Найдите значение выражени: \(\left ( 3\frac{2}{3}+1\frac{3}{4} \right ):\left ( 6\frac{7}{12}-2\frac{1}{4} \right )\cdot 0,8\)
Решение №187: Для решения выражения \(\left ( 3\frac{2}{3}+1\frac{3}{4} \right ):\left ( 6\frac{7}{12}-2\frac{1}{4} \right )\cdot 0,8\) выполним следующие шаги:
- Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
\[
3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}
\]
\[
1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}
\]
\[
6\frac{7}{12} = \frac{6 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{79}{12}
\]
\[
2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}
\]
- Сложим дроби в числителе:
\[
\frac{11}{3} + \frac{7}{4}
\]
Найдем общий знаменатель для \(\frac{11}{3}\) и \(\frac{7}{4}\), который равен 12:
\[
\frac{11}{3} = \frac{11 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{44}{12}
\]
\[
\frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{21}{12}
\]
Сложим дроби:
\[
\frac{44}{12} + \frac{21}{12} = \frac{65}{12}
\]
- Вычтем дроби в знаменателе:
\[
\frac{79}{12} - \frac{9}{4}
\]
Найдем общий знаменатель для \(\frac{79}{12}\) и \(\frac{9}{4}\), который равен 12:
\[
\frac{9}{4} = \frac{9 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{27}{12}
\]
Вычтем дроби:
\[
\frac{79}{12} - \frac{27}{12} = \frac{52}{12} = \frac{13}{3}
\]
- Разделим результаты:
\[
\frac{\frac{65}{12}}{\frac{13}{3}} = \frac{65}{12} \cdot \frac{3}{13} = \frac{65 \cdot 3}{12 \cdot 13} = \frac{195}{156} = \frac{65}{52}
\]
- Умножим на 0,8:
\[
\frac{65}{52} \cdot 0,8 = \frac{65}{52} \cdot \frac{8}{10} = \frac{65 \cdot 8}{52 \cdot 10} = \frac{520}{520} = 1
\]
Таким образом, значение выражения \(\left ( 3\frac{2}{3}+1\frac{3}{4} \right ):\left ( 6\frac{7}{12}-2\frac{1}{4} \right )\cdot 0,8\) равно 1.
Ответ: 1
Ответ: 1
Найдите значение выражени: \(\left ( 5\frac{3}{5}-1\frac{1}{3} \right ):\left ( 7\frac{7}{12}-2\frac{1}{4} \right )\cdot 1,25\)
Решение №190: Для решения выражения \(\left(5 \frac{3}{5} - 1 \frac{1}{3}\right) : \left(7 \frac{7}{12} - 2 \frac{1}{4}\right) \cdot 1.25\) выполним следующие шаги:
- Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
\[
5 \frac{3}{5} = \frac{25}{5} + \frac{3}{5} = \frac{28}{5}
\]
\[
1 \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}
\]
\[
7 \frac{7}{12} = \frac{84}{12} + \frac{7}{12} = \frac{91}{12}
\]
\[
2 \frac{1}{4} = \frac{8}{4} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}
\]
- Выполним вычитания в скобках:
\[
\left( \frac{28}{5} - \frac{4}{3} \right)
\]
\[
\left( \frac{91}{12} - \frac{9}{4} \right)
\]
- Приведем дроби к общему знаменателю для вычитания:
\[
\frac{28}{5} - \frac{4}{3} = \frac{84}{15} - \frac{20}{15} = \frac{64}{15}
\]
\[
\frac{91}{12} - \frac{9}{4} = \frac{91}{12} - \frac{27}{12} = \frac{64}{12} = \frac{16}{3}
\]
- Выполним деление:
\[
\left( \frac{64}{15} \right) : \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{64}{15} \cdot \frac{3}{16} = \frac{64 \cdot 3}{15 \cdot 16} = \frac{192}{240} = \frac{4}{5}
\]
- Умножим результат на 1.25:
\[
\frac{4}{5} \cdot 1.25 = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4} = 1
\]
Таким образом, значение выражения \(\left(5 \frac{3}{5} - 1 \frac{1}{3}\right) : \left(7 \frac{7}{12} - 2 \frac{1}{4}\right) \cdot 1.25\) равно 1.
Ответ: 1
Ответ: 1
Найдите значение выражени: \(\frac{\left ( \frac{2,1}{0,4}+\frac{3,3}{1,8} \right ):0,51\cdot 0,36}{2\frac{2}{3}\cdot \left ( \frac{4,5}{4,2}-\frac{1,6}{2,8} \right )}\)
Решение №203: Для решения выражения \(\frac{\left ( \frac{2,1}{0,4}+\frac{3,3}{1,8} \right ):0,51\cdot 0,36}{2\frac{2}{3}\cdot \left ( \frac{4,5}{4,2}-\frac{1,6}{2,8} \right )}\) выполним следующие шаги:
- Рассчитаем значения в числителе:
\[
\frac{2,1}{0,4} = 5,25
\]
\[
\frac{3,3}{1,8} = 1,8333
\]
- Сложим результаты:
\[
5,25 + 1,8333 = 7,0833
\]
- Умножим результат на 0,51:
\[
7,0833 \cdot 0,51 = 3,612513
\]
- Умножим результат на 0,36:
\[
3,612513 \cdot 0,36 = 1,30050468
\]
- Рассчитаем значения в знаменателе:
\[
\frac{4,5}{4,2} = 1,0714
\]
\[
\frac{1,6}{2,8} = 0,5714
\]
- Вычтем результаты:
\[
1,0714 - 0,5714 = 0,5
\]
- Переведем смешанное число в знаменателе в обыкновенную дробь:
\[
2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}
\]
- Умножим результат на \(\frac{8}{3}\):
\[
0,5 \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}
\]
- Разделим числитель на знаменатель:
\[
\frac{1,30050468}{\frac{4}{3}} = 1,30050468 \cdot \frac{3}{4} = 0,97537851
\]
Таким образом, значение выражения \(\frac{\left ( \frac{2,1}{0,4}+\frac{3,3}{1,8} \right ):0,51\cdot 0,36}{2\frac{2}{3}\cdot \left ( \frac{4,5}{4,2}-\frac{1,6}{2,8} \right )}\) есть \(0,97537851\).
