№38416

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

В треугольнике \(АВС\) проведены биссектрисы \(АА_{1}\), \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\). Докажите, что отношение площади треугольника \(А_{1}В_{1}С_{1}\) к площади треугольника \(АВС\) равно \(\frac{2abc}{(a + b)(b + c)(a + c)}\), где \(а\), \(b\) и \(с\) - длины сторон треугольника \(АВС\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38400:

Согласно свойству биссектрисы \(АС_{1} : АВ = b: (a + b)\) и \(AB_{1} : AC = c : (a + c)\). Поэтому отношение площади треугольника \(AB_{1}C_{1}\) к площади треугольника \(АВC\) равно \(\frac{bc}{(a+b)(a+c)}\).