Решение №6: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость пешехода как \(v_п\) км/ч.
2. Скорость велосипедиста будет \(v_в = 2\frac{1}{3} v_п = \frac{7}{3} v_п\) км/ч.
3. За 15 минут (что составляет \(\frac{15}{60} = \frac{1}{4}\) часа) велосипедист догнал пешехода.
4. За это время велосипедист проехал расстояние \(s_в = v_в \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{3} v_п \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{12} v_п\) км.
5. За это же время пешеход прошел расстояние \(s_п = v_п \cdot \frac{1}{4}\) км.
6. Велосипедист догнал пешехода, значит, он проехал расстояние, равное 1,6 км плюс расстояние, пройденное пешеходом за 15 минут: \[ \frac{7}{12} v_п = 1,6 + \frac{1}{4} v_п \]
7. Решим уравнение: \[ \frac{7}{12} v_п = 1,6 + \frac{1}{4} v_п \] Для этого приведем все к общему знаменателю: \[ \frac{7}{12} v_п - \frac{1}{4} v_п = 1,6 \] \[ \frac{7}{12} v_п - \frac{3}{12} v_п = 1,6 \] \[ \frac{4}{12} v_п = 1,6 \] \[ \frac{1}{3} v_п = 1,6 \] \[ v_п = 1,6 \cdot 3 \] \[ v_п = 4,8 \text{ км/ч} \]

Ответ: 4.8

Решение №14: Для решения задачи о времени, за которое моторная лодка проплывет путь от одной пристани до другой и обратно, выполним следующие шаги:

1. Определим скорость течения реки: \[ v_{\text{течения}} = \frac{1}{6} \cdot 7,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 1,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]
2. Определим скорость лодки по течению: \[ v_{\text{по течению}} = 7,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} + 1,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 8,4 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]
3. Определим скорость лодки против течения: \[ v_{\text{против течения}} = 7,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} - 1,2 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 6 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} \]
4. Вычислим время, за которое лодка проплывет путь до другой пристани по течению: \[ t_{\text{по течению}} = \frac{12,3 \, \text{км}}{8,4 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = 1,464 \, \text{ч} \]
5. Вычислим время, за которое лодка проплывет путь обратно против течения: \[ t_{\text{против течения}} = \frac{12,3 \, \text{км}}{6 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = 2,05 \, \text{ч} \]
6. Найдем общее время пути: \[ t_{\text{общее}} = t_{\text{по течению}} + t_{\text{против течения}} = 1,464 \, \text{ч} + 2,05 \, \text{ч} = 3,514 \, \text{ч} \]

Ответ: 3.514

Решение №38: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость лодки на озере как \(v_L\) и скорость плота на реке как \(v_P\).
2. Пусть \(S\) — расстояние, которое проплывают лодка и плот.
3. Запишем уравнения для времени прохождения расстояния \(S\): \[ \frac{S}{v_L} = 5 \quad \text{и} \quad \frac{S}{v_P} = 20 \]
4. Выразим скорости \(v_L\) и \(v_P\) через расстояние \(S\): \[ v_L = \frac{S}{5} \quad \text{и} \quad v_P = \frac{S}{20} \]
5. Пусть \(v_T\) — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки будет \(v_L + v_T\).
6. Запишем уравнение для времени \(t\), которое лодка затратит на прохождение расстояния \(S\) по течению реки: \[ \frac{S}{v_L + v_T} = t \]
7. Подставим выражения для \(v_L\) и \(v_P\) в уравнение: \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + v_T} = t \]
8. Поскольку \(v_T = v_P\) (скорость течения реки равна скорости плота), подставим \(v_P\): \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + \frac{S}{20}} = t \]
9. Упростим выражение в знаменателе: \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + \frac{S}{20}} = \frac{S}{\frac{4S + S}{20}} = \frac{S}{\frac{5S}{20}} = \frac{S}{\frac{S}{4}} = 4 \]
10. Таким образом, лодка затратит 4 часа на прохождение того же расстояния по течению реки.

