересекаются в точке \(О\). Докажите, что если площади треугольников \(АОВ_{1}\) и \(АОС_{1}\) равны, то треугольник \(АВС\) равнобедренный.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38395:

Из равенства площадей треугольников \(АОВ_{1}\) и \(АОС_{1}\) с общим основанием \(АО\) следует, что высоты, проведённые к этому основанию, равны. Поэтому из равенства углов \(ОАВ_{1}\) и \(ОAC_{1}\) следует, что \(AB_{1} = AC_{1}\). По свойству биссектрисы треугольника \(AB_{1} = \frac{bc}{a+c}\) и \(AC_{1} = \frac{bc}{a+b}\), где \(а = ВС\), \(b = СА\) и \(с = АВ\). Следовательно, \(b = с\).