№38427

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

На стороне \(АВ\) треугольника \(АВС\) отмечена точка \(Р\), а на сторонах \(ВС\) и \(АС\) отмечены точки \(Q\) и \(R\) так, что четырёхугольник \(PQCR\) - параллелограмм. Отрезки \(AQ\) и \(PR\) пересекаются в точке \(М\), а отрезки \(BR\) и \(PQ\) - в точке \(N\). Докажите, что сумма площадей треугольников \(АМР\) и \(BNP\) равна площади треугольника \(RCQ\).

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38411:

Пусть \(АР : PB = х : (1 - x)\), а площадь треугольника \(АВС\) равна 1. Тогда площади треугольников \(АМР\) и \(BNP\) равны \((1 - х)x^2 и (1 - х)^2 х\), а площадь треугольника \(RCQ\) равна \(х(1 - х)\).