Решение №35779: 5

Ответ: 5

Решение №35780: 0.19

Ответ: 19

Решение №35781: 0.10225

Ответ: 10.225

Решение №35782: 9

Ответ: 9

Решение №35783: 14

Ответ: 14

Решение №35784: 17

Ответ: 17

Решение №35785: 67 тыс. рублей

Ответ: 67000

Решение №35786: 15 млн рублей

Ответ: 15000000

Решение №35787: 400000 рублей

Ответ: 400000

Решение №35788: 3

Ответ: 3

Решение №35789: 14

Ответ: 14

Решение №35790: 1250 рублей

Ответ: 1250

Решение №35791: 3 млн рублей

Ответ: 3000000

Решение №35792: 4 млн рублей

Ответ: 4000000

Решение №35793: 880000 рублей

Ответ: 880000

Решение №35794: 1300000 рублей

Ответ: 1300000

Решение №35795: Зарплата \(x\) рабочих и бригадира равна \(f(x)=2000+450x\). По условию \(f(x)\leq 30000\), то есть \(x\leq 62\frac{2}{9}\). Линейная функция \(y=2000+450x\) — возрастающая, поэтому своё наибольшее значение она принимает на правом конце промежутка. Но по условию \(x\) — число натуральное, поэтому наибольшее значение будет при \(x=62\), при этом наибольшее значение будет равно \(f(62)=29900\). Подрядчик может потратить на зарплату не более 29900 рублей. Ответ: 29900 рублей.

Ответ: 29900

Решение №35796: Согласно условию должно выполняться неравенство \(pq\geq 10800\), то есть \((450-3p)p\geq 10800\). Сократив обе части неравенства на 3 и раскрыв скобки, получим: \(150p-p^{2}\geq 3600\); \(p^{2}-150p+3600\leq 0\). Найдём корни уравнения \(p^{2}-150p+3600=0\): \(p_{1, 2}=\frac{150\pm \sqrt{22500-14400}}{2}=\frac{150\pm \sqrt{8100}}{2}=\frac{150\pm 90}{2}\). Неравенство примет вид \(p_{1}=30\), \(p_{2}=120\). Решением рассматриваемого неравенства (см. рис. ниже) будет отрезок \([30; 120]\), и потому наименьшее подходящее значение \(p\) равно 30. Ответ: 30.

Ответ: 30

Решение №35797: По условию выручка за месяц равна \(r=qp=(280-2p)p\). Графиком квадратичной функции \(r=-2p^{2}+280p\) является парабола, направленная ветвями вниз. Следовательно, эта функция принимает наибольшее значение в точке \(p=\frac{-280}{2\cdot (-2)}=70\). При цене 70 тыс. рублей месячная выручка \(r(p)\) будет равна \(r(70)=-2\cdot 70^{2}+280\cdot 70=9800\) (тыс. рублей). Ответ: 70 тыс. рублей, 9800 тыс. рублей.

Ответ: 70; 9800

Решение №35798: По условию прибыль \(P(x)\) от продажи \(x\) тысяч пар носков в месяц находится по формуле \(P(x)=cx-(x^{2}+6x+7)=-x^{2}+(c-6)x-7\). Наибольшее значение квадратичная функция принимает при \(x=\frac{c-6}{2}\). \(P\left (\frac{c-6}{2}\right )=-\left (\frac{c-6}{2}\right )^{2}+(c-6)\frac{c-6}{2}-7=\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\). Так как надо окупить затраты не более чем за 32 месяца, то \(32\left (\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\right ) \geq 288\), \(\frac{(c-6)^{2}}{4}-7\geq 9\), \((c-6)^{2}\geq 64\). Так как \(c-6>0\), то \(c-6\geq 8\), \(c\geq 14\). Наименьшее значение \(c\) равно 14. Ответ: 14.

Ответ: 14

Решение №35799: 1. По условию на производство одного центнера печенья первого вида в день потребуется \(\frac{1}{60}\) часть мощности всего оборудования, а на производство одного центнера печенья второго вида в день потребуется \(\frac{1}{60}\) часть мощности всего оборудования. 2. Пусть за день производится \(x\) центнеров печенья первого вида, и \(y\) центнеров — второго вида. Так как по условию используется всё оборудование, то \(\frac{x}{60}+\frac{y}{85}=1\). Отсюда \(17x+12y=1020\), \(x= \frac{1020-12y}{17}\). По условию \(x\geq 6\), поэтому \(\frac{1020-12y}{17}\geq 6\), \(y\leq \frac{918}{12}=\frac{153}{2}\). 3. Прибыль предприятия за день составляет \(5000x+6000y\). Выразим её через \(y\): \(5000x+6000y=5000\cdot \frac{1020-12y}{17}+6000y=300000+\frac{42000y}{17}=S(y)\). \(S(y)\) — линейная возрастающая функция, поэтому принимает наибольшее значение при наибольшем значении \(y\), равном \(\frac{153}{2}\). \(S\left (\frac{153}{2}\right )=300000+\frac{42000}{17}\cdot \frac{153}{2}=300000+21000\cdot 9=489000\). Ответ: 489000.