Ответ: 4

Решение №45: Для решения задачи о расстоянии, которое проплывет катер, выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Собственная скорость катера: \( v_c = 14,7 \) км/ч.
   • Скорость катера против течения реки: \( v_{up} = 10,2 \) км/ч.
   • Время движения по течению реки: \( t_{down} = 2 \) ч.
   • Время движения против течения реки: \( t_{up} = 4,5 \) ч.
2. Найдем скорость течения реки \( v_r \):
   • Скорость катера по течению реки: \( v_{down} = v_c + v_r \).
   • Скорость катера против течения реки: \( v_{up} = v_c - v_r \).
   Подставим известные значения: \[ v_{up} = v_c - v_r \implies 10,2 = 14,7 - v_r \implies v_r = 14,7 - 10,2 = 4,5 \text{ км/ч} \]
3. Найдем скорость катера по течению реки \( v_{down} \): \[ v_{down} = v_c + v_r = 14,7 + 4,5 = 19,2 \text{ км/ч} \]
4. Вычислим расстояние, пройденное по течению реки за \( 2 \) ч: \[ S_{down} = v_{down} \cdot t_{down} = 19,2 \cdot 2 = 38,4 \text{ км} \]
5. Вычислим расстояние, пройденное против течения реки за \( 4,5 \) ч: \[ S_{up} = v_{up} \cdot t_{up} = 10,2 \cdot 4,5 = 45,9 \text{ км} \]
6. Найдем общее расстояние, пройденное катером: \[ S_{total} = S_{down} + S_{up} = 38,4 + 45,9 = 84,3 \text{ км} \]

Ответ: 84.3

Решение №65: Для решения задачи о встрече легковой машины и грузовика выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи:
   • Легковая машина выехала из города \(A\) в город \(B\) со скоростью \(60 \frac{км}{ч}\).
   • Грузовик выехал из города \(B\) в город \(A\) со скоростью \(40 \frac{км}{ч}\) через 2 часа после выезда легковой машины.
   • Расстояние между городами \(A\) и \(B\) составляет \(620\) км.
2. Определим расстояние, которое проехала легковая машина за 2 часа: \[ \text{Расстояние} = 60 \frac{км}{ч} \times 2 \text{ ч} = 120 \text{ км} \]
3. Таким образом, через 2 часа легковая машина находится на расстоянии \(120\) км от города \(A\), а расстояние между легковой машиной и городом \(B\) составляет: \[ 620 \text{ км} - 120 \text{ км} = 500 \text{ км} \]
4. Теперь грузовик выезжает из города \(B\) и движется навстречу легковой машине. Расстояние между ними составляет \(500\) км. Обозначим время до встречи как \(t\) часов.
5. Запишем уравнение для определения времени до встречи: \[ 60t + 40t = 500 \]
6. Упростим уравнение: \[ 100t = 500 \]
7. Решим уравнение для \(t\): \[ t = \frac{500}{100} = 5 \text{ ч} \]
8. Определим расстояние, которое проедет легковая машина за это время: \[ 60 \frac{км}{ч} \times 5 \text{ ч} = 300 \text{ км} \]
9. Таким образом, встреча произойдет на расстоянии \(300\) км от города \(A\).

Ответ: 420

Решение №67: Для решения задачи о встрече двух человек, отправившихся на прогулку, выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние до опушки леса как \(d = 4\) км.
2. Обозначим скорости двух людей как \(v_1 = 3,3\) \(\frac{км}{ч}\) и \(v_2 = 5,5\) \(\frac{км}{ч}\).
3. Время, за которое второй человек доходит до опушки леса: \[ t_1 = \frac{d}{v_2} = \frac{4}{5,5} = \frac{4}{5.5} = \frac{4 \cdot 10}{55} = \frac{40}{55} = \frac{8}{11} \text{ часов} \]
4. За это время первый человек пройдет расстояние: \[ s_1 = v_1 \cdot t_1 = 3,3 \cdot \frac{8}{11} = \frac{3,3 \cdot 8}{11} = \frac{26,4}{11} = \frac{264}{110} = \frac{132}{55} = \frac{24}{10} = 2,4 \text{ км} \]
5. Теперь второй человек возвращается обратно с той же скоростью \(v_2\). Расстояние, которое он должен пройти до встречи с первым человеком, равно \(4 - 2,4 = 1,6\) км.
6. Время, за которое второй человек пройдет это расстояние: \[ t_2 = \frac{1,6}{v_2} = \frac{1,6}{5,5} = \frac{1,6 \cdot 10}{55} = \frac{16}{55} = \frac{16}{55} \text{ часов} \]
7. За это время первый человек пройдет дополнительное расстояние: \[ s_2 = v_1 \cdot t_2 = 3,3 \cdot \frac{16}{55} = \frac{3,3 \cdot 16}{55} = \frac{52,8}{55} = \frac{528}{550} = \frac{264}{275} = \frac{264}{275} \text{ км} \]
8. Таким образом, полное расстояние, которое пройдет первый человек до встречи: \[ s = s_1 + s_2 = 2,4 + \frac{264}{275} = 2,4 + 0,96 = 3,36 \text{ км} \]

Ответ: 1.5

Решение №77: Для решения задачи определим скорость первого поезда, зная расстояние между станциями, время до встречи и скорость второго поезда.

