№35824

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Для перевозки 500 маленьких и 26 больших блоков был выделен автомобиль грузоподъёмностью 9,75 т. По техническим условиям он может перевозить не более 38 маленьких блоков. Согласно габаритам блоков, перевозка одного большого блока приравнивается к перевозке 18 маленьких. Большой блок весит 3,5 т, а маленький 0,25 т. Какое минимальное число перевозок потребуется для перемещения всех блоков?

Ответ

26

Решение № 35811:

Так как необходимо найти минимальное число перевозок, то каждый автомобиль нельзя перегружать, но размещать в нём надо максимальное число блоков в соответствии с техническими условиями. Обозначим через \(x\) число перевозок с одним большим блоком. Так как вес одного большого блока равен 3,5 т, то в автомобиль можно было бы догрузить ещё 6,25 т. Но перевозка одного большого блока, согласно габаритам блоков, приравнивается к перевозке 18 маленьких. Поэтому больше 20 маленьких блоков догрузить нельзя. Если догрузить ровно 20 маленьких блоков, то общий вес будет \(1\cdot 3,5+20\cdot 0,25=8,5\) (т). Значит, перегруза не будет. Обозначим через \(y\) число перевозок с двумя большими блоками. Их перевозка приравнивается (по габаритам) к перевозке 36 маленьких. Общий вес больших блоков 7 т, поэтому, догрузив 2 маленьких блока (больше нельзя), получим общий вес загрузки \(2\cdot 3,5+2\cdot 0,25=7,5\) (т). Значит, перегруза не будет. Больше двух больших блоков поместить в автомобиль нельзя. Так как общее число больших блоков равно 26, то \(x+2y=26\), \(x=26-2u=y\). При перевозках с большими блоками будет перевезено \(20x+2y\) маленьких блоков. Значит, для подсчёта числа перевозок оставшихся \(500-20x-2y\) маленьких блоков надо разделить \(500-20x-2y\) на 38. Но \(\frac{500-20x-2y}{38}=\frac{500-20\cdot (26-2y)-2y}{38}=\frac{-20+38y}{38}=y-\frac{20}{38}\). Поэтому для подсчёта числа всех перевозок надо рассматривать число \(x+y+y-\frac{20}{38}=x+2y-\frac{20}{38}=26-\frac{20}{38}=25\frac{18}{38}\). Так как число перевозок является натуральным числом, а наименьшее натуральное число, большее \(25\frac{18}{38}\), равно 26, то понадобится 26 перевозок. Например, 24 перевозки с одним большим, одна перевозка с двумя большими и одна только с 18 маленькими блоками. Ответ: 26.