№38589

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.

Условие

Докажите, что диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны,

Ответ

Утверджение доказано.

Решение № 38573:

Пусть диагонали четырёхугольника \(ABCD\) пересекаются в точке \(Р\). Если диагонали перпендикулярны, то \(АВ^{2} + CD^{2} = AP^{2} + BP^{2} + CP^{2} + DP^{2} = AD^{2} + BC^{2}\). Предположите теперь, что \(АВ^{2} + CD^{2} = AD^{2} + BC^{2}. Тогда для точек \(М = В\) и \(M = D\) величина \(АМ^{2} - СМ^{2}\) принимает одно и то же значение, поэтому (задача 16.10) эти точки лежат на прямой, перпендикулярной прямой \(АС\).