1. Запишем известные данные:
   • Расстояние между станциями: \(350\) км.
   • Время до встречи: \(2,5\) часа.
   • Скорость второго поезда: \(65\) км/ч.
2. Обозначим скорость первого поезда как \(v_1\).
3. Запишем уравнение, связывающее расстояние, время и суммарную скорость поездов: \[ 350 = (v_1 + 65) \cdot 2,5 \]
4. Раскроем скобки и умножим обе части уравнения на \(2,5\): \[ 350 = 2,5 \cdot v_1 + 2,5 \cdot 65 \]
5. Упростим выражение: \[ 350 = 2,5 \cdot v_1 + 162,5 \]
6. Вычтем \(162,5\) из обеих частей уравнения: \[ 350 - 162,5 = 2,5 \cdot v_1 \]
7. Упростим выражение: \[ 187,5 = 2,5 \cdot v_1 \]
8. Разделим обе части уравнения на \(2,5\): \[ v_1 = \frac{187,5}{2,5} \]
9. Вычислим значение \(v_1\): \[ v_1 = 75 \]

Ответ: 75

Решение №85: Для решения задачи определим скорости автобусов и найдем расстояние между ними через 24 минуты после выезда.

1. Обозначим скорость первого автобуса как \(v_1 = 54\) км/ч. По условию, это составляет \(0,6\) от скорости второго автобуса \(v_2\).
2. Установим зависимость скоростей: \[ v_1 = 0,6 \cdot v_2 \] Подставим значение \(v_1\): \[ 54 = 0,6 \cdot v_2 \]
3. Решим уравнение для \(v_2\): \[ v_2 = \frac{54}{0,6} = 90 \text{ км/ч} \]
4. Второй автобус догнал первый через 1 час 30 минут (или 1,5 часа). Время догона одинаково для обоих автобусов, поэтому они прошли одинаковое расстояние \(d\).
5. Выразим расстояние \(d\), которое прошел первый автобус за 1,5 часа: \[ d = v_1 \cdot t = 54 \cdot 1,5 = 81 \text{ км} \]
6. Второй автобус прошел это же расстояние за 1,5 часа: \[ d = v_2 \cdot t_2 = 90 \cdot t_2 = 81 \text{ км} \] Решим уравнение для \(t_2\): \[ 90 \cdot t_2 = 81 \] \[ t_2 = \frac{81}{90} = \frac{9}{10} = 0,9 \text{ часа} \]
7. Теперь найдем расстояние между автобусами через 24 минуты (0,4 часа) после выезда. Первый автобус проехал: \[ d_1 = v_1 \cdot 0,4 = 54 \cdot 0,4 = 21,6 \text{ км} \]
8. Второй автобус проехал: \[ d_2 = v_2 \cdot 0,4 = 90 \cdot 0,4 = 36 \text{ км} \]
9. Расстояние между автобусами через 24 минуты: \[ \Delta d = d_2 - d_1 = 36 - 21,6 = 14,4 \text{ км} \]

Ответ: 39.6

Решение №485: Для решения задачи о расстоянии между двумя велосипедистами, которые выехали из лагеря в противоположных направлениях со скоростями 10 км/ч и 12 км/ч, через 3 часа 6 минут, выполним следующие шаги:

1. Запишем скорости велосипедистов: \[ V_1 = 10 \text{ км/ч}, \quad V_2 = 12 \text{ км/ч} \]
2. Переведем время в часы: \[ 3 \text{ часа } 6 \text{ минут} = 3 + \frac{6}{60} = 3 + 0.1 = 3.1 \text{ часа} \]
3. Найдем общее расстояние, которое проедет каждый велосипедист за 3.1 часа: \[ S_1 = V_1 \cdot t = 10 \cdot 3.1 = 31 \text{ км} \] \[ S_2 = V_2 \cdot t = 12 \cdot 3.1 = 37.2 \text{ км} \]
4. Поскольку велосипедисты движутся в противоположных направлениях, найдем суммарное расстояние между ними: \[ S = S_1 + S_2 = 31 + 37.2 = 68.2 \text{ км} \]

