Решение №38562: Искомая прямая изображена пунктиром на рисунке 248. Если прямая не проходит через вершины пятиконечной звезды, то три вершины звезды лежат по одну сторону от этой прямой и две из этих вершиц соединены звеном.

Ответ: NaN

Решение №38563: а) Возьмите одну из вершин. Вершину, с которой она не соединена звеном, можно выбрать тремя способами. После этого замкнутая ломаная проводится одно-значно. б) У незамкнутой ломаной есть две концевые вершины. Две вершины из четырех можно выбрать шестью способами. Возьмите одну из концевых вершин и соедините её с одной из двух оставшихся вершин. После этого незамкнутая ломаная строится однозначно.

Ответ: NaN

Решение №38564: а) Возьмите одну вершину. Чтобы провести из неё звенья, нужно выбрать две вершины из четырёх. Это делается шестью способами. После этого есть два способа построить замкиутую ломаную. б) Две не концевые вершины ломаной из пяти выбираются десятью способами. Затем из них шестью способами проводятся звенья. После этого незамкнутая ломаная строится однозначно.

Ответ: NaN

Решение №38565: См. рис. 249.

Ответ: NaN

Решение №38566: См. рис. 250.

Ответ: NaN

Решение №38567: Звенья ломаной разбиваются на пары, пересекающие друг друга.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38568: См. рис. 252.

Ответ: NaN

Решение №38569: См, рис. 253.

Ответ: NaN

Решение №38570: См. рис. 254.

Ответ: NaN

Решение №38571: Вели все углы выпуклого четырёхуголь-ника острые, то сумма его углов меньше \(360^\circ\).

Ответ: NaN

Решение №38572: Если \(\alpha > \beta + \gamma + \delta\) и \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^/circ\), то \(\alpha > 180^\circ\).

Ответ: NaN

Решение №38573: Пусть диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(Р\). Если диагонали перпендикулярны, то \(АВ^{2} + CD^{2} = AP^{2} + BP^{2} + CP^{2} + DP^{2} = AD^{2} + BC^{2}\). Предположите теперь, что \(АВ^{2} + CD^{2} = AD^{2} + BC^{2}. Тогда для точек \(М = В\) и \(M = D\) величина \(АМ^{2} - СМ^{2}\) принимает одно и то же значение, поэтому (задача 16.10) эти точки лежат на прямой, перпендикулярной прямой \(АС\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38574: Пусть \(М\) и \(N\) середины сторон \(АВ\) и \(CD\) выпуклого четырёхугольника \(ABCD\), \(Е\) и \(F\) точки пересечения диагоналей \(АС\) и \(BD\) с отрезком \(MN\). Точки \(А\) и \(В\) удалены от прямой \(МN\) на одно и то же расстояние \(h_{1}\), точки \(C\) и \(D\) удалены от прямой \(MN\) на расстояние \(h_{2}\). Поэтому \(AE : EC = h_{1} : h_{2} = BF : FD\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38575: Для площади \(S\) выпуклого четырёхугольника выполняются неравенства \(S \leq /frac{ab + cd}{2}\) и \(S \leq \frac{ad+bc}{2}\). Если оба эти неравенства обращаются в равенства, то все углы четырёхугольника прямые.

Ответ: NaN

Решение №38576: Для любой пары противоположных сторои выпуклого четы-рёхугольника сумма углов при одной стороне не меньше \(180^\circ\), Поэтому для одной из вершин четырёхугольника сумма углов при обеих сторонах, выходящих из этой вершины, не меньшие \(180^\circ\). Из четырёхугольника можно вырезать параллелограмм, вершинами которого являются эта вершина и соседние с ней.

Ответ: NaN

Решение №38577: Продолжив боковые стороны трапеции до пересечения, получим некоторый угол, содержащий трапецию. Трапеция лежит по одну сторону от каждой из сторон этого угла. Очевидно также, что трапеция лежит по одну сторону от каждого из оснований.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38578: Сначала, воспользовавшись свойством биссектрисы треугольника, докажите, что \(AC : AD = BC : BD\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38579: Пусть продолжения сторон \(AB\), \(ВС\), \(CD\) и \(DA\) касаются окружности в точках \(К\), \(L\), \(M\) и \(N\). Тогда \(AB + ВС = AK - BK + BL - CL = AK - CL\) и \(AD + DC = AN - DN + DM -CM = AN - CM = AK - CL\)

Ответ: NaN

Решение №38580: Пусть прямая MN, где М и N - середины сторон АВ и СД выпуклого четырёхутольника ABCD, образует равные углы с диагоналями. Рассмотрим середину К стороны AD. Отрезки КМ и КМ параллельны диагоналям и равны их по-ловинам. Поэтому треугольник МКМ равнобедренный и диагонали равны.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38581: Взяв две хорды \(ВА\) и \(ВС\), образующие равные углы с диаметром, можно построить треугольники \(ABD\) и \(CBD\), у которых стороны \(АВ\) и \(СВ\) равны и углы \(А\) и \(С\) равны (рис. 255, а). Из этих треугольников можно сложить требуемый четырёхугольник \(ABCD\) (рис. 255, 6)

Ответ: NaN

Решение №38582: Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Примените неравенство треугольника к тре-угольникам АОВ и COD.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38583: Воспользуйтесь задачей 23.21.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38584: Отметьте на лучах \(АВ\) и \(АС\) точки \(С_{1}\) и \(В_{1}\) так, что \(АС_{1} = АС\) и \(АВ_{1}= АВ\). Воспользуйтесь тем, что сумма сторон \(ВВ_{1}\) и \(СС_{1}\) четырёхугольника \(ВВ_{1}СС_{1}\) меньше суммы его диагоналей.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38585: Пусть четырёхугольник \(ABCD\) выпуклый, \(М\) - произвольная точка. Тогда \(AM + MC \geq AC\) и \(BM + MD \geq BD\). Если же \(O\) точка пересечениядиагоналей, то \(АО + ОС = АС\) и \(BO + OD = BD\).

Ответ: NaN

Решение №38586: Рассмотрите точку \(Q\) и корой луч до пересекает сторону четырехугольника, и запишите неравенства для \(АО + OQ\) и для \(BO\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38587: Воспользуйтесь неравенством \(AO + OB < AD + DC + СВ\) из задачи 28,25.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38588: Пусть вершины \(C\) и \(D\) лежат по разные стороны от прямой \(АВ\). Стороны \(АВ\) и \(CD\) не пересекаются, поэтому отрезок \(CD\) пересекает не отрезок \(АВ\), а его продолжение. Пусть для определённости он пересекает продолжение отрезка \(АВ\) за точку \(B\) (рис. 266). Тогда точка \(В\) лежит внутри треугольника \(ACD\), четырёхугольник \(ABCD\) лежит по одну стороцу от диагонали \(АС\) и по разные стороны от диагонали \(BD\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38589: Пусть невыпуклый четырехугольник ABCD лежит по одну сторону от диагонали АС и по разные стороны от диагонали BD. Тогда прямая ВД пересекает отрезок АС в некоторой точке K (cM. рис. 256). Если КВ < КД, то точка В лежит внутри треугольника ADC, а если KD < КВ, то точка D лежит внутри треугольника АВС.

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38590: Воспользуйтесь тем, что суммы углов треугольников \(АВС\) и \(ABD\) равны \(180^\circ\).

Ответ: Утверджение доказано.

Решение №38591: См. рис. 257.

Ответ: NaN