№35816

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Крупный предприниматель является владельцем двух заводов, расположенных на противоположных берегах реки. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном на левом берегу, используются более современные технологии. В результате если рабочие на правом берегу трудятся суммарно \(t^{2}\) часов в неделю, то за это время они производят \(3t\) единиц товара. Если же рабочие на левом берегу трудятся суммарно \(t^{2}\) часов в неделю, то за это время они производят \(5t\) единиц товара. На обоих заводах за каждый час работы рабочему платят 300 рублей. Какую наименьшую сумму надо заплатить рабочим за неделю, чтобы произвести за эту неделю 340 единиц товара? Ответ укажите в рублях.

Ответ

1020000

Решение № 35803:

Пусть на правом берегу суммарное рабочее время за неделю равно \(x^{2}\), а на левом берегу \(y^{2}\) часов. Тогда, согласно условию задачи, рабочие произведут соответственно \(Зx\) и \(5y\) единиц продукции. Поэтому \(Зx+5y=340\). Отсюда получаем: \(y=\frac{340-3x}{5}\). Согласно условию, за эту работу надо будет заплатить рабочим сумму \(S=(x^{2}+y^{2})\cdot 300\). Из вышесказанного получаем: \(S=S(x)=\left (x^{2}+\left (\frac{340-3x}{5}\right )^{2}\right )\cdot 300=\left (\frac{25x^{2}+(340-Зx)^{2}}{25}\right )\cdot 300=(25x^{2}+(340-Зx)^{2})\cdot 12=12\cdot (34x^{2}-6\cdot 340x+340^{2})\). Последнее выражение принимает наименьшее значение в вершине параболы \(y=34x^{2}-6\cdot 340x+340^{2}\), то есть в точке \(x_{0}=-\frac{-6\cdot 340}{2\cdot 34}=30\). При этом \(S(30)=\left (30^{2}+\left (\frac{340-3\cdot 30}{5}\right )^{2} \right )\cdot 300=1020000(рублей). Ответ: 1020000.