Задача №39300
№39300
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, Четырехугольники, общие свойства четырехугольника,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
В невыпуклом четырехугольнике \(АВСD\) градусной мерой угла при вершине \(В\) считают градусную меру \(\alpha\) угла \(АВС\), если хотя бы одна из внутренних точек отрезков \(СD\) или \(АD\) лежит во внутренней области угла \(АВС\) (см. рис. ниже), или \((360^\circ - \alpha)\), если ни одна внутренняя точка отрезков \(СD\) и \(АD\) не лежит во внутренней области угла \(АВС\) (см. рис. ниже). Докажите, что сумма углов невыпуклого четырехугольника равна \(360^\circ\).
Ответ
Утверждение доказано.
Решение № 39284:
\(\angle ABC = 60^\circ\). \(\angle B = 360^\circ - \alpha\) (по определению). Рассмотрим \(\Delta ADC\). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle D + \angle DCA + \angle DAC = 180^\circ\). По аксиоме измерения углов: \(\angle DCA = \angle DCB + \angle BCA\); \(\angle DAC = \angle DAB + \angle BAC \Rightarrow \angle D + (\angle DCB + \angle BCA) + (\angle DAB + \angle BAC) = 180^\circ\) (*). Рассмотрим \(\Delta АВС\). По теореме о сумме углов треугольника: \(\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ \Rightarrow \angle BAC + \angle BCA= 180^\circ - \alpha\). Подставим это выражение в (*): \(\angle D + \angle DCB + \angle DAB + 18^\circ - \alpha = 180^\circ \Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB = \alpha\). Добавим \(\angle B\) к обеим частям равенства \(\Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB + \angle B = \alpha + \angle B\); \(\angle B = 360^\circ - \alpha \Rightarrow \angle D + \angle DCB + \angle DAB + \angle B = \alpha + 360^\circ - \alpha \Rightarrow \angle D + \angle A + \angle B + \angle C = 360^\circ\).