Ответ: 68.2

Решение №487: Для решения задачи о расстоянии между сёлами выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи:
   • Время встречи: \( t = 1,6 \) часа.
   • Скорость первого велосипедиста: \( v_1 = 10 \) км/ч.
   • Скорость второго велосипедиста: \( v_2 = 12 \) км/ч.
2. Найдём путь, пройденный каждым велосипедистом до встречи: \[ S_1 = v_1 \cdot t = 10 \cdot 1,6 = 16 \text{ км} \] \[ S_2 = v_2 \cdot t = 12 \cdot 1,6 = 19,2 \text{ км} \]
3. Расстояние между сёлами равно сумме путей, пройденных обоими велосипедистами: \[ S = S_1 + S_2 = 16 + 19,2 = 35,2 \text{ км} \]

Ответ: 35.2

Решение №498: Для решения задачи о встречных поездах, выполним следующие шаги:

1. Определим начальные условия:
   • Расстояние между пунктами A и B: 350 км.
   • Скорость первого поезда: 65 км/ч.
   • Скорость второго поезда: 75 км/ч.
2. Обозначим скорости поездов:
   • Скорость первого поезда: \(v_1 = 65\) км/ч.
   • Скорость второго поезда: \(v_2 = 75\) км/ч.
3. Найдем суммарную скорость поездов: \[ v_{\text{сумм}} = v_1 + v_2 = 65 + 75 = 140 \text{ км/ч} \]
4. Определим время встречи поездов: \[ t = \frac{\text{расстояние}}{\text{суммарная скорость}} = \frac{350}{140} = 2.5 \text{ часа} \]
5. Рассмотрим возможные варианты встречи поездов:
   • Поезда встретятся через 2.5 часа после выезда из пунктов A и B.
   • Поезда могут встретиться только один раз, так как они движутся навстречу друг другу.
6. Заключение:
   • Задача имеет одно решение, так как поезда встретятся через 2.5 часа после выезда из пунктов A и B.

Ответ: Имеется два решения

Решение №499: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Запишем скорости велосипедистов: \[ v_1 = 19.5 \, \text{км/ч} \] \[ v_2 = \frac{2}{3} v_1 = \frac{2}{3} \cdot 19.5 \, \text{км/ч} \]
2. Вычислим скорость второго велосипедиста: \[ v_2 = \frac{2}{3} \cdot 19.5 = 13 \, \text{км/ч} \]
3. Переведем время встречи в часы: \[ t = 48 \, \text{мин} = \frac{48}{60} \, \text{ч} = 0.8 \, \text{ч} \]
4. Используем формулу для нахождения расстояния между селами: \[ S = (v_1 + v_2) \cdot t \]
5. Подставим значения скоростей и времени в формулу: \[ S = (19.5 + 13) \cdot 0.8 \]
6. Вычислим сумму скоростей: \[ 19.5 + 13 = 32.5 \, \text{км/ч} \]
7. Вычислим расстояние: \[ S = 32.5 \cdot 0.8 = 26 \, \text{км} \]

Ответ: 26

Решение №502: #### **1. Найдем скорость второго автобуса.** Из условия: Скорость первого автобуса (\( V_1 \)) = \( 54 \) км/ч, и она составляет \( 0{,}6 \) от скорости второго автобуса (\( V_2 \)). То есть: \[ V_1 = 0{,}6 \cdot V_2 \] \[ 54 = 0{,}6 \cdot V_2 \] \[ V_2 = \frac{54}{0{,}6} = 90 \text{ км/ч} \] **Ответ:** Скорость второго автобуса — \( 90 \) км/ч. --- #### **2. Определим скорость сближения автобусов.** Поскольку автобусы движутся в **одном направлении**, скорость сближения равна разности их скоростей: \[ V_{\text{сближ}} = V_2 - V_1 = 90 - 54 = 36 \text{ км/ч} \] **Ответ:** Второй автобус приближается к первому со скоростью \( 36 \) км/ч. --- #### **3. Найдем расстояние между городами \( A \) и \( B \).** Из условия второй автобус догнал первый через \( 1 \) ч \( 30 \) мин (\( = 1{,}5 \) часа). За это время второй автобус должен был сократить изначальное расстояние между городами (\( S \)) со скоростью \( 36 \) км/ч. То есть: \[ S = V_{\text{сближ}} \cdot t = 36 \cdot 1{,}5 = 54 \text{ км} \] **Ответ:** Расстояние между городами \( A \) и \( B \) — \( 54 \) км. --- ### **Проверка:** - Первый автобус за \( 1{,}5 \) часа проедет: \[ 54 \text{ км/ч} \cdot 1{,}5 \text{ ч} = 81 \text{ км} \] - Второй автобус за \( 1{,}5 \) часа проедет: \[ 90 \text{ км/ч} \cdot 1{,}5 \text{ ч} = 135 \text{ км} \] - Разница в расстоянии: \[ 135 - 81 = 54 \text{ км} \] Это и есть расстояние между городами \( A \) и \( B \), значит, решение верное. --- ### **Итоговый ответ:** \[ \boxed{54 \text{ км}} \]

