№39822

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь параллелограмма, площадь четырехугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите площадь параллелограмма, если: а) его периметр равен \(42 см\), а длины высот - \(6 см\) и \(8 см\); б) его сторона равна \(5 см\), а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит другую сторону на отрезки длиной \(4 см\) и \(6 см\); в) его стороны равны \(8 см\) и \(10 см\), а острый угол - \(30^\circ\).

Ответ

NaN

Решение № 39806:

a) Периметр \(P = 2(а + b)\). Площадь \(S = a \cdot h_{a}\) и \(S = b \cdot h_{b}\) тогда: \(а \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}\). откуда \(b = a\fraq{h_{a}}{h_{b}}\) Тогда: \(Р = 2(a + a\fraq{h_{a}}{h_{b}}\); \(a = \fraq{P}{2 \cdot (1 + \fraq{h_{a}}{h_{b}})} = \fraq{P}{2h_{a} + h_{b}\); \(a = 12 см\) \(S = a \cdot h_{a}\); \(S = 12 \cdot 6 = 72 см^{2}\) Ответ: \(72 см^{2}\) б) По теореме Пифагора для \(\Delta ABE\): \(AB^{2} = BE^{2} + EA^{2}\), тогда: \(BE = \sqrt{AB^{2} - EA^{2}}\); \(BE = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 см\); \(AD = AE + ED\); \(AD = 10 см\). \(S = AD \cdot BE = 30 см^{2}\) Ответ: \(30 см^{2}\) в) Проведем \(BE \perp AD \rightarrow \Delta ABE\) - прямоугольный. T. к. \(\angle BAE = 30^\circ\), то \(BE = \fraq{1}{2} AB\) (как катет, лежащий против угла в \(30^\circ\)) \(\rightarrow BE = \fraq{1}{2} \cdot 8 = 4 (см)\). \(S = BC \cdot BE = 10 \cdot 4 = 40 (cm^{2})\). Построим треугольник \(ABB_{1}\) так, что: \(BB_{1} \perp AD\), \(\angle EAB_{1} \perp \angle EAB = 30^\circ\). Torда \(\Delta АВЕ\) и \(\Delta АВ_{1}Е\) п прямоугольные и \(\angle ABE = \angle AB_{1}E = 60^\circ\). \(\angle BAB_{1} = \angle BAE + \angle EAB_{1} = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\) По признаку \(\Delta ABB_{1}\) - равносторонний, тогда по определению \(АВ = ВВ_{1} = АВ_{1}\) и по свойству медианы \(АЕ\) - медиана. Тогда \(ВЕ = \fraq{AB}{2}\). Площадь: \(S = BE \cdot AD\); \(S = \fraq{AB \cdot BC}{2}\); \(S = \fraq{8 \cdot}{2} = 40 см^{2}\) Ответ: \(40 см^{2}\).