Ответ: 489000

Решение №35800: Пусть \(a\) и \(b\) соответственно — число рабочих первой и второй шахт, которые добывают алюминий. Тогда первая шахта добывает в день \(a\cdot 5\cdot 2\) кг алюминия и \((100-a)\cdot 5\cdot 3\) кг никеля. Вторая шахта в день добывает \(6\cdot 5\cdot 1,5\) кг алюминия и \((192-b)\cdot 5\cdot 0,5\) кг никеля. Обе шахты добывают в день \(a\cdot 5\cdot 2+b\cdot 5\cdot 1,5=10a+7,5b\) кг алюминия и \((100-a)\cdot 5\cdot 3+(192-b)\cdot 5\cdot 0,5=1980-15a-2,5b\) кг никеля. 2. По условию задачи для производства сплава масса алюминия должна относиться к массе никеля, как 2 к 1. Поэтому \(10a+7,5b=2\cdot (1980-15a-2,5b)\), \(10a+7,5b=3960-30a-5b\), \(40a=3960-12,5b\), \(a=99-\frac{5}{16}b\). 3. Выразим через \(b\) массу алюминия, поступившего на завод: \(10a+7,5b=990-3,125b+7,5b=990+4,375b=f(b)\. \(f(b)\) — линейная возрастающая функция, её наибольшее значение получается при наибольшем значении \(b\), равном 192. \(f(192)=990+4,375\cdot 192=990+840=1830\) кг. По условию масса никеля в два раза меньше и составляет 915 кг. Значит, масса сплава равна \(1830+915=2745\) кг. Ответ: 2745 кг.

Ответ: 2745

Решение №35801: Пусть \(x\) и \(y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу алюминия, соответственно. Тогда \(500-x\) и \(960-y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу никеля, соответственно. Первая шахта добывает в день \(2x\) кг алюминия и \((500-x)\cdot З\) кг никеля. Вторая шахта в день добывает \(1,5y\) кг алюминия и \((960-y)\cdot 0,5\) кг никеля. Обе шахты добывают в день \(2x+1,5y\) кг алюминия и \((500-x)\cdot 3+(960-y)\cdot 0,5\) кг никеля. 2. По условию задачи для производства сплава масса алюминия должна относиться к массе никеля, как 2 к 1. Поэтому \(2x+1,5y=2\cdot ((500-x)\cdot 3+(960-y)\cdot 0,5)\), \(2x+1,5y=3960-6x-y\), \(8x=3960-2,5y\), \(x=495-\frac{5}{16}y\). 3. Выразим через \(y\) массу алюминия, поступившего на завод: \(2x+1,5y=990-\frac{5}{8}y+\frac{12}{8}y=990+0,875y=f(y)\). \(f(y)\) — линейная возрастающая функция, её наибольшее значение получается при наибольшем значении \(y\), равном 960. \(f(960)=990+0,875\cdot 960=990+840=1830\) кг. По условию масса никеля в два раза меньше и составляет 915 кг. Значит, масса сплава равна \(1830+915=2745\) кг. Ответ: 2745 кг.

Ответ: 2745

Решение №35802: Пусть \(x\) и \(y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу алюминия, соответственно. Тогда \(1458-x\) и \(900-y\) — количество часов, которое затрачивают на первой и второй шахтах на добычу никеля, соответственно. Тогда первая шахта добывает \(4x\) кг алюминия и \((1458-x)\cdot 3\) кг никеля. Вторая шахта в день добывает \(\sqrt{y}\) кг алюминия и \(\sqrt{900-y}\) кг никеля. А обе шахты добывают в день \(4x+\sqrt{y}\) кг алюминия и \((1458-x)\cdot 3+\sqrt{900-y}\) кг никеля. 2. По условию задачи для производства сплава масса алюминия должна относиться к массе никеля, как 3 к 2. Поэтому \(2(4x+\sqrt{y})=3((1458-x)\cdot 3+\sqrt{900-y})\), \(8x+2\sqrt{y}=13122-9x+3\sqrt{900-y}\), \(x=\frac{13122-2\sqrt{y}+3\sqrt{900-y}}{17}\) 3. Выразим через у массу алюминия, поступившего на завод: \(4x+\sqrt{y}=\frac{52488-8\sqrt{y}+12\sqrt{900-y}+17\sqrt{y}}{17}=\frac{52488+9\sqrt{y}+12\sqrt{900-y}}{17}=f(y)\). Найдём наибольшее значение \(f(y)\) с помощью производной. \(f'(y)=\frac{\frac{9}{2\sqrt{y}}-\frac{12}{\sqrt{900-y}}}{17\) \(f'(y)=0\), если \(\frac{3}{\sqrt{y}}=\frac{4}{\sqrt{900-y}}\), \(y=324\). \(f'(y)>0\) при \(y<324\) и \(f'(y)<0\) при \(y>324\), поэтому \(f(324)\) — наибольшее значение функции. \(f(324)=\frac{52488+162+288}{17}=3114\). Масса сплава равна \(\frac{5}{3}f(324)=5190) кг. Ответ: 5190 кг