Ответ: 0,97537851
Ответ: 3.75
Найдите значение выражени: \(1,456:\frac{7}{25}+\frac{5}{16}:0,125+4\frac{1}{2}\cdot 0,8\)
Решение №213: Для решения выражения \(1,456 : \frac{7}{25} + \frac{5}{16} : 0,125 + 4 \frac{1}{2} \cdot 0,8\) выполним следующие шаги:
- Запишем выражение:
\[
1,456 : \frac{7}{25} + \frac{5}{16} : 0,125 + 4 \frac{1}{2} \cdot 0,8
\]
- Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные дроби:
\[
1,456 = \frac{1456}{1000} = \frac{182}{125}
\]
\[
0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}
\]
\[
4 \frac{1}{2} = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}
\]
- Подставим обыкновенные дроби в выражение:
\[
\frac{182}{125} : \frac{7}{25} + \frac{5}{16} : \frac{1}{8} + \frac{9}{2} \cdot 0,8
\]
- Выполним деление дробей:
\[
\frac{182}{125} : \frac{7}{25} = \frac{182}{125} \cdot \frac{25}{7} = \frac{182 \cdot 25}{125 \cdot 7} = \frac{182}{35}
\]
\[
\frac{5}{16} : \frac{1}{8} = \frac{5}{16} \cdot \frac{8}{1} = \frac{5 \cdot 8}{16 \cdot 1} = \frac{5}{2}
\]
- Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную дробь:
\[
0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}
\]
- Выполним умножение дробей:
\[
\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 5} = \frac{36}{10} = \frac{18}{5}
\]
- Подставим результаты в выражение:
\[
\frac{182}{35} + \frac{5}{2} + \frac{18}{5}
\]
- Приведем дроби к общему знаменателю:
\[
\text{Общий знаменатель для 35, 2 и 5 есть 70.}
\]
\[
\frac{182}{35} = \frac{182 \cdot 2}{35 \cdot 2} = \frac{364}{70}
\]
\[
\frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 35}{2 \cdot 35} = \frac{175}{70}
\]
\[
\frac{18}{5} = \frac{18 \cdot 14}{5 \cdot 14} = \frac{252}{70}
\]
- Сложим дроби:
\[
\frac{364}{70} + \frac{175}{70} + \frac{252}{70} = \frac{364 + 175 + 252}{70} = \frac{791}{70}
\]
- Упростим дробь:
\[
\frac{791}{70} = 11 \frac{21}{70}
\]
Таким образом, значение выражения \(1,456 : \frac{7}{25} + \frac{5}{16} : 0,125 + 4 \frac{1}{2} \cdot 0,8\) есть \(11 \frac{21}{70}\).
Ответ: \(11 \frac{21}{70}\)
Ответ: 11.3
Найдите значение выражени: \(\frac{\left ( \frac{1}{2}+0,4+0,375 \right )\cdot \frac{2}{5}}{\frac{2}{3}\cdot 75}\)
Решение №216: Для решения выражения \(\frac{\left ( \frac{1}{2} + 0.4 + 0.375 \right ) \cdot \frac{2}{5}}{\frac{2}{3} \cdot 75}\) выполним следующие шаги:
- Сложим числа внутри скобок:
\[
\frac{1}{2} + 0.4 + 0.375
\]
Приведем \(\frac{1}{2}\) к десятичной форме:
\[
\frac{1}{2} = 0.5
\]
Сложим десятичные числа:
\[
0.5 + 0.4 + 0.375 = 1.275
\]
- Подставим результат в выражение:
\[
\frac{1.275 \cdot \frac{2}{5}}{\frac{2}{3} \cdot 75}
\]
- Умножим числитель:
\[
1.275 \cdot \frac{2}{5} = 1.275 \cdot 0.4 = 0.51
\]
- Умножим знаменатель:
\[
\frac{2}{3} \cdot 75 = \frac{2 \cdot 75}{3} = \frac{150}{3} = 50
\]
- Подставим результаты в выражение:
\[
\frac{0.51}{50}
\]
- Разделим числитель на знаменатель:
\[
\frac{0.51}{50} = 0.0102
\]
Таким образом, значение выражения \(\frac{\left ( \frac{1}{2} + 0.4 + 0.375 \right ) \cdot \frac{2}{5}}{\frac{2}{3} \cdot 75}\) есть \(0.0102\).
