№39830

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь параллелограмма, площадь четырехугольника,

Задача в следующих классах: 8 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.

Условие

Высоты параллелограмма равны \(12 см\) и \(16 см\), а угол между ними — \(30^\circ\). Найдите площадь параллелограмма.

Ответ

NaN

Решение № 39814:

По свойству противолежащих углов параллелограмма \(\angle BAE = \angle BCH\). \(\angle BAE + \angle ABC = 180^\circ\) внутренние односторонние при \(ВС \parallel AD\) и секущей \(АВ\). Тогда: \(\angle EBH = \angle ABC - \angle ABE - \angle CBH = 180^\circ -\angle BAE - \angle ABE -\angle CBH\) \(\Delta ABE\) и \(Delta BCH\) прямоугольные, по теореме о сумме углов треугольника: \(\angle ABE = 90^\circ -\angle BAE\); \angle CBH = 90^\circ - \angle BCH - \angle BAE\), тогда \(\angle EBH = 180^\circ - \angle BAE - (90^\circ - \angle BAE) \cdot 2 = \angle BAE\) Тогда \(\angle BAE = 30^\circ\), а против угла в \(30^\circ\) в прямоугольном треугольнике лежит катет, вдвое меньший гипотенузы (см. доказательство в задаче 551 в). Тогда \(AB = CD = 2BE = 2 \cdot 12 = 24 (см)\). Площадь равна: \(S = AB \cdot HB = 24 \cdot 16 = 384 (см^{2})\). Ответ: \(384 см^{2}\).