Ответ: 32.4

Решение №508: Для решения задачи о расстоянии между городами \(A\) и \(B\) выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение для скорости второго поезда: \[ v_2 = \frac{v_1}{0.7} \] где \(v_1 = 35\) км/ч (скорость первого поезда).
2. Подставим значение \(v_1\) в уравнение: \[ v_2 = \frac{35}{0.7} = 50 \text{ км/ч} \]
3. Время, за которое второй поезд догнал первый, составляет 1 час 30 минут, что эквивалентно: \[ 1 \text{ час } 30 \text{ минут} = 1.5 \text{ часа} \]
4. Расстояние, которое прошел второй поезд за это время, равно: \[ d_2 = v_2 \cdot t = 50 \cdot 1.5 = 75 \text{ км} \]
5. Расстояние, которое прошел первый поезд за это время, равно: \[ d_1 = v_1 \cdot t = 35 \cdot 1.5 = 52.5 \text{ км} \]
6. Расстояние между городами \(A\) и \(B\) равно разнице расстояний, пройденных двумя поездами: \[ \text{Расстояние между } A \text{ и } B = d_2 - d_1 = 75 - 52.5 = 22.5 \text{ км} \]

Ответ: 22.5

Решение №516:

1. Пусть расстояние между пунктами \( A \) и \( B \) равно \( d \) км.
2. Первый пешеход прошел \( \frac{1}{5} \) всего пути и еще \( 1,3 \) км. Запишем это уравнением: \[ \text{Путь первого пешехода} = \frac{1}{5}d + 1,3 \]
3. Второй пешеход прошел в 3 раза больше, чем первый пешеход. Запишем это уравнением: \[ \text{Путь второго пешехода} = 3 \left( \frac{1}{5}d + 1,3 \right) \]
4. Поскольку они встретились, сумма их путей равна всему расстоянию \( d \): \[ \frac{1}{5}d + 1,3 + 3 \left( \frac{1}{5}d + 1,3 \right) = d \]
5. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ \frac{1}{5}d + 1,3 + \frac{3}{5}d + 3,9 = d \]
6. Объединим подобные члены: \[ \frac{1}{5}d + \frac{3}{5}d + 1,3 + 3,9 = d \] \[ \frac{4}{5}d + 5,2 = d \]
7. Вычтем \(\frac{4}{5}d\) из обеих частей уравнения: \[ 5,2 = d - \frac{4}{5}d \] \[ 5,2 = \frac{1}{5}d \]
8. Умножим обе части уравнения на 5, чтобы найти \( d \): \[ d = 5,2 \times 5 \] \[ d = 26 \]

Ответ: 26

Решение №536: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \[ 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}, \quad 4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}, \quad 1\frac{5}{9} = \frac{14}{9} \]
2. Обозначим скорости автомобилей: \[ v_1 = \frac{S}{\frac{10}{3}} = \frac{3S}{10}, \quad v_2 = \frac{S}{\frac{14}{3}} = \frac{3S}{14} \] где \(S\) — расстояние между городами.
3. Обозначим расстояния, которые проедут автомобили за время \( \frac{14}{9} \) часа: \[ S_1 = v_1 \cdot \frac{14}{9} = \frac{3S}{10} \cdot \frac{14}{9} = \frac{42S}{90} = \frac{7S}{15} \] \[ S_2 = v_2 \cdot \frac{14}{9} = \frac{3S}{14} \cdot \frac{14}{9} = \frac{3S}{9} = \frac{S}{3} \]
4. Найдем общее расстояние, которое проедут оба автомобиля за время \( \frac{14}{9} \) часа: \[ S_{\text{общ}} = S_1 + S_2 = \frac{7S}{15} + \frac{S}{3} \]
5. Приведем дроби к общему знаменателю и сложим их: \[ \frac{S}{3} = \frac{5S}{15} \] \[ S_{\text{общ}} = \frac{7S}{15} + \frac{5S}{15} = \frac{12S}{15} = \frac{4S}{5} \]
6. Найдем долю пути, которую автомобили еще не проехали до встречи: \[ S_{\text{ост}} = S - S_{\text{общ}} = S - \frac{4S}{5} = \frac{5S}{5} - \frac{4S}{5} = \frac{S}{5} \]
7. Таким образом, автомобилям останется проехать \(\frac{1}{5}\) части пути.

