№38419

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На каждой из сторон параллелограмма отмечена точка так, что площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках оказалась равной половине площади параллелограмма. Докажите, что одна из диагоналей этого четырёхугольника параллельна стороне параллелограмма.

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38403:

Пусть отмеченные точки делят стороны параллелограмма так, как показано на рисунке 235. Тогда \(х_{1}y_{1} + (1 - х_{1})y_{2} + x_{2}(1 - y_{1}) + (1 - x_{2})(1 - y_{2}) = 1\), т. e. \((x_{1} - x_{2})(y_{1} - y_{2}) = 0. <br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№19.13.png'>