Ответ: 0.0102
Ответ: 0.0102
Найдите значение выражени: \(\frac{3\frac{1}{3}\cdot 1,9+19,5:4\frac{1}{2}}{\frac{62}{75}-\frac{4}{25}}\)
Решение №217: Для решения выражения \(\frac{3\frac{1}{3} \cdot 1,9 + 19,5 : 4\frac{1}{2}}{\frac{62}{75} - \frac{4}{25}}\) выполним следующие шаги:
- Преобразуем смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные дроби:
\[
3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}, \quad 1,9 = \frac{19}{10}, \quad 19,5 = \frac{39}{2}, \quad 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}
\]
- Подставим преобразованные значения в выражение:
\[
\frac{\frac{10}{3} \cdot \frac{19}{10} + \frac{39}{2} : \frac{9}{2}}{\frac{62}{75} - \frac{4}{25}}
\]
- Выполним умножение и деление в числителе:
\[
\frac{10}{3} \cdot \frac{19}{10} = \frac{10 \cdot 19}{3 \cdot 10} = \frac{19}{3}
\]
\[
\frac{39}{2} : \frac{9}{2} = \frac{39}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{39 \cdot 2}{2 \cdot 9} = \frac{39}{9} = \frac{13}{3}
\]
- Сложим результаты в числителе:
\[
\frac{19}{3} + \frac{13}{3} = \frac{19 + 13}{3} = \frac{32}{3}
\]
- Выполним вычитание в знаменателе:
\[
\frac{62}{75} - \frac{4}{25} = \frac{62}{75} - \frac{4 \cdot 3}{25 \cdot 3} = \frac{62}{75} - \frac{12}{75} = \frac{62 - 12}{75} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}
\]
- Подставим результаты в исходное выражение:
\[
\frac{\frac{32}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{32}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{32}{2} = 16
\]
Таким образом, значение выражения \(\frac{3\frac{1}{3} \cdot 1,9 + 19,5 : 4\frac{1}{2}}{\frac{62}{75} - \frac{4}{25}}\) равно \(16\).
Ответ: 16
Ответ: 16
Найдите значение выражени: \(\frac{0,4+8:\left ( 5-0,8\cdot \frac{3}{8} \right )-5:2\frac{1}{2}}{1\frac{7}{8}\cdot 8-\left ( 8,9-2,6:\frac{2}{3} \right )}\)
Решение №231: Для решения выражения \(\frac{0,4+8:\left(5-0,8 \cdot \frac{3}{8}\right)-5: 2 \frac{1}{2}}{1 \frac{7}{8} \cdot 8-\left(8,9-2,6: \frac{2}{3}\right)}\) выполним следующие шаги:
- Упростим выражение в числителе:
\[
0,4 + 8 : \left(5 - 0,8 \cdot \frac{3}{8}\right) - 5 : 2 \frac{1}{2}
\]
- Вычислим \(0,8 \cdot \frac{3}{8}\):
\[
0,8 \cdot \frac{3}{8} = 0,8 \cdot 0,375 = 0,3
\]
- Подставим результат в числитель:
\[
0,4 + 8 : (5 - 0,3) - 5 : 2 \frac{1}{2}
\]
- Вычислим \(5 - 0,3\):
\[
5 - 0,3 = 4,7
\]
- Подставим результат в числитель:
\[
0,4 + 8 : 4,7 - 5 : 2 \frac{1}{2}
\]
- Вычислим \(8 : 4,7\):
\[
8 : 4,7 \approx 1,702
\]
- Вычислим \(5 : 2 \frac{1}{2}\):
\[
5 : 2 \frac{1}{2} = 5 : 2,5 = 2
\]
- Подставим результаты в числитель:
\[
0,4 + 1,702 - 2
\]
- Вычислим окончательное значение числителя:
\[
0,4 + 1,702 - 2 = 0,102
\]
- Упростим выражение в знаменателе:
\[
1 \frac{7}{8} \cdot 8 - \left(8,9 - 2,6 : \frac{2}{3}\right)
\]
- Вычислим \(2,6 : \frac{2}{3}\):
\[
2,6 : \frac{2}{3} = 2,6 \cdot \frac{3}{2} = 3,9
\]
- Подставим результат в знаменатель:
\[
1 \frac{7}{8} \cdot 8 - (8,9 - 3,9)
\]
- Вычислим \(8,9 - 3,9\):
\[
8,9 - 3,9 = 5
\]
- Подставим результат в знаменатель:
\[
1 \frac{7}{8} \cdot 8 - 5
\]
- Вычислим \(1 \frac{7}{8} \cdot 8\):
\[
1 \frac{7}{8} = 1 + \frac{7}{8} = \frac{8}{8} + \frac{7}{8} = \frac{15}{8}
\]
\[
\frac{15}{8} \cdot 8 = 15
\]
- Подставим результат в знаменатель:
\[
15 - 5 = 10
\]
- Теперь у нас есть числитель и знаменатель:
\[
\frac{0,102}{10}
\]
- Вычислим окончательное значение выражения:
\[
\frac{0,102}{10} = 0,0102
\]
Таким образом, значение выражения \(\frac{0,4+8:\left(5-0,8 \cdot \frac{3}{8}\right)-5: 2 \frac{1}{2}}{1 \frac{7}{8} \cdot 8-\left(8,9-2,6: \frac{2}{3}\right)}\) есть \(0,0102\).
Ответ: \(0,0102\)
Ответ: 0.0102128
Два велосипедиста одновременно выехали из лагеря в противоположных направлениях со скоростями 10 км/ч и 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч 6 минут?
Решение №485: Для решения задачи о расстоянии между двумя велосипедистами, которые выехали из лагеря в противоположных направлениях со скоростями 10 км/ч и 12 км/ч, через 3 часа 6 минут, выполним следующие шаги:
- Запишем скорости велосипедистов:
\[
V_1 = 10 \text{ км/ч}, \quad V_2 = 12 \text{ км/ч}
\]
- Переведем время в часы:
\[
3 \text{ часа } 6 \text{ минут} = 3 + \frac{6}{60} = 3 + 0.1 = 3.1 \text{ часа}
\]
- Найдем общее расстояние, которое проедет каждый велосипедист за 3.1 часа:
\[
S_1 = V_1 \cdot t = 10 \cdot 3.1 = 31 \text{ км}
\]
\[
S_2 = V_2 \cdot t = 12 \cdot 3.1 = 37.2 \text{ км}
\]
- Поскольку велосипедисты движутся в противоположных направлениях, найдем суммарное расстояние между ними:
\[
S = S_1 + S_2 = 31 + 37.2 = 68.2 \text{ км}
\]
Таким образом, расстояние между велосипедистами через 3 часа 6 минут будет 68.2 км.
