Решение №39256: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. Coседних вершин - 2, противолежащих - 1. Для вершины \(В\): соседние - \(А\) и \(С\); противолежащая - \(D\).

Ответ: Coседних вершин - 2, противолежащих - 1. Для вершины \(В\): соседние - \(А\) и \(С\); противолежащая - \(D\).

Решение №39257: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. Соседних сторон - 2; противоположных - 1. Для стороны \(AD\): соседние - \(AB\) и \(DC\), противолежащая - \(ВС\).

Ответ: Соседних сторон - 2; противоположных - 1. Для стороны \(AD\): соседние - \(AB\) и \(DC\), противолежащая - \(ВС\).

Решение №39258: Нет, не могут, т.к. если не является диагональю, значит, является стороной. А сторона соединяет соседние вершины.

Ответ: Нет, не могут.

Решение №39259: a) \(KM\) и \(ML\) - стороны \(\Rightarrow MN\) и \(KL\) - диагонали; б) \(KL\) - диагональ \(\Rightarrow\) соседние с \(К\) - вершины \(М\) и \(N\); в) нет, нельзя.

Ответ: a) \(KM\) и \(ML\) - стороны \(\Rightarrow MN\) и \(KL\) - диагонали; б) \(KL\) - диагональ \(\Rightarrow\) соседние с \(К\) - вершины \(М\) и \(N\); в) нет, нельзя.

Решение №39260: Если \(АВ = 9\) см, \(ВС = 12\) см, \(АС = 21\) см, то \(ABCD\) - не четырехугольник, т. к. вершины \(A\), \(В\), \(C\) лежат на одной прямой. \(AC = AB + ВС\) - нарушается неравенство треугольника.

Ответ: Если \(АВ = 9\) см, \(ВС = 12\) см, \(АС = 21\) см, то \(ABCD\) - не четырехугольник, т. к. вершины \(A\), \(В\), \(C\) лежат на одной прямой. \(AC = AB + ВС\) - нарушается неравенство треугольника.

Решение №39261: 1) Все острые быть не могут, т.к. тогда их сумма \(< 360^\circ\); 2) все тупые быть не могут, т.к. тогда их сумма \(> 360^\circ\); 3) все прямые - да. Пример: прямоугольник.

Ответ: 1) Все острые быть не могут, т.к. тогда их сумма \(< 360^\circ\); 2) все тупые быть не могут, т.к. тогда их сумма \(> 360^\circ\); 3) все прямые - да. Пример: прямоугольник.

Решение №39262: 1) Три острых - да; 2) три тупых - да; 3) два прямых - да; 4) три прямых и один не прямой - нет, т.к. нарушается теорема о сумме углов четырехугольника.

Ответ: 1) Три острых - да; 2) три тупых - да; 3) два прямых - да; 4) три прямых и один не прямой - нет, т.к. нарушается теорема о сумме углов четырехугольника.

Решение №39263: Не могут, т.к. сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), а сумма углов четырехугольника \(360^\circ \Rightarrow\) четвертый угол четырехугольника равен \(180^\circ\). Тогда три вершины четырехугольника лежат на одной прямой.

Ответ: Не могут, т.к. сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), а сумма углов четырехугольника \(360^\circ \Rightarrow\) четвертый угол четырехугольника равен \(180^\circ\). Тогда три вершины четырехугольника лежат на одной прямой.

Решение №39264: a) \(ABCD\) или \(ВСDD\)... Диагонали - \(BD\) и \(AC\). б) \(\angle D = 65^\circ\); \(\angle A = 94^\circ\); \(\angle B = 130^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольника \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). \(\angle C = 360^\circ - (65^\circ + 94^\circ + 130^\circ) = 71^\circ\).

Ответ: Диагонали - \(BD\) и \(AC\). б) \(\angle D = 65^\circ\); \(\angle A = 94^\circ\); \(\angle B = 130^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольника \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). \(\angle C = 360^\circ - (65^\circ + 94^\circ + 130^\circ) = 71^\circ\).