Ответ: 5190

Решение №35803: Пусть на правом берегу суммарное рабочее время за неделю равно \(x^{2}\), а на левом берегу \(y^{2}\) часов. Тогда, согласно условию задачи, рабочие произведут соответственно \(Зx\) и \(5y\) единиц продукции. Поэтому \(Зx+5y=340\). Отсюда получаем: \(y=\frac{340-3x}{5}\). Согласно условию, за эту работу надо будет заплатить рабочим сумму \(S=(x^{2}+y^{2})\cdot 300\). Из вышесказанного получаем: \(S=S(x)=\left (x^{2}+\left (\frac{340-3x}{5}\right )^{2}\right )\cdot 300=\left (\frac{25x^{2}+(340-Зx)^{2}}{25}\right )\cdot 300=(25x^{2}+(340-Зx)^{2})\cdot 12=12\cdot (34x^{2}-6\cdot 340x+340^{2})\). Последнее выражение принимает наименьшее значение в вершине параболы \(y=34x^{2}-6\cdot 340x+340^{2}\), то есть в точке \(x_{0}=-\frac{-6\cdot 340}{2\cdot 34}=30\). При этом \(S(30)=\left (30^{2}+\left (\frac{340-3\cdot 30}{5}\right )^{2} \right )\cdot 300=1020000(рублей). Ответ: 1020000.

Ответ: 1020000

Решение №35804: Пусть суммарное рабочее время за неделю на первом заводе равно \(x^{2}\), а на втором заводе \(y^{2}\) часов. Тогда, согласно условию задачи, на заводах произведут соответственно \(2x\) и \(5y\) единиц продукции, а суммарное количество будет \(K=2x+5y\) (единиц продукции). Согласно условию за эту работу надо выплатить рабочим сумму \((x^{2}+y^{2})\cdot 500\) рублей. Так как есть возможность выплатить 1450000 рублей, то получаем уравнение: \((x^{2}+y^{2})\cdot 500=1450000\). Отсюда \(x^{2}+y{2}=2900\), \(y^{2}=2900-x^{2}\). Таким образом, \(K=K(x)=2x+5y=2x+5\cdot \sqrt{2900-x^{2}}\). Найдём наибольшее значение \(K(x)\) с помощью производной. \(K'(x)=2-\frac{5\cdot 2x}{2\sqrt{2900-x^{2}}}\). \(K'(x)=0\), если \(2-\frac{5x}{\sqrt{2900-x^{2}}}=0\); \(2\sqrt{2900-x^{2}}=5x\); \(4(2900-x^{2})=25x^{2}\); \(4\cdot 2900=29x^{2}\); \(x^{2}=400\); \(x=20\). Заметим, что \(K'(x)>0\) при \(x<20\) и \(K'(x)<0\) при \(x>20\), поэтому в точке \(x=20\) будет наибольшее значение. \(y=\sqrt{2900-20^{2}}=50\), \(K(20)=2\cdot 20+5\cdot 50=290\) (единиц продукции). Ответ: 290 единиц продукции.

Ответ: 290

Решение №35805: Пусть на первый сервер входит \(x\) Гбайт, а на второй \(y\) Гбайт информации. По условию зависимость между объемами входящей и выходящей информации для серверов 1 и 2, получаем, что объем входящей информации будет равен \(\Omega=\Omega (x)=3\sqrt{x}+4\sqrt{y}=3\sqrt{x}+4\cdot \sqrt{225-x}\). Найдём наибольшее значение \(\Omega (x)\) с помощью производной. \(\Omega' (x)=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{4}{2\cdot \sqrt{225-x}\). \(\Omega (x)=0\), если \(\frac{3}{\sqrt{x}}=\frac{4}{\sqrt{225-x}}\), \(\frac{9}{x}=\frac{16}{225-x\), \(9\cdot (225-x)=16x\), \(9\cdot 225=25x\), \(x=81\). Заметим, что \(\Omega' (x)>0\) при \(x<81\) и \(\Omega' (x)<0\) при \(x>81\), поэтому в точке \(x=81\) будет наибольшее значение. \(\Omega (81)=3\cdot \sqrt{81}+4\cdot \sqrt{225-81}=3\cdot 9+4\cdot 12=75\) Гбайт. Ответ: 75 Гбайт

Ответ: 75

Решение №35806: Прибыль фирмы выражается следующей формулой: \(f(P)=P(Q)-(2500Q+1000000)=-P^{2}+14500P-31000000\), то есть квадратичного зависит от цены \(P\). Пусть первоначальная цена равнялась \(P_{0}\). После снижения на 60% цена стала равняться \(0,4P_{0}\). Графиком функции \(y=f(P)\) является парабола с ветвями, направленными вниз, поэтому наибольшего значения прибыль будет достигать в вершине параболы. Так как \(f(P_{0})=f(0,4P_{0})\), вершина параболы будет находиться в точке \(\frac{p_{0}+0,4P_{0}}{2}=0,7p_{0}\). Это означает, что нужно увеличить цену тоара с \(0,4P_{0}\) до \(0,7P_{0}\), то есть на \(\frac{0,7P_{0}-0,4P_{0}}{0,4P_{0}}\cdot 100%=75%\). Ясно, что в вершине параболы \(0,7P_{0}=\frac{14500}{2}=7250\), отсюда значения \(P_{0}\); \(0,4P_{0}\) и \(0,7P_{0}\) удовлетворяют неравенству \(2000\leq P\leq 12000\). Ответ: 75.