Ответ: 68.2 км.
Ответ: 68.2
Два велосипедиста выехали одновременно из двух сёл навстречу друг другу и встретились через 1,6 ч. Скорость первого 10 км/ч, а второго − 12 км/ч. Найдите расстояние между сёлами.
Решение №487: Для решения задачи о расстоянии между сёлами выполним следующие шаги:
- Запишем данные задачи:
- Время встречи: \( t = 1,6 \) часа.
- Скорость первого велосипедиста: \( v_1 = 10 \) км/ч.
- Скорость второго велосипедиста: \( v_2 = 12 \) км/ч.
- Найдём путь, пройденный каждым велосипедистом до встречи:
\[
S_1 = v_1 \cdot t = 10 \cdot 1,6 = 16 \text{ км}
\]
\[
S_2 = v_2 \cdot t = 12 \cdot 1,6 = 19,2 \text{ км}
\]
- Расстояние между сёлами равно сумме путей, пройденных обоими велосипедистами:
\[
S = S_1 + S_2 = 16 + 19,2 = 35,2 \text{ км}
\]
Таким образом, расстояние между сёлами составляет 35,2 км.
Ответ: 35,2 км
Ответ: 35.2
Два поезда выехали одновременно из пунктов A и B навстречу друг другу. Расстояние между пунктами A и B равно 350 км. Скорость первого 65 км/ч, второго − 75 км/ч. Сколько решений имеет задача?
Решение №498: Для решения задачи о встречных поездах, выполним следующие шаги:
- Определим начальные условия:
- Расстояние между пунктами A и B: 350 км.
- Скорость первого поезда: 65 км/ч.
- Скорость второго поезда: 75 км/ч.
- Обозначим скорости поездов:
- Скорость первого поезда: \(v_1 = 65\) км/ч.
- Скорость второго поезда: \(v_2 = 75\) км/ч.
- Найдем суммарную скорость поездов:
\[
v_{\text{сумм}} = v_1 + v_2 = 65 + 75 = 140 \text{ км/ч}
\]
- Определим время встречи поездов:
\[
t = \frac{\text{расстояние}}{\text{суммарная скорость}} = \frac{350}{140} = 2.5 \text{ часа}
\]
- Рассмотрим возможные варианты встречи поездов:
- Поезда встретятся через 2.5 часа после выезда из пунктов A и B.
- Поезда могут встретиться только один раз, так как они движутся навстречу друг другу.
- Заключение:
- Задача имеет одно решение, так как поезда встретятся через 2.5 часа после выезда из пунктов A и B.
Ответ: 1
Ответ: Имеется два решения
Из двух сел одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста. Скорость одного из них 19,5 км/ч, а скорость второго составляет \( \frac{2}{3} \) скорости первого. Какое расстояние между селами, если велосипедисты встретились через 48 мин?
Решение №499: Для решения задачи выполним следующие шаги:
- Запишем скорости велосипедистов:
\[
v_1 = 19.5 \, \text{км/ч}
\]
\[
v_2 = \frac{2}{3} v_1 = \frac{2}{3} \cdot 19.5 \, \text{км/ч}
\]
- Вычислим скорость второго велосипедиста:
\[
v_2 = \frac{2}{3} \cdot 19.5 = 13 \, \text{км/ч}
\]
- Переведем время встречи в часы:
\[
t = 48 \, \text{мин} = \frac{48}{60} \, \text{ч} = 0.8 \, \text{ч}
\]
- Используем формулу для нахождения расстояния между селами:
\[
S = (v_1 + v_2) \cdot t
\]
- Подставим значения скоростей и времени в формулу:
\[
S = (19.5 + 13) \cdot 0.8
\]
- Вычислим сумму скоростей:
\[
19.5 + 13 = 32.5 \, \text{км/ч}
\]
- Вычислим расстояние:
\[
S = 32.5 \cdot 0.8 = 26 \, \text{км}
\]
Таким образом, расстояние между селами составляет 26 км.
Ответ: 26 км
Ответ: 26
Города $A$ и $B$ расположены на одном шоссе. Из этих городов одновременно в одном направлении выехали два автобуса. Первый автобус двигался со скоростью $54$ км/ч, что составляет $0,6$ скорости второго автобуса. Второй автобус догнал первый через $1$ ч $30$ мин после выезда. Каково расстояние между городами $A$ и $B$?
Решение №502: #### **1. Найдем скорость второго автобуса.**
Из условия:
Скорость первого автобуса (\( V_1 \)) = \( 54 \) км/ч,
и она составляет \( 0{,}6 \) от скорости второго автобуса (\( V_2 \)).
То есть:
\[
V_1 = 0{,}6 \cdot V_2
\]
\[
54 = 0{,}6 \cdot V_2
\]
\[
V_2 = \frac{54}{0{,}6} = 90 \text{ км/ч}
\]
**Ответ:** Скорость второго автобуса — \( 90 \) км/ч.
---
#### **2. Определим скорость сближения автобусов.**
Поскольку автобусы движутся в **одном направлении**, скорость сближения равна разности их скоростей:
\[
V_{\text{сближ}} = V_2 - V_1 = 90 - 54 = 36 \text{ км/ч}
\]
**Ответ:** Второй автобус приближается к первому со скоростью \( 36 \) км/ч.
---
#### **3. Найдем расстояние между городами \( A \) и \( B \).**
Из условия второй автобус догнал первый через \( 1 \) ч \( 30 \) мин (\( = 1{,}5 \) часа).