Решение №39265: a) \(ABCD\) - выпуклый по определению; 6) \(\angle ADK\) - смежный с \(\angle D\); \(\angle ADK = 70^\circ\); \(\angle DAL\) - смежный с \(\angle A\); \(\angle DAL = 75^\circ\); \(\angle FBC = 105^\circ\) - смежный с \(\angle B\); \(\angle MCB = 110^\circ\) - смежный с \(\angle C\). \(\angle ADK + \angle DAL + \angle FBC + \angle MCB = 70^\circ + 75^\circ + 105^\circ + 110^\circ = 360^\circ\).

Ответ: a) \(ABCD\) - выпуклый по определению; 6) \(\angle ADK\) - смежный с \(\angle D\); \(\angle ADK = 70^\circ\); \(\angle DAL\) - смежный с \(\angle A\); \(\angle DAL = 75^\circ\); \(\angle FBC = 105^\circ\) - смежный с \(\angle B\); \(\angle MCB = 110^\circ\) - смежный с \(\angle C\). \(\angle ADK + \angle DAL + \angle FBC + \angle MCB = 70^\circ + 75^\circ + 105^\circ + 110^\circ = 360^\circ\).

Решение №39266: дано: \(KLMN\) - четырехугольник. \(KN = 5\) см, \(NM = KN + 2\), \(ML = NM + 2\), \(KL = ML + 2\). Найти: \(Р\). \(KN = 5\) см; \(NM = KN + 2= 7\) см; \(ML = NM + 2 = 9\) cм; \(KL = ML + 2 = 11\) cм. \(P= KN+ NM+ML+LK = 7 + 5 + 9 + 11=32\) (cм). Ответ: \(32\) см.

Ответ: 32 см.

Решение №39267: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(P = 20\) см, \(CD\) составляет \(40 %\) от \(Р\). \(BC = BA=AD\). \(CD\) составляет \(40 %\) от \(P \longrightarrow CD = 0,4 \cdot 20 = 8\) (см). \(P = CD+ BC + BA + AD = 20\);\( 8 + 3BC= 20\); \(BC = \fraq{20 - 8}{3} =4\) (см). Ответ: 4 см,4 см, 4 см, 8 см.

Ответ: 4 см, 4 см, 4 см, 8 см.

Решение №39268: Дано: \(KLMN\) - четырехугольник. \(\angle K = \angle M\); \(\angle N = 80^\circ\); \(\angle L = 100^\circ\) Найти: наибольший угол. По теореме о сумме(углов четыреху-гольника: \(\angle K + \angle L + \angle M + \angle N = 360^\circ\); \(2 \angle K + 180^\circ = 360^\circ\) \(2 \angle K = 180^\circ\). \(\angle K = \angle N = 90^\circ\) Ответ: наибольший угол - \(100^\circ\).

Ответ: \(100^\circ\).

Решение №39269: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник; \(\angle A = \angle B\); \(\angle C = \angle D\); \(\angle A + \angle C = 160^\circ\). Найти: \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\), \(\angle D\). T. к. \(\angle A = \angle B\) и \(\angle B = 160^\circ\), то \(\angle A = \angle B = 80^\circ\) По теореме о сумме углов четырехугольника: \(\angle A +\angle B+ \angleC + \angleD = 360^\circ\). \(\angleB +\angleD = 360^\circ -(\angleA +\angleD) = 360^\circ- 160^\circ = 200^\circ\) . т. к. \(\angle C = \angle D\), то \(\angle C = \angle D = 100^\circ\). Ответ: \(80^\circ\) , \(80^\circ\) , \(100^\circ\) , \(100^\circ\).

Ответ: \(80^\circ\) , \(80^\circ\) , \(100^\circ\) , \(100^\circ\).

Решение №39270: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\) - тупые углы. Доказать: \(\angle D\) - острый. \(\angle A > 90^\circ\); \(\angle B > 90^\circ\); \(\angle C > 90^\circ\) . По теореме о сумме углов четырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\); LD =360°-(LA 2B + LC). LA +/B+ZC<270° =>/D < 360° - 270° = 90°. T. e. \(\angleD < 90^\circ\) ; \(\angle D\) - острый

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39271: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle A + \angle D + \angle C = 270^\circ\). Доказать: две стороны перпендикулярны. По теореме о сумме углов четырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\); \(\angle B = 360^\circ-(\angle A+ \angleC + \angle D) = 90^\circ \longrightarrow AB \perp BC\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39272: a) \(ABCD\) не является выпуклым, т.к. находится в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей сторону \(ВС\). Ответ: не может. б) \(ABCD\) выпуклый. Ответ: не может. в) Ответ: может.