Ответ: 75

Решение №35807: Найдём общий вес грузов, которые нужно перевезти: \(7\cdot 27+90\cdot 2=189+180=369\) (тонн). Это означает, что потребуется не менее 5 вагонов (4 вагона смогут перевезти только 320 тонн грузов). Покажем, что 5 вагонов окажется достаточно. Так как большой ящик весит 27 тонн, то в один вагон можно погрузить максимум 2 больших ящика \((27\cdot 3=81>80\)). Если в вагон погрузить два больших ящика, то в нём ещё хватит места для \((80-27\cdot 2):2=13\) маленьких ящиков. При этом будет соблюдено условие, согласно которому каждый вагон вмещает не более 30 маленьких ящиков, а каждый большой ящик занимает место 7 маленьких, так как \(2\cdot 7+13=27<30\). Если в вагон погрузить один большой ящик, то в него по грузоподъёмности можно поместить ещё целую часть от отношения \((80-27):2\) маленьких ящиков, то есть 26, однако общий объём, который займут все ящики вместе, будет превышать допустимый, поскольку \(7+26=33>30\). Значит, при одном большом ящике на оставшееся место можно погрузить только 23 маленьких ящика. Итак, погрузим в первые 3 вагона по 2 больших и 13 маленьких ящиков, в четвёртый вагон — 1 большой ящик и 23 маленьких, в пятый вагон — 28 маленьких ящиков. \(3\cdot 2+1=7\); \(3\cdot 13+23+28=90\). Все условия задачи выполнены. Ответ: 5.

Ответ: 5

Решение №35808: Обозначим через \(k\) номер этажа, который соответствует условию задачи и указан начальниками. Тогда \(2\leq k\leq 8\), ровно один начальник окажется на своём \(k\)-м этаже, \((k-2)\) начальника будут спускаться по лестнице на свои этажи (так как ниже, чем \(k\)-и этаж, располагается \((k-1)\) этажей, притом на первом этаже нет ни одного начальника), \((8-k)\) начальников будут подниматься по лестнице на свои этажи. Те, кто будет спускаться на свои этажи, совершат \(1+2+...+(k-2)\) спусков, а те, кто будет подниматься, совершат \(1+2+...6(8-k)\) подъёмов (если \(k=8\), то полагаем сумму \(1+26...+(8-k)\) равной 0; если же \(k=2\), то сумма \(1+2+...+k-2\) считается равной 0). Поэтому общая сумма компенсаций равна \(100\cdot (1+2+...+(k-2))+200(1+2+...+(8-k))=\frac{ 100\cdot (k-1)\cdot (k-2)+200\cdot (9-k)\cdot (8-k)}{2}=50\cdot (k-1)\cdot (k-2)+100\cdot (9-k)\cdot (8-k)=50k^{2}-150k+100+7200-1700k+100k^{2}=150k^{2}-1850k+7300\). Квадратичная функция \(y=150x^{2}-1850x+7300\) принимает наименьшее значение при \(x=\frac{1850}{300}=б\frac{1}{6}\). Эта квадратичная функция симметрична относительно прямой \(x=6\frac{1}{6}\). Так как ближайшим целым числом к числу \(6\frac{1}{6}\) является число 6, то \(150k^{2}-1850k+7300\) принимает наименьшее значение при \(k=6\). Отсюда получаем общую сумму компенсаций: \(150\cdot 6^{2}-1850\cdot 6+7300=1600\) (рублей). Ответ: 1600 рублей.

Ответ: 1600

Решение №35809: а) Стоимость частей, на которые разбился бриллиант, равна \(16\cdot 17\) и \(8\cdot 9\) денежных единиц соответственно, а первоначальная стоимость бриллианта равна \(24\cdot 25\) денежных единиц. Составим пропорцию: \(24\cdot 25 — 100%\), \(16\cdot 17+8\cdot 9 — у%\). Отсюда \(y=\frac{(16\cdot 17+8\cdot 9)\cdot 100}{24\cdot 25}=\frac{16\cdot 17+8\cdot 9}{6}=\frac{272+72}{6}=\frac{344}{6}=57\frac{1}{3}\) (%). Цена уменьшилась на \(100-57\frac{1}{3}=42\frac{2}{3}\) (%). б) Пусть \(x\) и \((24-x)\) — массы частей, на которые разбился бриллиант. Их стоимость соответственно равна: \(x\cdot (x+1)\); \((24-x)cdot (25-x)\) денежных единиц, а стоимость всего бриллианта равна \(24\cdot 25\) денежных единиц. Составим пропорцию: \(24\cdot 25 — 100%\), \(x\cdot(x+1)+(24-x)\cdot (25-x) — f(x)%\). Тогда \(f(x)=\frac{(x\cdot(x+1)+(24-x)\cdot (25-x))\cdot 100}{24\cdot 25}=\frac{(x^{2}+x+600-49x+x^{2})\cdot 100}{24\cdot 25}=\frac{2x^{2}-48x+600}{6}=\frac{1}{3}x^{2}-8x+100\). Максимальное уменьшение процентов будет при минимальном значении \(f(x)\). Минимальное значение \(f(x)\) как квадратного трёхчлена будет при \(x=\frac{8}{\left (\frac{2}{3}\right )}=12\). \(f(12)=\frac{1}{3}\cdot 12^{2}-8\cdot 12+100=48-96+100=52\). Значит, максимальное число процентов, на которое может уменьшиться цена бриллианта, будет \(100-52=48\) (%). Ответ: а)\frac{42\frac{2}{3}\); 6) 48.