За это время второй автобус должен был сократить изначальное расстояние между городами (\( S \)) со скоростью \( 36 \) км/ч.
То есть:
\[
S = V_{\text{сближ}} \cdot t = 36 \cdot 1{,}5 = 54 \text{ км}
\]
**Ответ:** Расстояние между городами \( A \) и \( B \) — \( 54 \) км.
---
### **Проверка:**
- Первый автобус за \( 1{,}5 \) часа проедет:
\[
54 \text{ км/ч} \cdot 1{,}5 \text{ ч} = 81 \text{ км}
\]
- Второй автобус за \( 1{,}5 \) часа проедет:
\[
90 \text{ км/ч} \cdot 1{,}5 \text{ ч} = 135 \text{ км}
\]
- Разница в расстоянии:
\[
135 - 81 = 54 \text{ км}
\]
Это и есть расстояние между городами \( A \) и \( B \), значит, решение верное.
---
### **Итоговый ответ:**
\[
\boxed{54 \text{ км}}
\]
Ответ: 32.4
Города $A$ и $B$ расположены на одном шоссе. Из этих городов одновременно в одном направлении вышли два поезда. Скорость первого поезда $35$ км/ч, что составляет $0,7$ скорости второго поезда. Второй поезд догнал первый через $1$ ч $30$ мин после выезда. Каково расстояние между городами $A$ и $B$ ?
Решение №508: Для решения задачи о расстоянии между городами \(A\) и \(B\) выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение для скорости второго поезда:
\[
v_2 = \frac{v_1}{0.7}
\]
где \(v_1 = 35\) км/ч (скорость первого поезда).
- Подставим значение \(v_1\) в уравнение:
\[
v_2 = \frac{35}{0.7} = 50 \text{ км/ч}
\]
- Время, за которое второй поезд догнал первый, составляет 1 час 30 минут, что эквивалентно:
\[
1 \text{ час } 30 \text{ минут} = 1.5 \text{ часа}
\]
- Расстояние, которое прошел второй поезд за это время, равно:
\[
d_2 = v_2 \cdot t = 50 \cdot 1.5 = 75 \text{ км}
\]
- Расстояние, которое прошел первый поезд за это время, равно:
\[
d_1 = v_1 \cdot t = 35 \cdot 1.5 = 52.5 \text{ км}
\]
- Расстояние между городами \(A\) и \(B\) равно разнице расстояний, пройденных двумя поездами:
\[
\text{Расстояние между } A \text{ и } B = d_2 - d_1 = 75 - 52.5 = 22.5 \text{ км}
\]
Таким образом, расстояние между городами \(A\) и \(B\) составляет \(22.5\) км.
Ответ: \(22.5\) км
Ответ: 22.5
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов \( A \) и \( B \). При встрече
оказалось, что первый пешеход прошел \( \frac{1}{5} \) всего пути и еще \(1,3\) км, а второй – в \(3\) раза больше первого. Чему равно расстояние от \( A \) до \( B \) ?
Решение №516:
- Пусть расстояние между пунктами \( A \) и \( B \) равно \( d \) км.
- Первый пешеход прошел \( \frac{1}{5} \) всего пути и еще \( 1,3 \) км. Запишем это уравнением:
\[
\text{Путь первого пешехода} = \frac{1}{5}d + 1,3
\]
- Второй пешеход прошел в 3 раза больше, чем первый пешеход. Запишем это уравнением:
\[
\text{Путь второго пешехода} = 3 \left( \frac{1}{5}d + 1,3 \right)
\]
- Поскольку они встретились, сумма их путей равна всему расстоянию \( d \):
\[
\frac{1}{5}d + 1,3 + 3 \left( \frac{1}{5}d + 1,3 \right) = d
\]
- Раскроем скобки и упростим уравнение:
\[
\frac{1}{5}d + 1,3 + \frac{3}{5}d + 3,9 = d
\]
- Объединим подобные члены:
\[
\frac{1}{5}d + \frac{3}{5}d + 1,3 + 3,9 = d
\]
\[
\frac{4}{5}d + 5,2 = d
\]
- Вычтем \(\frac{4}{5}d\) из обеих частей уравнения:
\[
5,2 = d - \frac{4}{5}d
\]
\[
5,2 = \frac{1}{5}d
\]
- Умножим обе части уравнения на 5, чтобы найти \( d \):
\[
d = 5,2 \times 5
\]
\[
d = 26
\]
Таким образом, расстояние от \( A \) до \( B \) равно \( 26 \) км.
Ответ: 26
Ответ: 26
Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов. . Один автомобиль проезжает все расстояние между городами за \(3\frac{1}{3}\) часа, а другой – за \(4\frac{2}{3}\) часа. Какую часть пути им останется проехать до встречи спустя \(1\frac{5}{9}\) часа после выезда?
Решение №536: Для решения задачи выполним следующие шаги:
- Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
\[
3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}, \quad 4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}, \quad 1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}
\]
- Обозначим скорости автомобилей:
\[
v_1 = \frac{S}{\frac{10}{3}} = \frac{3S}{10}, \quad v_2 = \frac{S}{\frac{14}{3}} = \frac{3S}{14}
\]
где \(S\) — расстояние между городами.