Ответ: a) Нет; б) да; в) нет.

Решение №39273: Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(Р = 3\) дм, \(AB < ВС\) на 2 см; \(AB < CD\) на \(3\) см, \(AB < AD\) на \(5\) см. Найти: стороны \(ABCD\). \(Р= 3 дм = 30 см\); \(BС= AB + 2\); \(CD = AB + 3\) \(AD = AB + 5\); \(P = AB + BC + CD + AD\); \(30 = 4AB + 10\); \(AB = \fraq{30 - 10}{4} = 5 (см) \longrigtarrow BC = 7 см\); \(CD = 8 cм\); \(AD = 10 см\). Ответ: \(5 см\), \(7 см\), \(8 см\), \(10 см\).

Ответ: \(5 см\), \(7 см\), \(8 см\), \(10 см\).

Решение №39274: Дано: \(ABCD\) четырехугольник. \(AB: BC: CD: AD=3:4:5:6\); \(AB + AD = 18 cм\). Найти: \(Р\). Наименьшая сторона - \(Зх\), наибольшая сторона - \(6х\). \(3x + 6x = 18\); \(9x = 18\); \(x = 2 (см) \longrightarrow AB = 6 см\); \(BC = 8 cм\); \(CD = 10 cм\); \(AD = 12 cм\). \(P=AB + BC + CD+ AD = 6 + 8 + 10 + 12 = 36 (см)\). Ответ: \(36 см\)

Ответ: \(36 см\).

Решение №39275: Дано: \(ABCD\) - четырехугольник. \(\angle D < \angle A\) в 2 раза; \(\angle D < \angleC\) на \(20^\circ\); \( \angleD < \angle B\) на \(40^\circ\). Найти: углы \(ABCD\). По теореме о сумме угловчетырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\); \(\angle D < \angle A\) в 2 paзa \(\longrightarrow \angle A = 2\angle D\); \(\angle D < \angle C\) Ha. \(20^\circ \longrightarrow \angleD + 20^\circ = \angle C\); \(\angle D < \angle B\) на \(40^\circ \longrightarrow \angle D + 40^\circ = \angle B\); \(2 \angle D + \angle D + 40^\circ + \angleD + 20^\circ + \angle D = 360^\circ\); \(5 \angle D +60^\circ = 360^\circ\); \(\angle D= \fraq{360^\circ - 60\circ}{5} = 60^\circ\); \(\angle A = 120^\circ\) ; \(\angle B = 100^\circ\) ; \(\angle C = 80^\circ\). Ответ: \(60^\circ\), \(80^\circ\), \(100^\circ\), \(120^\circ\).

Ответ: 60;80;100;120

Решение №39276: Пусть \(\angle K + \angle L + \angle M = 240^\circ\); \(\angle L + \angle M + \angle N = 260^\circ\); \(\angle M + \angle N + \angle K = 280^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольника: \(\angle K + \angle L + \angle M + \angle N = 360^\circ \Rightarrow \angle N = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ\); \(\angle L = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ; \(\angle K = 360^\circ - 280^\circ = 80^\circ\); \(\angle M = 360^\circ - (\angle N + \angle K + \angle L) = 360^\circ - (120^\circ + 100^\circ + 80^\circ) = 60^\circ\).

Ответ: \(60^\circ\).

Решение №39277: Предположим, что в четырехугольнике нет тупого угла, т.е. \(\angle L\), \(\angle N\), \(\angle K \leq 90^\circ\). Тогда сумма всех углов четырехугольника меньше \(360^\circ\), что противоречит теореме о сумме углов четырехугольника. Т.е. предположение неверно \(\Rightarrow\) в четырехугольнике обязательно есть тупой угол.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39278: Предположим, что \(\angle N\) не является тупым, т.е. \(\angle N \leq 90^\circ \Rightarrow \angle L + \angle M \leq 90^\circ\). \(\angle L + \angle N + \angle M \leq 180^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольников: \(\angle L + \angle N + \angle M + \angle K = 360^\circ\); \(\angle K = 360^\circ - (\angle L + \angle N + \angle M) \geq 360^\circ - 180^\circ = 180^circ\). Но т. к. четырехугольник выпуклый, то \(\angle K\) не может быть \(\geq 180^\circ\). Следовательно, предположение неверно \(\Rightarrow \angle D\) - тупой.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39279: \(ABCD\) - выпуклый; \(ABCD_{1}\) - невыпуклый. \(Р_{АBCD} = P_{ABCD_{1}}\).

