№38422

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника \(ABCDE\) отсекает от него треугольник площадью \(S\). а) Докажите, что \(AD \parallel ВC\). b) Найдите площадь пятиугольника \(ABCDE\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38406:

а) Площади треугольников \(АВС\) и \(DBC\) равны, поэтому точки \(А\) и \(D\) равноудалены от прямой \(ВС\). б) Согласно а) диагонали пятиугольника параллельны его сторонам. Пусть \(О\) - точка пересечения диагоналей \(АС\) и \(BD\), \(S_{AOB} = х\). Пятиугольник \(ABCDE\) можно разрезать на параллелограмм \(AODE\) и треугольники \(АОВ\) и \(ВСD\), поэтому его площадь равна \(3S + х\). Ясно, что \(S_{AOB} : S_{BOC} = AO : OC = S_{AOD} : S_{COD}\), т. e. \(x : (S - x) = S : x\). Поэтому \(x = \frac{\sqrd5-1}{2}S\).