- Обозначим расстояния, которые проедут автомобили за время \( \frac{14}{9} \) часа:
\[
S_1 = v_1 \cdot \frac{14}{9} = \frac{3S}{10} \cdot \frac{14}{9} = \frac{42S}{90} = \frac{7S}{15}
\]
\[
S_2 = v_2 \cdot \frac{14}{9} = \frac{3S}{14} \cdot \frac{14}{9} = \frac{3S}{9} = \frac{S}{3}
\]
- Найдем общее расстояние, которое проедут оба автомобиля за время \( \frac{14}{9} \) часа:
\[
S_{\text{общ}} = S_1 + S_2 = \frac{7S}{15} + \frac{S}{3}
\]
- Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их:
\[
\frac{S}{3} = \frac{5S}{15}
\]
\[
S_{\text{общ}} = \frac{7S}{15} + \frac{5S}{15} = \frac{12S}{15} = \frac{4S}{5}
\]
- Найдем долю пути, которую автомобили еще не проехали до встречи:
\[
S_{\text{ост}} = S - S_{\text{общ}} = S - \frac{4S}{5} = \frac{5S}{5} - \frac{4S}{5} = \frac{S}{5}
\]
- Таким образом, автомобилям останется проехать \(\frac{1}{5}\) части пути.
Ответ: \(\frac{1}{5}\)
Ответ: \(frac{1}{5}\)
Теплоход по течению реки прошел $330$ км за $12$ ч, а против течения $240,5$ км он прошел за $13$ ч. Какова собственная скорость теплохода?
Решение №545: Для решения задачи о собственной скорости теплохода выполним следующие шаги:
- Обозначим собственную скорость теплохода как \(v\) км/ч, а скорость течения реки как \(u\) км/ч.
- При движении по течению скорость теплохода составляет \(v + u\) км/ч. Запишем уравнение для движения по течению:
\[
(v + u) \cdot 12 = 330
\]
- При движении против течения скорость теплохода составляет \(v - u\) км/ч. Запишем уравнение для движения против течения:
\[
(v - u) \cdot 13 = 240.5
\]
- Решим уравнение для движения по течению:
\[
v + u = \frac{330}{12} = 27.5
\]
- Решим уравнение для движения против течения:
\[
v - u = \frac{240.5}{13} = 18.5
\]
- Теперь у нас есть система уравнений:
\[
\begin{cases}
v + u = 27.5 \\
v - u = 18.5
\end{cases}
\]
- Сложим оба уравнения, чтобы исключить \(u\):
\[
(v + u) + (v - u) = 27.5 + 18.5
\]
\[
2v = 46
\]
- Решим уравнение для \(v\):
\[
v = \frac{46}{2} = 23
\]
Таким образом, собственная скорость теплохода составляет \(23\) км/ч.
Ответ: \(23\) км/ч.
Ответ: 23
Найдите число, $17$ % которого на $27$ больше $14$ % его.
Решение №647: Для решения задачи Найдите число, 17% которого на 27 больше 14% его выполним следующие шаги:
- Пусть \( x \) — искомое число.
- Запишем условие задачи в виде уравнения:
\[
0.17x = 0.14x + 27
\]
- Перенесём \( 0.14x \) в левую часть уравнения:
\[
0.17x - 0.14x = 27
\]
- Упростим левую часть уравнения:
\[
0.03x = 27
\]
- Разделим обе части уравнения на 0.03:
\[
x = \frac{27}{0.03}
\]
- Выполним деление:
\[
x = 900
\]
Таким образом, решение задачи есть \( x = 900 \).
Ответ: 900
Ответ: 900
Мальчик Гриша прочитал в первый день 30% всей книги, во второй − 40% оставшейся части, а в третий − оставшиеся 105 страниц. Сколько всего страниц было в книге?
Решение №833: Для решения задачи о том, сколько всего страниц было в книге, выполним следующие шаги:
- Обозначим общее количество страниц в книге как \( x \).
- В первый день Гриша прочитал 30% всей книги. Тогда количество страниц, прочитанных в первый день:
\[
0.30x
\]
- После первого дня осталось:
\[
x - 0.30x = 0.70x
\]
- Во второй день Гриша прочитал 40% оставшейся части. Тогда количество страниц, прочитанных во второй день:
\[
0.40 \times 0.70x = 0.28x
\]
- После второго дня осталось:
\[
0.70x - 0.28x = 0.42x
\]
- В третий день Гриша прочитал оставшиеся 105 страниц. Тогда:
\[
0.42x = 105
\]
- Решим уравнение \( 0.42x = 105 \):
\[
x = \frac{105}{0.42}
\]
- Вычислим значение \( x \):
\[
x = 250
\]
Таким образом, общее количество страниц в книге было \( 250 \).
Ответ: 250
Ответ: 250
Пиджак дороже брюк на 25%. На сколько процентов брюки дешевле пиджака?
Решение №837: Для решения задачи Пиджак дороже брюк на 25%. На сколько процентов брюки дешевле пиджака? выполним следующие шаги:
- Пусть стоимость брюк равна \(B\).
- Пусть стоимость пиджака равна \(P\).
- Согласно условию, пиджак дороже брюк на 25%, то есть:
\[
P = B + 0.25B = 1.25B
\]
- Найдем, на сколько процентов брюки дешевле пиджака. Для этого вычислим разницу в стоимости:
\[
\text{Разница} = P - B = 1.25B - B = 0.25B
\]
- Теперь выразим разницу в процентах от стоимости пиджака:
\[
\text{Процентная разница} = \left( \frac{0.25B}{P} \right) \times 100\%
\]
- Подставим \(P = 1.25B\) в формулу:
\[
\text{Процентная разница} = \left( \frac{0.25B}{1.25B} \right) \times 100\% = \left( \frac{0.25}{1.25} \right) \times 100\% = 0.20 \times 100\% = 20\%
\]
Таким образом, брюки дешевле пиджака на 20%.
Ответ: 20%
Ответ: 25
Куртка дороже пиджака на 60%. На сколько процентов пиджак дешевле куртки?
Решение №838: Для решения задачи Куртка дороже пиджака на 60%. На сколько процентов пиджак дешевле куртки? выполним следующие шаги:
- Пусть стоимость пиджака будет \( P \).