Ответ: \(frac{1}{5}\)

Решение №545: Для решения задачи о собственной скорости теплохода выполним следующие шаги:

1. Обозначим собственную скорость теплохода как \(v\) км/ч, а скорость течения реки как \(u\) км/ч.
2. При движении по течению скорость теплохода составляет \(v + u\) км/ч. Запишем уравнение для движения по течению: \[ (v + u) \cdot 12 = 330 \]
3. При движении против течения скорость теплохода составляет \(v - u\) км/ч. Запишем уравнение для движения против течения: \[ (v - u) \cdot 13 = 240.5 \]
4. Решим уравнение для движения по течению: \[ v + u = \frac{330}{12} = 27.5 \]
5. Решим уравнение для движения против течения: \[ v - u = \frac{240.5}{13} = 18.5 \]
6. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} v + u = 27.5 \\ v - u = 18.5 \end{cases} \]
7. Сложим оба уравнения, чтобы исключить \(u\): \[ (v + u) + (v - u) = 27.5 + 18.5 \] \[ 2v = 46 \]
8. Решим уравнение для \(v\): \[ v = \frac{46}{2} = 23 \]

Ответ: 23

Решение №2583: Пусть скорость автобуса по расписанию \( x \) км/ч, он ехал со скоростью \( x-10 \) км/ч. 30 минут=\( \frac{1}{2} \) часа. Время по расписанию \( \frac{100}{x} \) ч, во время непогоды \( \frac{100}{x-10} \) ч, отсюда \( \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}=\frac{1}{2} \frac{100}{x-10}-\frac{100}{x}-\frac{1}{2}=0 \frac{100*2*x-100*2(x-10)-x(x-10)}{2x(x-10)}=0 \frac{200x-200x+2000-x^{2}+10x}{2x(x-10)}=0 -x^{2}+10x+2000=0 2x(x-10)\neq 0; x\neq 0; x\neq 10 D=10^{2}-4*(-1)*2000=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{-2}=50 x_{2}=\frac{-10+90}{-2}=-40 \).

Ответ: 50 км/ч

Решение №2584: Пусть скорость велосипедиста до турбазы \( x \) км/ч, обратно он снизил скорость на 4 км/ч и ехал со скоростью \( x-4 \) км/ч. Расстояние 16 км он проехал туда и обратно за 3 часа 20 минут. 3 часа 20 минут= \( 3\frac{20}{60}=\frac{10}{3} \). \( \frac{16}{x}+\frac{16}{x-4}=\frac{10}{3} \frac{16*3(x-4)+16*3x+10x(x-4)}{3x(x-4)}=0 \frac{48x-192+48x-10x+40x}{3x(x-4)}=0 -10x^{2}+136x-192=0 3x(x-4)\neq 0; x\neq 0; x\neq 4 D=136^{2}-4*(-10)*(-192)=18496-7680=10816=104^{2} x_{1}=\frac{-136-104}{2*(-10)}=\frac{-240}{-20}=12 x_{2}=\frac{-136+104}{-20}=1,6 x=12; 12-4=8 \).

Ответ: 8 км/ч

Решение №2585: Пусть скорость автобуса \( x\) км/ч, то скорость такси \(x+20 \) км/ч, время движения автобуса \( \frac{40}{x} \), а такси \( \frac{40}{x+20} \), автобус вышел на 10 минут раньше, т.е. на \( \frac{1}{6} \) ч. Составляем уравнение: \( \frac{40}{x}-\frac{40}{x+20}=\frac{1}{6} \frac{40*6(x+20)-40*6x-x(x+20)}{6x(x+20)}=0 \frac{240x+4800-240x-x^{2}-20x}{6x(x+20)}=0 -x^{2}-20x+4800=0 6x(x+20)\neq 0; x\neq 0; x\neq -20 D=(-20)^{2}-4*(-1)*4800=400+19200=19600=140^{2} x_{1}=\frac{20-140}{-2}=\frac{-120}{-2} x_{2}=\frac{20+140}{-2}=-80 x=60, 60+20=80 \) - скорость такси.

Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч

Решение №2589: Пусть первоначальная скорость поезда \( x \) км/ч то по расписанию время прохождения\( \frac{54}{x} \)ч. Фактически \( \frac{14}{x} \), затем 10 минут \( \frac{1}{6} \), затем \( \frac{54-14}{x+10}=\frac{40}{x+10} \)ч и опоздал на 2 минуты. 2мин=\( \frac{1}{30}\). Отсюда: \( \frac{54}{x}-\frac{1}{30}=\frac{14}{x}+\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6} \frac{54}{x}-\frac{14}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{6}+\frac{1}{30}; \frac{40}{x}=\frac{40}{x+10}+\frac{1}{5} \frac{40}{x}=\frac{200+x+10}{5(x+10); \frac{40}{x}}=\frac{210+x}{5(x+10)}; x\neq 0; x+10\neq 0 x^{2}+210x=200(x+10) x^{2}+10x-2000=0 D=8100 x_{1}=\frac{-10-90}{2}=-50 x_{2}=\frac{-10+90}{2}=40 \).

Ответ: 40 км/ч

Решение №2593: Пусть первоначальная скорость была \( x \) км/ч, обратно он проехал 2ч и проехал \( 2x \) км, осталось \(40-2x \) км. После остановки на 20 минут, он скорость увеличил и ехал \( x+4 \) км/ч, отсюда: \(\frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+2+\frac{1}{3} \frac{40}{x}=\frac{40-2x}{x+4}+\frac{7}{3}; \frac{40}{x}=\frac{120-6x+7x+28}{3(x+4)} \frac{40}{x}=\frac{x+148}{3x+12}; 40(3x+2)=x(x+148) x^{2}+148x-120x-480=0 x^{2}+28x-480=0 x^{2}+28x-480=0 k=14 x_{1}=-k\pm \sqrt{k^{2}-c}=-14\pm \sqrt{196+480}=-14\pm \sqrt{676}=-14\pm 2b x_{1}=-14-2b=-40 x_{2}=-14+2b=12 x=12, 12+4=16 \).

Ответ: 16 км/ч

Решение №2598: Пусть скорость лодки в стоячей воде \( x \) км/ч, время движения в стоячей воде \( \frac{96}{x} \).Скорость лодки по течению \( x+3 \) км/ч, время \( \frac{54}{x+3} \) ч. Скорость лодки против течения \( x-3 \) км/ч, время \( \frac{42}{x-3} \) ч, отсюда \( \frac{54}{x+3}+\frac{42}{x-3}=\frac{96}{x} \frac{54x(x-3)+42x(x+3)-96(x^{2}-9)}{x(x-3)(x+3)}=0 \frac{54x^{2}-162x+42x^{2}+126x-96x^{2}+864}{x(x-3)(x+3)}=0 -36x+864=0; x(x-3)(x+3)\neq 0 -36x=-864 x=24 \).

Ответ: 24 км/ч

Решение №2602: пусть скорость лодки по озеру \( x \) км/ч, то скорость лодки по течению \( x+3 \) км/ч. По течению реки лодка прошла 6 км, а по озеру 10 км, затратив на весь путь 1 час. Составляем уравнение: \( \frac{6}{x+3}+\frac{10}{x}=1 \frac{6x+10(x+3)-x(x+3)}{x(x+3)}=0 \frac{6x+10x+30-x^{2}-3x}{x(x+3)}=0 -x^{2}+13x+30=0 x(x+3)\neq 0 D=13^{2}-4*(-1)*30=169+120=1289=17^{2} x_{1}=\frac{-13-17}{-2}=15 x_{2}=\frac{-13+17}{-2}=-2 \).

Ответ: 15 км/ч

Решение №2604: Пусть скорость движения туриста по озеру равна \( x \) км/ч, зная, что скорость течения реки равна 1 км/ч, скорость байдарки по течению \( x+1\) км/ч, а против течения \( x-1 \) км/ч. Время против течения \( \frac{15}{x-1} \) ч, по течению \( \frac{14}{x+1} \) ч, по озеру \( \frac{30}{x \). Отсюда: \( \frac{15}{x-1}+\frac{14}{x+1}=\frac{30}{x} \frac{15x+15+14x-14}{x^{2}-1}=\frac{30}{x} \frac{29x+1}{x^{2}-1}=\frac{30}{x} (29x+1)x=30(x^{2}-1) 29x^{2}+x=30x^{2}-30 x(x^{2}-1)\neq 0 -x^{2}+x+30=0 D=1-4*(-1)*30=1+120=121=11^{2} x_{1}=\frac{-1-11}{-2}=6 x_{2}=\frac{-1+11}{-2}=-5 \).