Ответ: \(42\frac{2}{3}\); 48

Решение №35810: а) Пусть \(v\) км/ч — скорость ходьбы Андрея от момента входа до момента, когда его догоняет Михаил. Тогда скорость ходьбы Михаила от момента входа до момента, когда он догоняет Андрея, равна \((v+3)\) км/ч. Пусть теперь \(t\) — время (в часах), за которое Михаил догоняет Андрея. Согласно условию получаем уравнение \((v+3)\cdot t=1+v\cdot t\), \(t=\frac{1}{3}\). Отсюда следует, что расстояние от входа в парк до поворота равно \(\left (1+\frac{1}{3}v\right )\) км, Андрей проходит его за \(\left (\frac{1}{v}+\frac{1}{3}\right )\) часов. На обратном пути это расстояние Андрей и Михаил преодолевают за одно и то же время: \(\frac{1+\frac{1}{3}v}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}v\). Таким образом, время Андрея \(t(v)\) на прохождение всего пути вычисляется по формуле \(t(v)=\frac{1}{v}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}v=\frac{1}{v}+\frac{2}{3}+\frac{1}{9}v\). Находим точку минимума \(t(v)\) с помощью производной. \(t'(v)=-\frac{1}{v^{2}}+\frac{1}{9}\). \(t'(v)=0\) при \(v=\pm 3\). Так как \(v>0\), то исследуем поведение \(t(v)\) на промежутках \((0; 3)\) и \((3; +\infty)\). \(t'(1)=-\frac{8}{9}\), значит, на промежутке \((0; 3)\) функция \(t(v)\) убывает. \(t'(4)=-\frac{1}{16}+\frac{1}{9}>0\), значит, на промежутке \((3; +\infty)\) функция \(t(v)\) возрастает. Отсюда следует, что при \(v=3\) будет минимальное значение \(t(v)\). б) \(t(3)=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{1}{9}\cdot 3=\frac{4}{3}\), \(300\cdot \frac{4}{3}=400\) (рублей). Ответ: а) 3 км/ч; 6) 400 рублей.

Ответ: 3; 400

Решение №35811: Так как необходимо найти минимальное число перевозок, то каждый автомобиль нельзя перегружать, но размещать в нём надо максимальное число блоков в соответствии с техническими условиями. Обозначим через \(x\) число перевозок с одним большим блоком. Так как вес одного большого блока равен 3,5 т, то в автомобиль можно было бы догрузить ещё 6,25 т. Но перевозка одного большого блока, согласно габаритам блоков, приравнивается к перевозке 18 маленьких. Поэтому больше 20 маленьких блоков догрузить нельзя. Если догрузить ровно 20 маленьких блоков, то общий вес будет \(1\cdot 3,5+20\cdot 0,25=8,5\) (т). Значит, перегруза не будет. Обозначим через \(y\) число перевозок с двумя большими блоками. Их перевозка приравнивается (по габаритам) к перевозке 36 маленьких. Общий вес больших блоков 7 т, поэтому, догрузив 2 маленьких блока (больше нельзя), получим общий вес загрузки \(2\cdot 3,5+2\cdot 0,25=7,5\) (т). Значит, перегруза не будет. Больше двух больших блоков поместить в автомобиль нельзя. Так как общее число больших блоков равно 26, то \(x+2y=26\), \(x=26-2u=y\). При перевозках с большими блоками будет перевезено \(20x+2y\) маленьких блоков. Значит, для подсчёта числа перевозок оставшихся \(500-20x-2y\) маленьких блоков надо разделить \(500-20x-2y\) на 38. Но \(\frac{500-20x-2y}{38}=\frac{500-20\cdot (26-2y)-2y}{38}=\frac{-20+38y}{38}=y-\frac{20}{38}\). Поэтому для подсчёта числа всех перевозок надо рассматривать число \(x+y+y-\frac{20}{38}=x+2y-\frac{20}{38}=26-\frac{20}{38}=25\frac{18}{38}\). Так как число перевозок является натуральным числом, а наименьшее натуральное число, большее \(25\frac{18}{38}\), равно 26, то понадобится 26 перевозок. Например, 24 перевозки с одним большим, одна перевозка с двумя большими и одна только с 18 маленькими блоками. Ответ: 26.

Ответ: 26

Решение №35812: Пусть \(k\) (\(k\in \mathbb{Z}\)) — порядковый номер последнего года хранения ценных бумаг не в банке. Тогда по условию и формуле сложных процентов через 28 лет после года приобретения ценных бумаг на банковском счёте будет \(f(k)=(10+k^{2})\cdot (1,18)^{28-k}\) млн рублей. Найдём теперь, при каком значении \(k\) (\(k\in \mathbb{Z}\), \(1\leq k\leq 28\)) функция \(f(k)=(10+k^{2})\cdot (1,18)^{28-k}\) принимает наибольшее значение. Решим неравенство \(f(k+1)\geq f(k)\) (1) на множестве натуральных чисел. \((10+(k+1)^{2})\cdot (1,18)^{27-k}\geq (10+k^{2})\cdot (1,18)^{28-k}\). Разделим обе части на положительное число \((1,18)^{27-k}\), получим равносильное неравенство \(10+(k+1)^{2}\geq (10+k^{2})\cdot 1,18\). \(-0,18k^{2}+2k-0,8\geq 0\); \(18k^{2}-200k+80\leq 0\); \(9k^{2}-100k+40\leq 0\). Корнями квадратного трёхчлена \(9k^{2}-100k+40\) являются числа \(\frac{50-\sqrt{2140}}{9}\) и \(]frac{50+\sqrt{2140}}{9}\), а решением неравенства \(9k^{2}-100k+40\leq 0\) будет промежуток \(\left \[\frac{50-\sqrt{2140}}{9}; \frac{50+\sqrt{2140}}{9}\right \]\). Заметим, что \(46<\sqrt{2140}<47\), поэтому \(0<\frac{50-\sqrt{2140}}{9}<1\), а \(10<\frac{50+\sqrt{2140}}{9}<11\). Натуральными числами, являющимися решениями неравенства (1), будут числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Значит, \(f(1)\leq f(2)\leq f(3)\leq ...\leq f(7)\leq f(8)\leq f(9)\leq f(10)\leq f(11)\). Кроме того, \(f(11)>f(12)>f(13)>...>f(27)>f(28)\). Действительно, если, например, выполнялось бы \(f(16)\leq f(17)\), то число 16 было бы решением неравенства (1), что неверно. Таким образом, \(f(11)\) является наибольшим значением функции, а число 11 — искомым. Ответ: 11.