- Стоимость куртки будет \( K \).
- По условию задачи, куртка дороже пиджака на 60%, то есть:
\[
K = P + 0.6P = 1.6P
\]
- Теперь найдем, на сколько процентов пиджак дешевле куртки. Для этого вычислим разницу в стоимости:
\[
\text{Разница} = K - P = 1.6P - P = 0.6P
\]
- Выразим разницу в процентах от стоимости куртки:
\[
\text{Процент} = \left( \frac{0.6P}{1.6P} \right) \times 100\% = \left( \frac{0.6}{1.6} \right) \times 100\%
\]
- Упростим дробь:
\[
\frac{0.6}{1.6} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}
\]
- Переведем дробь в проценты:
\[
\frac{3}{8} \times 100\% = 37.5\%
\]
Таким образом, пиджак дешевле куртки на 37.5%.
Ответ: 37.5%
Ответ: 37.5
Цена на акцию сначала увеличилась на 20% процентов, а потом уменьшилась на 20%. На сколько процентов и в какую сторону изменилась цена акции по сравнению с первоначальной?
Решение №850: Для решения задачи Цена на акцию сначала увеличилась на 20% процентов, а потом уменьшилась на 20%. На сколько процентов и в какую сторону изменилась цена акции по сравнению с первоначальной? выполним следующие шаги:
- Пусть первоначальная цена акции \(P\).
- Цена акции увеличилась на 20%. Вычислим новую цену акции после увеличения:
\[
P_{\text{нов}} = P + 0.2P = 1.2P
\]
- Цена акции затем уменьшилась на 20%. Вычислим новую цену акции после уменьшения:
\[
P_{\text{нов2}} = 1.2P - 0.2 \cdot 1.2P = 1.2P \cdot (1 - 0.2) = 1.2P \cdot 0.8 = 0.96P
\]
- Сравним конечную цену акции с первоначальной:
\[
\frac{P_{\text{нов2}}}{P} = \frac{0.96P}{P} = 0.96
\]
Это означает, что конечная цена акции составляет 96% от первоначальной цены.
- Вычислим процентное изменение цены акции:
\[
\text{Процентное изменение} = (0.96 - 1) \times 100\% = -4\%
\]
Знак минус указывает на уменьшение.
- Таким образом, цена акции уменьшилась на 4% по сравнению с первоначальной.
Ответ: Цена акции уменьшилась на 4%.
Ответ: уменьшилась на 4
Цена на акцию сначала увеличилась на 1% процент, а потом уменьшилась на 1%. На сколько процентов и в какую сторону изменилась цена акции по сравнению с первоначальной?
Решение №851: Для решения задачи о изменении цены акции выполним следующие шаги:
- Пусть первоначальная цена акции равна \( P \).
- После увеличения на 1% новая цена акции будет:
\[
P_{\text{нов}} = P \times 1.01
\]
- Затем цена акции уменьшается на 1% от новой цены:
\[
P_{\text{нов2}} = P_{\text{нов}} \times 0.99
\]
- Подставим \( P_{\text{нов}} \) в выражение для \( P_{\text{нов2}} \):
\[
P_{\text{нов2}} = (P \times 1.01) \times 0.99
\]
- Упростим выражение:
\[
P_{\text{нов2}} = P \times 1.01 \times 0.99
\]
- Вычислим произведение:
\[
P_{\text{нов2}} = P \times (1.01 \times 0.99) = P \times 0.9999
\]
- Таким образом, конечная цена акции составляет 99.99% от первоначальной цены.
- Изменение цены акции по сравнению с первоначальной:
\[
\text{Изменение} = 100\% - 99.99\% = 0.01\%
\]
- Цена акции уменьшилась на 0.01%.
Таким образом, цена акции уменьшилась на 0.01% по сравнению с первоначальной.
Ответ: уменьшилась на 0.01%
Ответ: уменьшилась на 0, 00001
Цена на проезд три раза увеличилась на 10%. На сколько процентов увеличилась цена по сравнению с первоначальной?
Решение №855: Для решения задачи Цена на проезд три раза увеличилась на 10%. На сколько процентов увеличилась цена по сравнению с первоначальной? выполним следующие шаги:
- Обозначим первоначальную цену как \(P\).
- Каждое увеличение на 10% можно представить как умножение на \(1.1\).
- После первого увеличения цена станет:
\[
P_1 = P \cdot 1.1
\]
- После второго увеличения цена станет:
\[
P_2 = P_1 \cdot 1.1 = P \cdot 1.1^2
\]
- После третьего увеличения цена станет:
\[
P_3 = P_2 \cdot 1.1 = P \cdot 1.1^3
\]
- Вычислим \(1.1^3\):
\[
1.1^3 = 1.1 \cdot 1.1 \cdot 1.1 = 1.331
\]
- Таким образом, окончательная цена будет:
\[
P_3 = P \cdot 1.331
\]
- Увеличение цены по сравнению с первоначальной можно выразить в процентах:
\[
\text{Увеличение} = (1.331 - 1) \cdot 100\% = 0.331 \cdot 100\% = 33.1\%
\]
Таким образом, цена увеличилась на \(33.1\%\) по сравнению с первоначальной.
Ответ: 33.1%
Ответ: 33.1
Известно, что 130% от целого равны 117. Сколько процентов от этого же целого составляет число 1,08?
