№39825

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь параллелограмма, площадь четырехугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Диагонали ромба равны \(16 см\) и \(30 см\). Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба.

Ответ

Ответ: \(120 (см^{2}\)

Решение № 39809:

По определению средней линии: \(А_{1}В_{1}\) - средняя линия \(\Delta ABC\); \(A_{1}D_{1}\) - средняя линия \(\Delta BAD\); \(D_{1}C_{1}\) - средняя линия \(\Delta ADC\); \(C_{1}B_{1}\) - средняя линия \(\Delta BCD\). По свойству средней линии: \(С_{1}В_{1} \parallel BD\); \(AВ_{1}B_{1} \parallel AC\)l \(AВ_{1}D_{1} \parallel BD\); \(D_{1}C_{1} \parallel AC\) и \(A_{1}D_{1} = B_{1}C_{1} = \fraq{BD}{2}\); \(A_{1}B_{1} = D_{1}C_{1} = \fraq{AC}{2}\) По свойству диагоналей ромба \(BD \perp AC\), тогда \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) - прямоугольник. Тогда \(S = A_{1}B_{1} \cdot A_{1}D_{1}\); \(S = \fraq{AC}{2} \cdot \fraq{BD}{2}\) \(S = \fraq{16}{2} \cdot \fraq{30}{2} = 120 (см^{2})\) Ответ: \(120 (см^{2}\)