Ответ: 11

Решение №35813: По условию, вложив деньги в банк в конце \(k\)-го года, последующего за годом покупки акций, на счёте в банке к концу 20-го года будет \(a_{k}\) млн рублей, где \(a_{k}=(5+k^{3})\cdot (1,2)^{20-k}\). 2. Выясним, при каких \(k\) выполняется неравенство \(a_{k}<а_{k+1}\) (*). \((5+k^{3})91,2)^{20-k}<(5+(k+1)^{3})(1,2)^{19-k}\), \((5+k^{3})1,2<5+(k+1)^{3}\), \(0,2k^{3}-Зk^{2}-Зk<0\), \(k(0,2k^{2}-Зk-3)<0\), \(k^{2}-15k-15<0\). Все указанные неравенства равносильны неравенству \(k^{2}-15k-15<0\), так как \((1,2)^{20-k}>0\) для любого \(k\) и \(k>0\). 3. Решаем уравнение \(x^{2}-15x-15=0\). \(x_{1, 2}=\frac{15\pm \sqrt{225+60}}{2}=\frac{15\pm \sqrt{285}}{2}\), \(x_{1}=\frac{15-\sqrt{285}}{2}\), \(x_{2}=\frac{15+\sqrt{285}}{2}\). Так как \(\sqrt{285}<17\), то \(-11\). Значит, \(a_{16}\) — наибольшее значение функции \(a_{k}=(5+k^{3})\cdot (1,2)^{20-k}\), и наименьшее значение \(k\), при котором оно достигается, равно 16. Ответ: 16.

Ответ: 16

Решение №35814: Отметим, что если вложить деньги в банк в конце \(k\)-го года, то сумма в банке к концу 15-го года станет равной \(a_{k}\) млн рублей, где \(a_{k}=(2+k^{2})(1+p)^{15-k}\). 2. Выясним, при каких \(k\) выполняется неравенство \(a_{k}a_{8}\). 3. Из неравенства \(a_{6}a_{8}\) получаем \((2+7^{2})(1+p)^{8}>(2+8^{2})(1+p)^{7}\), \(51(1+p)>66\), \(1+p>\frac{66}{51}\), \(p>\frac{15}{51}\). Ответ: \(\frac{15}{51}

Ответ: \(\frac{15}{51}<p<\frac{13}{38}\)

Решение №35815: 496500 рублей

Ответ: 496500

Решение №35816: 7 или 8 сотрудников

Ответ: 7; 8

Решение №35817: 30 тыс. рублей

Ответ: 30

Решение №35818: 75 тыс. рублей

Ответ: 75

Решение №35819: 3600 шт.

Ответ: 3600

Решение №35820: 500-й день, 250000 рублей

Ответ: 500; 250000

Решение №35821: 166650 рублей

Ответ: 166650

Решение №35822: 253500 рублей

Ответ: 253500

Решение №35823: 192 робочих

Ответ: 192

Решение №35824: 5190 кг

Ответ: 5190

Решение №35825: 110 кг

Ответ: 110

Решение №35826: 2928 Гбайт

Ответ: 2928

Решение №35827: 270 деталей

Ответ: 270

Решение №35828: 1650 единиц продукции

Ответ: 1650

Решение №35829: 1000 м и 1700 м

Ответ: 1000; 1700

Решение №35830: 55 и 145 рабочих

Ответ: 55; 145

Решение №35831: 2000 рублей

Ответ: 2000

Решение №35832: 0.35

Ответ: 35

Решение №35833: 8

Ответ: 8

Решение №35834: 0.5

Ответ: 50

Решение №35835: 23 перевозки

Ответ: 23

Решение №35836: 7 вагонов

Ответ: 7

Решение №35837: 200000 рублей

Ответ: 200000

Решение №35838: В конце 14-го или 15-го дня

Ответ: В конце 14-го или 15-го дня

Решение №35839: В конце 8-го дня

Ответ: В конце 8-го дня

Решение №35840: 17,75 км

Ответ: 17.75

Решение №35841: а) 8 км/ч; б) 360 рублей

Ответ: 8; 360

Решение №35842: В конце 4-го года

Ответ: В конце 4-го года

Решение №35843: \(\frac{35}{289}

Ответ: \(\frac{35}{289}<p<\frac{33}{256}\)

