№39798

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, многоугольники,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Периметр выпуклого многоугольника равен 20 см. Может ли его диагональ быть равной 10 см? Ответ обоснуйте.

Ответ

Рассмотрим два многоугольника, на которые данная диагональ делит исходный многоугольник. В предыдущей задаче было доказано, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных. Тогда \(d < P_{1}\) и (d < P_{2}\), где \(d\) - длина диагонали, а \(P_{1}\) и \(P_{2}\) - периметры (без стороны, совпадающей с диагональю) многоугольников, на которые данный разбивает диагональ, но \(P_{1} + P_{2} = Р\). Тогда: \(2d < P\); \(d < \fraq{P}{2}\). Следовательно, диагональ многоугольника, периметр которого равен 20 см, не может быть равна 10 см.

Решение № 39782:

Пусть \(а\) - меньшее основание, а \(b\) - большее, тогда площадь одного треугольника равна \(S_{1} = \fraq{1}{2}a \cdot h\), а второго \(S_{2} = \fraq{1}{2}b \cdot h\), где \(h\) - высота трапеции, следовательно, \(S_{1} = S_{2}\), только если \(a = b\), а это противоречит определению трапеции.