№38596
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники, Выпуклые и невыпуклые многоугольники,
Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс
Сложность задачи : 3
Задача встречается в следующей книге: Прасолов В. В. Решение задач повышенной сложности по геометрии. 7–9 классы //М: Просвещение. – 2019.
Условие
Прямая, проходящая через середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, образует равные углы с его диагоналями. Докажите, что диагонали равны.
Ответ
Утверджение доказано.
Решение № 38580:
Пусть прямая MN, где М и N - середины сторон АВ и СД выпуклого четырёхутольника ABCD, образует равные углы с диагоналями. Рассмотрим середину К стороны AD. Отрезки КМ и КМ параллельны диагоналям и равны их по-ловинам. Поэтому треугольник МКМ равнобедренный и диагонали равны.