Решение №35844: \(\frac{47}{529}

Ответ: \(\frac{47}{529}<m<\frac{45}{484}\)

Решение №35845: 13

Ответ: 13

Решение №35846: \(\frac{256}{51}

Ответ: \(\frac{256}{51}<a<\frac{289}{54}\)

Решение №35847: Обозначим через \(x\), \(y\) и \(z\) время (в минутах), которое было потрачено на выполнение первого, второго и третьего заданий соответственно. Учитывая, что 6 часов 28 минут = 388 минут, 5 часов 56 минут = 356 минут, получим систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} x+z=388,\\y+z=356, \\y=\frac{x+z}{2} \end{matrix}\right.\), \(\left\{\begin{matrix} x+z=388,\\y+z=356, \\x+z=2y \end{matrix}\right.\). Тогда из первого и третьего уравнений системы получим \(2y=388\) и \(y=194\). Время (в минутах), затраченное на выполнение всех трёх заданий, равно \(x+y+z=(x+z)+y=2y+y=3\cdot y=582\). В заключение отметим, что 582 минуты = 9 часов 42 минуты. Ответ: 9 часов 42 минуты.

Ответ: 9 часов 42 минуты

Решение №35848: Введём обозначения. Пусть первоначально владелец магазина купил \(n\) мониторов по цене \(x\) рублей, а продал их в марте по цене \(y\) рублей. По условию прибыль составила \(n(y-x)=40000\) рублей. На вырученные деньги предприниматель купил \(\frac{ny}{x}\) мониторов и получил \(\frac{ny}{x}(y-x)\) рублей прибыли, что по условию составило 48000 рублей. Решим полученную систему уравнений: \(\left\{\begin{matrix} n(y-x)=40000, \\\frac{ny}{x}(y-x)=48000 \end{matrix}\right.\) Разделив второе уравнение на первое, получим: \(\frac{y}{x}=1,2\). Подставив выражение \(y=1,2x\) в первое уравнение системы, придём к равенству \(n(1,2x-x)=40000\); \(0,2nx=40000\); \(nx=200000\). На первую покупку предприниматель потратил 200000 рублей. Ответ: 200000 рублей.

Ответ: 200000

Решение №35849: 1-й способ Предположим, что требуемое возможно. Заметим, что 3 тонны — это 3000 килограммов. Рассмотрим ситуацию, когда машина уже заполнена соответствующим образом. Обозначим количество 160-килограммовых бочек через к, а количество 210-килограммовых — через \(n\). При этом \(k\), \(n\geq 0\) — целые числа. Тогда \(160k+210n=3000\). Сократим обе части этого уравнения на 10, получим: \(16k+21n=300\). Ясно, что \(21n\leq 300\) (иначе \(16k+ 21n\geq 21n>300\)). Таким образом, \(n\leq 14\frac{2}{7}\); \(n\leq 14\), так как \(n\) — целое. Перебирая все целые значения \(n\) от 0 до 14, отберём те, для которых \(k=\frac{300-21n}{16}\) тоже является целым числом. Получим единственное \(n=12\), при котором \(k=3\). (При использовании на экзамене подобного способа решения следует подробно рассматривать все шаги перебора.) 2-й способ Как и в предыдущем способе решения, предположим, что требуемое возможно, и рассмотрим ситуацию, когда машина уже заполнена соответствующим образом. Обозначим количество 160-килограммовых бочек через \(k\), а количество 210-килограммовых — через \(n\). При этом \(k, n\geq 0\) — целые числа. Тогда \(160k+210n=3000\) и \(16k+21n=300\), откуда \(n\geq 14\). Ясно, что \(21n=300-16k=4(75-4k)\), откуда \(21n\) должно делиться на 4 и не должно делиться на 8 (так \(75-4k\) — нечётное число). Значит, либо \(n=4\), либо \(n=12\). При \(n=4\) получим: \(16Аk=300-84\), \(k=\frac{27}{2}\) — не является целым. При \(n=12\) получим: \(16k=300-12\cdot 21\), \(k=3\) — является целым. Значит, \(n=12\), \(k=3\). Ответ: Да, 12 по 210 кг и 3 по 160 кг.

Ответ: Да, 12 по 210 кг и 3 по 160 кг.

Решение №35850: Пусть в отделе «А» работает \(k\) сотрудников, а в отделе «Б» — 771 сотрудников. Тогда, согласно первому предложению условия, \(k+m>48\). Утверждение «Если число сотрудников отдела „Б" увеличить на 12, то оно более чем в два раза превысит число сотрудников отдела „А“ во введённых обозначениях примет вид \(m+12>2k\). Наконец, утверждение «Если число сотрудников отдела „Б“ увеличить втрое, то оно превысит удвоенное количество сотрудников отдела „А“, но не более чем на 47» запишем в виде \(0<3m-2k<47\). Таким образом, мы пришли к системе: \(\left\{\begin{matrix} k+m>48, \\2k-m<12, \\3m-2k>0, \\3m-2k\leq 47 \end{matrix}\right.\). Из первого неравенства этой системы следует, что \(k>48-m\), а из второго, что \(k<6+\frac{m}{2}\). Отсюда \(6+\frac{m}{2}>\48-m\) и \(m>28\). Из четвёртого неравенства системы \(2k\geq 3m-47\) \(k\geq \frac{3m}{2}-23,5\). Следовательно, \(6+\frac{m}{2}>\frac{3m}{2}-23,5\) и, значит, \(m<29,5\). Таким образом, \(m=29\). При \(m=29) получаем: \(\left\{\begin{matrix} k+29>48, \\2k-29<12, \\3\cdot 29-2k>0, \\3\cdot 29-2k\leq 47 \end{matrix}\right.\), \(\left\{\begin{matrix} k>19, \\k<20,5, \\k<43,5, \\k\geq 20 \end{matrix}\right.\), \(k=20\). Следовательно, количество сотрудников \(k+m=20+29=49\). Ответ: 49.

