№39294

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, общие свойства четырехугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Один из углов выпуклого четырехугольника равен сумме двух дру­ гих углов. Докажите, что данный угол является тупым.

Ответ

Утверждение доказано.

Решение № 39278:

Предположим, что \(\angle N\) не является тупым, т.е. \(\angle N \leq 90^\circ \Rightarrow \angle L + \angle M \leq 90^\circ\). \(\angle L + \angle N + \angle M \leq 180^\circ\). По теореме о сумме углов четырехугольников: \(\angle L + \angle N + \angle M + \angle K = 360^\circ\); \(\angle K = 360^\circ - (\angle L + \angle N + \angle M) \geq 360^\circ - 180^\circ = 180^circ\). Но т. к. четырехугольник выпуклый, то \(\angle K\) не может быть \(\geq 180^\circ\). Следовательно, предположение неверно \(\Rightarrow \angle D\) - тупой.