№39832

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь параллелограмма, площадь четырехугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Диагональ ромба делит его высоту, проведенную из вершины, на отрезки длиной 13 см и 5 см. Найдите площадь ромба.

Ответ

\(351 (см^2)\).

Решение № 39816:

По свойству диагоналей ромба \(BD\) - биссектриса \(\angle ABC\). Тогда по свойству биссектрисы для \(\Delta HBC\): \(\fraq{HB}{BC} = \fraq{OH}{OC} = \fraq{5}{13}\). Пусть \(НВ = 5х\), тогда \(ВС = 13х\). По теореме Пифагора для \(\Delta НВС\): \(НВ^2 + НC^2 = ВC^2\); а т. к. \(НС = НО + ОС\), то: \(5^2x^2 + (5 + 13)^2 = 13^2x^2\); \(18^2 = (169 - 25)х^2\); \(144x^2 = 18^2\); \(12x = 18\); \(x = \fraq{3}{2}\); \(BC = 13x = \fraq{13 \cdot 3}{2} = 19,5\) (см). Площадь \(S = AB \cdot HC\). По определению ромба \(АВ = ВС\). Тогда: \(S = BC \cdot HC\); \(S = 19,5 \cdot 18 = 351 (см^2)\).