Ответ: 49

Решение №35851: Допустим, за лето в автомастерской починили \(L\) легковых автомобилей, \(G\) грузовиков и \(M\) микроавтобусов. По смыслу задачи \(L\), \(G\), \(M\) — целые числа, причём \(L>0\), \(G>0\) и \(M>0\). Согласно условию, \(G=12L\); \(L>M\);\(G+L+M=40\). Но тогда \(12L+L+M=40\) и, следовательно, \(13L<40\), откуда \(L\leq 3\). При \(L=1\) из формулы \(13L+M=40\) получим \(M=27\), и неравенство \(L>M\) не выполняется. При \(L=2\) из формулы \(13L+M=40\) получим \(M=14\), и неравенство \(L>M\) не выполняется. При \(L=3\) из формулы \(13L+M=40\) получим \(M=1\), и неравенство \(L>M\) выполняется. Таким образом, за лето был отремонтирован 1 микроавтобус. Ответ: 1.

Ответ: 1

Решение №35852: Магазин приобрёл товар у последнего посредника по цене \(\frac{405}{1,2}=337,5\) (рублей). Таким образом, за счёт посредников между производителем и магазином цена возросла в \(\frac{337,5}{25}=13,5\) раз. Пусть \(k\) посредников увеличивали цену в 1,5 раза, \(n\) посредников — в 2 раза. Тогда \(1,5^{k}\cdot 2n=13,5\), \(\left (\frac{3}{2}\right )^{k}\cdot 2^{n}=\frac{27}{2}\), откуда \(3^{k}\cdot 2^{n-k}=З^{3}\cdot 2^{-1}\). Учитывая, что числа 3 и 2 взаимно простые, получаем, что \(k=3\), \(n-k=-1), то есть \(k=3\), \(n=2\). Отсюда общее число посредников между магазином и производителем равно \(n+k=5\). Ответ: 5

Ответ: 5

Решение №35853: Пусть изначально суммарный вклад составлял \(y\) миллионов рублей, из них \(x\) миллионов рублей — первого вкладчика. Тогда его доля составляла \(\frac{x}{y}\). После того как первый добавил 4 млн рублей, суммарно вклад составил \((y+4)\) млн рублей, из них \((x+4)\) — первого вкладчика. Тогда его доля возросла до \(\frac{x+4}{y+4}\). По условию \(\frac{x+4}{y+4}-\frac{x}{y}=0,06\), откуда \(4(y-x)=0,06y(y+4)\). После того как он снова добавил 4 млн рублей, общая сумма вклада стала равна \((y+8)\) млн рублей, из них \((x+8)\) — первого вкладчика. Тогда \(\frac{x+8}{y+8}-\frac{x+4}{y+4}=0,02\), откуда \(4(y-x)=0,02(y+4)(y+8)\). Таким образом, \(0,06y(y+4)=0,02(y+4)(y+8)\), \(6y=2(y+8)\), \(y=4\). Из условия \(4(y-x)=0,06y(y+4)\) получим: \(4(4-x)=0,06\cdot 4\cdot (4+4)\), откуда \(4-x=0,06\cdot 8\) и \(x=3,52\). Если тот же вкладчик добавит ещё \(k\) млн рублей, то его доля составит При найденных значениях \(x\) и \(y\) решим относительно \(k\) уравнение \(frac{x+8+k}{y+8+k}-\frac{x+8}{y+8}=0,03\); \(\frac{11,52+k}{12+k}-\frac{11,52}{12}=0,03\); \(\frac{11,52+k}{12+k}-0,96=0,03\); \(11,52+k=0,99(12+k)\); \(11,52+k=11,88+0,99k\); \(0,01k=0,36\); \(k=36\). Таким образом, для того, чтобы достичь требуемого, вкладчик должен добавить 36 млн рублей. Ответ: 36000000 рублей.

Ответ: 36000000

Решение №35854: 1700 единиц продукции

Ответ: 1700

Решение №35855: 45 роботов и 65 машин

Ответ: 45; 65

Решение №35856: 6 часов 21 минута

Ответ: 6 часов 21 минута

Решение №35857: 4 часа 21 минута

Ответ: 4 часа 21 минута

Решение №35858: 0.6

Ответ: 0.6

Решение №35859: 9000000 рублей

Ответ: 9000000

Решение №35860: 12 магазинов

Ответ: 12

Решение №35861: 60 деталей

Ответ: 60

Решение №35862: 35 килограммов

Ответ: 35

Решение №35863: 30 килограммов

Ответ: 30

Решение №35864: 9 двухрублевых монет

Ответ: 9

Решение №35865: 7 человек

Ответ: 7

Решение №35866: 500000 рублей

Ответ: 500000

Решение №35867: 104 сотрудника

Ответ: 104

Решение №35868: 13 мешков

Ответ: 13