Ответ: NaN

Решение №39280: \(P_{ABC} = AB + BC + AC\); \(P_{ADC} = AD + DC + AC\). Сложим почленно: \(Р_{ABC} + P_{ADC} = (AB + BC + AC) + (AD + DC + AC)\); \(P_{ABC} + P_{ADC} = (AB + BC + DC + AD) + 2AC\); \(P_{ABC} + P_{ADC} = P_{ABCD} + 2AC\); \(15 + 22 = 23 + 2AC\); \(АС = (37 - 23) : 2 = 7\) (дм).

Ответ: 7 дм.

Решение №39281: Пусть \(\angle D = \angle C = \angle B = x^\circ\). Тогда \(\angle A = 3x^\circ - 240^\circ\). По теореме по сумме углов четырехугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\); \(3x + 3x - 240^\circ = 360^\circ\); \(6x = 600^\circ\); \(x = 100^\circ \Rightarrow \angle D = \angle B = \angle C = 100^\circ\), a \(\angle A = 60^\circ\).

Ответ: \(100^\circ\), \(100^\circ\), \(100^\circ\), \(60^\circ\).

Решение №39282: Предположим, что диагонали \(AC\) и \(BD\) не пересекаются \(\Rightarrow\) точки \(А\) и \(В\) лежат в одной полуплоскости относительно \(BD\). Через точки \(В\) и \(С\) проведём прямую. \(\Rightarrow\) Точки \(А\) и \(D\) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \(ВС\). \(\Rightarrow\) Четырехурольник \(ABCD\) находится в разных полуплоскостях относительно прямой \(BC\). \(\Rightarrow\) \(ABCD\) не является выпуклым четырехугольником \(\Rightarrow\) предположение не верно \(\Rightarrow AC\) и \(BD\) пересекаются.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39283: Предположим, что \(KL\) не лежит во внутренней области четырехугольника \(\Rightarrow\) существуют точки \(Е\) и \(F\) - точки пересечения \(KL\) со сторонами \(AD\) и \(CD\) четырехугольника \(ABCD\) и \(EF\) лежит вне четырехугольника \(\Rightarrow\) точки \(А\) и \(В\) лежат в разных полуплоскостях относительно прямой \(CD \Rightarrow\) четырехугольник \(ABCD\) не является выпуклым \(\Rightarrow\) предположение не верно. Следовательно, \(KL\) лежит во внутренней области четырехугольника.

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39284: \(\angle ABC = 60^\circ\). \(\angle B = 360^\circ - \alpha\) (по определению). Рассмотрим \(\Delta ADC\). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle D + \angle DCA + \angle DAC = 180^\circ\). По аксиоме измерения углов: \(\angle DCA = \angle DCB + \angle BCA\); \(\angle DAC = \angle DAB + \angle BAC \Rightarrow \angle D + (\angle DCB + \angle BCA) + (\angle DAB + \angle BAC) = 180^\circ\) (*). Рассмотрим \(\Delta АВС\). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ \Rightarrow \angle BAC + \angle BCA= 180^\circ - \alpha\). Подставим это выражение в (*): \(\angle D + \angle DCB + \angle DAB + 18^\circ - \alpha = 180^\circ \Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB = \alpha\). Добавим \(\angle B\) к обеим частям равенства \(\Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB + \angle B = \alpha + \angle B\); \(\angle B = 360^\circ - \alpha \Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB + \angle B = \alpha + 360^\circ - \alpha \Rightarrow \angle D + \angle A + \angle B + \angle C = 360^\circ\).

Ответ: Утверждение доказано.

Решение №39285: Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle PNK = \angle MKN\); \(\angle M = \angle P\). \(\angle PNK\) и \(\angle MKN\) являются внутренними накрест лежащими при прямых \(NP\) и \(МК \Rightarrow\) по признаку параллельности прямых \(NP \parallel MK\). \(\angle M = \angle P \Rightarrow \angle P = 65^\circ\).

Ответ: а) Утверждение доказано. б) \(65^\circ\).