Решение №1037: Для решения задачи Известно, что 130% от целого равны 117. Сколько процентов от этого же целого составляет число 1,08? выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение для 130% от целого числа \(N\):
\[
130\% \cdot N = 117
\]
- Переведем проценты в десятичную форму:
\[
130\% = 1.3
\]
Подставим это в уравнение:
\[
1.3 \cdot N = 117
\]
- Решим уравнение для \(N\):
\[
N = \frac{117}{1.3}
\]
Выполним деление:
\[
N = 90
\]
- Теперь найдем, сколько процентов от \(N\) составляет число 1,08. Для этого запишем уравнение:
\[
P\% \cdot N = 1.08
\]
Подставим значение \(N = 90\):
\[
P\% \cdot 90 = 1.08
\]
- Переведем проценты в десятичную форму:
\[
P\% = \frac{P}{100}
\]
Подставим это в уравнение:
\[
\frac{P}{100} \cdot 90 = 1.08
\]
- Решим уравнение для \(P\):
\[
\frac{P}{100} \cdot 90 = 1.08
\]
Умножим обе части уравнения на 100 и разделим на 90:
\[
P = \frac{1.08 \cdot 100}{90}
\]
Выполним умножение и деление:
\[
P = \frac{108}{90}
\]
Упростим дробь:
\[
P = 1.2
\]
Таким образом, число 1,08 составляет 1.2% от целого числа \(N\).
Ответ: 1.2%
Ответ: NaN
В растворе массой 280 г содержится 56 г соли. Какова концентрация этого раствора?
Решение №1039: Для решения задачи о концентрации раствора выполним следующие шаги:
- Запишем данные задачи:
- Масса раствора: 280 г
- Масса соли в растворе: 56 г
- Определим концентрацию раствора. Концентрация раствора вычисляется как отношение массы соли к общей массе раствора, выраженное в процентах:
\[
\text{Концентрация} = \left( \frac{\text{Масса соли}}{\text{Масса раствора}} \right) \times 100\%
\]
- Подставим данные в формулу:
\[
\text{Концентрация} = \left( \frac{56 \, \text{г}}{280 \, \text{г}} \right) \times 100\%
\]
- Выполним деление:
\[
\frac{56}{280} = 0.2
\]
- Умножим результат на 100%:
\[
0.2 \times 100\% = 20\%
\]
- Запишем окончательный результат:
\[
\text{Концентрация раствора} = 20\%
\]
Таким образом, концентрация раствора составляет 20%.
Ответ: 20%
Ответ: NaN
Вкладчик положил деньги в банк под 15% годовых и получил через год доход 81000 рублей. Какая сумма была положена в банк?
Решение №1045: Для решения задачи определим сумму, которую вкладчик положил в банк.
- Запишем условие задачи:
Вкладчик положил деньги в банк под 15% годовых и получил через год доход 81000 рублей.
- Обозначим сумму, положенную в банк, как \(S\).
- Формула для вычисления дохода по процентам:
\[
\text{Доход} = \frac{S \cdot 15}{100}
\]
- Подставим известное значение дохода:
\[
81000 = \frac{S \cdot 15}{100}
\]
- Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от знаменателя:
\[
81000 \cdot 100 = S \cdot 15
\]
- Выполним умножение:
\[
8100000 = 15S
\]
- Разделим обе части уравнения на 15, чтобы найти \(S\):
\[
S = \frac{8100000}{15}
\]
- Выполним деление:
\[
S = 540000
\]
Таким образом, сумма, положенная в банк, составляет 540000 рублей.
Ответ: 540000
Ответ: NaN
Завод должен был за месяц по плану выплавить 980 т стали. Но план выполнили на 115%. Сколько тонн стали выплавил завод?
Решение №1046: Для решения задачи выполним следующие шаги:
- Запишем план выплавки стали:
\[
\text{План} = 980 \text{ т}
\]
- Запишем процент выполнения плана:
\[
\text{Процент выполнения} = 115\%
\]
- Переведем процент выполнения в десятичную дробь:
\[
115\% = 1.15
\]
- Вычислим фактическое количество выплавленной стали, умножив план на процент выполнения:
\[
\text{Фактическое количество} = 980 \text{ т} \times 1.15
\]
- Выполним умножение:
\[
980 \times 1.15 = 1127 \text{ т}
\]
Таким образом, завод выплавил 1127 тонн стали.
Ответ: 1127 т
Ответ: NaN
В семенах подсолнечника нового сорта содержится 49,5% масла. Сколько килограммов таких семян надо взять, чтобы в них содержалось 29,7 кг масла?
Решение №1047: Для решения задачи определим, сколько килограммов семян подсолнечника нового сорта нужно взять, чтобы в них содержалось 29,7 кг масла.
- Запишем данные задачи:
- Процент масла в семенах: \(49.5\%\)
- Масса масла, которую нужно получить: \(29.7\) кг
- Пусть \(x\) — масса семян в килограммах, которую нужно взять.
- Составим уравнение:
\[
\frac{49.5}{100} \cdot x = 29.7
\]
- Переведем процент в десятичную дробь:
\[
0.495 \cdot x = 29.7
\]
- Решим уравнение относительно \(x\):
\[
x = \frac{29.7}{0.495}
\]
- Выполним деление:
\[
x \approx 60
\]
Таким образом, чтобы получить 29,7 кг масла, нужно взять 60 кг семян подсолнечника нового сорта.
Ответ: 60 кг
Ответ: NaN
Найдите значение дроби: \(\frac{x+y}{x}\), если \(\frac{x}{y}=0,2\)
Решение №1588: \(\frac{x+y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x} = 1+5 = 6; \frac{x}{y}=0,2=\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\)
Ответ: \(\frac{1}{5}\)
Зная, что \(\frac{a+2b}{b}=7\), найдите значение выражения: \(\frac{2a-b}{2b}\)
Решение №1591: \(\frac{2a-b}{2b}=\frac{2a}{2b}-\frac{b}{2b}=\frac{a}{b}-\frac{1}{2}=5-\frac{1}{2}=4\tfrac{1}{2}= 4,5\)
Ответ: 4.5