№38417

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Точка \(М\) расположена внутри параллелограмма \(ABCD\). Прямые, проходящие через эту точку параллельно сторонам параллелограмма, разбивают его на четыре параллелограмма. Докажите, что площади параллелограммов с вершинами \(В\) и \(D\) равны тогда и только тогда, когда точка \(М\) лежит на диагонали \(АС\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38401:

Пусть точка \(М\) лежит на диагонали \(АС\). Тогда равны площади треугольников 1 и 2, 3 и 4 (рис. 233, а); площади треугольников \(АВС\) и \(ADC\) также равны. Пусть точка \(М\) не лежит на диагонали \(АС\). Тогда можно рассмотреть точку \(М_{1}\), в которой прямая, проходящая через точку \(М\) параллельно прямой \(АВ\), пересекает диагональ \(АС\), и сравнить площади параллелограммов с вершинами \(В\) и \(D\) для точек \(М\) и \(М_{1}\) (рис. 238, б).<br> <img src='https://hot_data_kuzovkin_info_private.hb.bizmrg.com/picture_to_tasks/physics/erkovich/dinamic/№19.11.png'>