№39857
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Геометрия, Планиметрия, площадь, площадь четырехугольника, площадь ромба, площадь треугольника, площадь трапеции,
Задача в следующих классах: 8 класс
Сложность задачи : 2
Задача встречается в следующей книге: Ершова А. П. Е 80 Геометрия : учебник для 8 кл. общеобразоват. учеб, заведений с обучением на рус. яз. : [пер. с укр.]/А. П. Ершова, В. В. Голобородько, А. Ф. Крижановский, С. В. Ершов. — Харьков : Изд-во «Ранок», 2016. — 256 с. : ил.
Условие
Найдите площадь: а) треугольника \(АВС\) с высотой \(ВН\), если \(АВ = 13\) см, \(ВС = 15\) см, \(ВН = 12\) см, а точка \(Н\) лежит на отрезке \(АС\); б) прямоугольного треугольника, гипотенуза которого делится высотой на отрезки длиной 9 см и 4 см; в) равностороннего треугольника с высотой \(2\sqrt{3}\) см.
Ответ
a) \(84 (см^2)\); б) \(39 (см^2)\); в) \(4\sqrt{3} (см^2)\).
Решение № 39841:
a) По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AB^2 = AH^2 + HB^2\); \(BC^2 = BH^2 + HC^2\); \end{cases} \end{equation*} \) тогда: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(AH = \sqrt{AB^2 - HB^2}\); \(HC = \sqrt{BC^2 - BH^2}\); \(AH = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5\) (см); \(HC = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{82} = 9\) (см). \end{cases} \end{equation*} \) \(AC = AH + HC\); \(AC = 5 + 9 = 14\) (см). \(S = \fraq{1}{2}AC \cdot BH\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84 (см^2)\). Отвёт: \(84 (см^2)\). б) Из метрических соотношений \(h_{c} = \sqrt{4 \cdot 9} = 6\) (см) - длина высоты, проведенной к гипотенузе. По теореме Пифагора: \( \begin{equation*} \begin{cases} \(a^2 = a_{c}^2 + h_{c}^2\); \(b^2 = b_{c}^2 + h_{c}^2\); \end{cases} \end{equation*} \) \( \begin{equation*} \begin{cases} \(a^2 = 9^2 + 6^2 = 117\); \(b^2 = 4^2 + 6^2 = 52\); \end{cases} \end{equation*} \) \(a =3\sqrt{13}\) (см); \(b = 2\sqrt{13}\) (см); \(S = \fraq{1}{2}ab\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 3\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{13} = 39 (см^2)\). Ответ: площадь прямоугольного тре-угольника равна 39 (см^2)\). в) По свойству высоты равностороннего треугольника она также является медианой, тогда, если \(a\) - сторона треугольника, по теореме Пифагора: \(a^2 = h^2 + (\fraq{a}{2})^2\); \(h^2 = \fraq{3}{4}a^2\); \(a = \fraq{2}{\sqrt{3}}h\); \(a = \fraq{2 \cdot 2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 4\) (см). Площадь \(S = \fraq{1}{2}ah\); \(S = \fraq{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} (см^2)\). Ответ: 4\sqrt{3} (см^2)\).