№39844

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь четырехугольника, площадь ромба, площадь треугольника, площадь трапеции,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите площадь: а) равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой сто­роной 13 см; б) треугольника \(АВС\), в котором \(АВ = 17\) см, а высота \(ВН\) делит сторону \(АС\) на отрезки \(АН = 8\) см и \(НС = 2\) см.

Ответ

a) \(60 (см^2)\); б) \(75 (см^2)\).

Решение № 39828:

a) Площадь \(S = \fraq{1}{2}a \cdot h_{a}\). По теореме Пифагора: \(b^2 = h_{a}^2 + b_{a}^2\), \(b_{a}\) - проекция \(b\) на \(a\), по свойству высоты равнобедренного треугольника \(b_{a} = \fraq{a}{2}\), тогда \(h_{a} = \sqrt{b^2 - \fraq{a^2}{4}}\); \(h_{a} = \sqrt{13^2 - 25} = \sqrt{144} = 12\) (см). \(S = \fraq{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60 (см^2)\). б) По теореме Пифагора: \(АВ^2 = АH^2 + BH^2\); \(ВH^2 = АB^2 - HA^2\); \(BH = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\) (см). \(S = \fraq{1}{2}BH \cdot AC\); \(AC = AH + HC = 8 + 2 = 10\) (см). \(S = \fraq{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 = 75 (см^2)\).