№39823

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь параллелограмма, площадь четырехугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Найдите площадь параллелограмма, если: а) его диагональ перпендикулярна стороне, а высота, проведенная из вершины тупого угла, делит другую сторону на отрезки длиной \(4 см\) и \(9 см\); б) его стороны равны \(4\sqrt{2} см\) и \(8 см\), а острый угол — \(45^\circ\).

Ответ

Ответ: \(32 см^{2}\)

Решение № 39807:

\(S = AB \cdot BD\). По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} BD^{2} = BE^{2} + ED^{2} DC^{2} = CE^{2} + ED^{2} BD^{2} DC^{2} = BC^{2} \end{cases} \end{equation*} \) Вычтем из 1-го уравнения 2-е: \( \begin{equation*} \begin{cases} BD^{2} - DC^{2} = BE^{2} + EC^{2} BD^{2} + DC^{2} = BC^{2} \end{cases} \end{equation*} \) Сложим оба уравнения: \(2BD^{2} = BE^{2} + EC^{2} + BC^{2}\) \(BC = EB + EC = 9 + 4 = 13 (см)\) \(BD^{2} = \fraq{1}{2} \cdot (9^{2} + 4^{2} + 13^{2}) = \fraq{1}{2} \cdot (81 + 16 + 169) = 133\); \(AB^{2} = AD^{2} - BD^{2} = 36\); \(S = \sqrt{36 \cdot 133} = 6\sqrt{133}\) Ответ: \(6\sqrt{133}\) б) Т.к. \(\Delta ECD\) - прямоугольный, то \(\angle EDC = 45^\circ\), тогда \(\Delta EDC\) - равнобедренный \(\rightarrow EC = ED\) и по теореме Пифагора: \(EC^{2} + ED^{2} = CD^{2}\); \(2EC^{2} = CD^{2}\); \(EC = \fraq{4\sqrt{2}}{\sqrt{2} = 4 см\); \(EC = 4 см\) \(S = ED \cdot BC\); \(S = 4 \cdot 8 = 32 (см^{2})\). Ответ: \(32 см^{2}\).