№35862

Экзамены с этой задачей: системы неравенств в бытовых задачах

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Текстовые задачи, неравенства в текстовых задачах,

Задача в следующих классах: 8 класс 9 класс

Сложность задачи : 2

Задача встречается в следующей книге: Лысенко, ЕГЭ , 17 задача

Условие

Для перевозки большого числа бочек по 160 кг и 210 кг выделены трёхтонные машины. Можно ли загрузить такими бочками машину полностью? Если можно, то укажите все варианты того, сколько бочек каждого вида при этом нужно взять.

Ответ

Да, 12 по 210 кг и 3 по 160 кг.

Решение № 35849:

1-й способ Предположим, что требуемое возможно. Заметим, что 3 тонны — это 3000 килограммов. Рассмотрим ситуацию, когда машина уже заполнена соответствующим образом. Обозначим количество 160-килограммовых бочек через к, а количество 210-килограммовых — через \(n\). При этом \(k\), \(n\geq 0\) — целые числа. Тогда \(160k+210n=3000\). Сократим обе части этого уравнения на 10, получим: \(16k+21n=300\). Ясно, что \(21n\leq 300\) (иначе \(16k+ 21n\geq 21n>300\)). Таким образом, \(n\leq 14\frac{2}{7}\); \(n\leq 14\), так как \(n\) — целое. Перебирая все целые значения \(n\) от 0 до 14, отберём те, для которых \(k=\frac{300-21n}{16}\) тоже является целым числом. Получим единственное \(n=12\), при котором \(k=3\). (При использовании на экзамене подобного способа решения следует подробно рассматривать все шаги перебора.) 2-й способ Как и в предыдущем способе решения, предположим, что требуемое возможно, и рассмотрим ситуацию, когда машина уже заполнена соответствующим образом. Обозначим количество 160-килограммовых бочек через \(k\), а количество 210-килограммовых — через \(n\). При этом \(k, n\geq 0\) — целые числа. Тогда \(160k+210n=3000\) и \(16k+21n=300\), откуда \(n\geq 14\). Ясно, что \(21n=300-16k=4(75-4k)\), откуда \(21n\) должно делиться на 4 и не должно делиться на 8 (так \(75-4k\) — нечётное число). Значит, либо \(n=4\), либо \(n=12\). При \(n=4\) получим: \(16Аk=300-84\), \(k=\frac{27}{2}\) — не является целым. При \(n=12\) получим: \(16k=300-12\cdot 21\), \(k=3\) — является целым. Значит, \(n=12\), \(k=3\). Ответ: Да, 12 по 210 кг и 3 по 160 кг.