№39835

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь параллелограмма, площадь четырехугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

В параллелограмме \(АВСD\) диагональ \(BD\) является высотой, \(\angle А = 45^\circ\), \(АD = 4\) см. Найдите площади треугольников \(АВС\) и \(ВСD\).

Ответ

\(4 (см^2)\).

Решение № 39819:

\(\angle BAD + \angle ABC = 180^\circ\) - внутренние односторонние при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(АВ\), тогда: \(\angle DBC = 180^\circ - \angle ABD - \angle BAD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). \(\angle DBC = \angle BDA\) - внутренние накрест лежащие при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(BD\), тогда \(\angle BAD = \angle BDA = 45^\circ\), тогда по признаку \(\Delta ABD\) - равнобедренный и по определению \(AB = BD\). По теореме Пифагора: \(AD^2 = AB^2 + BD^2 = 2AB^2 = 2BD^2\); \(AB = BD = \fraq{AD}{\sqrt{2}}\). Площадь параллелограмма \(S = AB \cdot BD = \fraq{AD^2}{2} = \fraq{16}{2} = 8 (см^2)\). \(\Delta BCD = \Delta BAD\) и \(\Delta АВС = \Delta АСD\) по двум сторонам и углу между ними, тогда \(S_{ABC} = \fraq{1}{2}S = 4 (см^2)\); \(S_{BCD} = \fraq{1}{2}S = 4 (см^2)\).