Ответ: 6 км/ч

Решение №2606: Пусть \( x \) км/ч - скорость течения реки, тогда \( 12+x\) км/ч скорость лодки по течению, \( 12-x \) км/ч - скорость лодки против течения. Время по течению реки \( \frac{7}{12+x} \) ч, а против течения реки \( \frac{10}{12-x}\) ч. На путь по течению затрачено на 0, 5 ч меньше, чем против течения, отсюда \( \frac{7}{12+x}+0,5=\frac{10}{12-x} \frac{7}{12+x}-\frac{10}{12-x}+\frac{1}{2}=0 \frac{7*2(12-x)-10*2(12+x)+12^{2}-x^{2}}{2(12+x)(12-x)}=0 \frac{168-14x-240+20x+144-x^{2}}{2(12+x)(12-x)}=0 -x^{2}-34x+72=0 2(12+x)(12-x)\neq 0 D=(-34)^{2}-4*(-1)*72=1156+288=1444=38^{2} x_{1}=\frac{34-38}{-2}=2 x_{2}=\frac{34+38}{-2}=-36 \) -не удовлетворяет условиям.

Ответ: 2 км/ч, 10 км/ч.

Решение №3881: Для решения задачи о встрече плота и катера выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Плот отплыл из пункта A в пункт B.
   • Катер вышел из пункта B в пункт A.
   • Катер прошел все расстояние между A и B за 15 часов.
   • Плот прошел все расстояние за 60 часов.
2. Определим скорости плота и катера:
   • Пусть расстояние между пунктами A и B равно \(D\).
   • Скорость плота: \(V_{\text{плот}} = \frac{D}{60}\).
   • Скорость катера: \(V_{\text{катер}} = \frac{D}{15}\).
3. Выразим расстояние, пройденное плотом и катером до встречи:
   • Пусть время до встречи плота и катера равно \(t\).
   • Расстояние, пройденное плотом до встречи: \(V_{\text{плот}} \cdot t = \frac{D}{60} \cdot t\).
   • Расстояние, пройденное катером до встречи: \(V_{\text{катер}} \cdot t = \frac{D}{15} \cdot t\).
4. Составим уравнение для нахождения времени встречи:
   • Сумма расстояний, пройденных плотом и катером до встречи, равна \(D\):
   \[ \frac{D}{60} \cdot t + \frac{D}{15} \cdot t = D \]
5. Упростим уравнение:
   • Вынесем \(D\) за скобки:
   \[ D \left( \frac{t}{60} + \frac{t}{15} \right) = D \]
6. Разделим обе части уравнения на \(D\):
   • Получим:
   \[ \frac{t}{60} + \frac{t}{15} = 1 \]
7. Приведем дроби к общему знаменателю:
   • Найдем общий знаменатель (60):
   \[ \frac{t}{60} + \frac{4t}{60} = 1 \]
8. Сложим дроби:
   • Получим:
   \[ \frac{5t}{60} = 1 \]
9. Решим уравнение:
   • Умножим обе части уравнения на 60:
   \[ 5t = 60 \]
   • Разделим обе части на 5:
   \[ t = 12 \]

Ответ: 20

Решение №3882: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим время, за которое второй человек дойдет до опушки леса. Пусть это время будет \( t_1 \). \[ t_1 = \frac{6 \text{ км}}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{6}{5,5} \text{ ч} = \frac{60}{55} \text{ ч} = \frac{12}{11} \text{ ч} \]
2. Определим расстояние, которое первый человек пройдет за это время. Пусть это расстояние будет \( d_1 \). \[ d_1 = 4,5 \text{ км/ч} \cdot \frac{12}{11} \text{ ч} = \frac{4,5 \cdot 12}{11} \text{ км} = \frac{54}{11} \text{ км} \]
3. Определим время, за которое второй человек вернется обратно к месту встречи. Пусть это время будет \( t_2 \). \[ t_2 = \frac{d_1}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{\frac{54}{11} \text{ км}}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{54}{11 \cdot 5,5} \text{ ч} = \frac{54}{60,5} \text{ ч} = \frac{54}{60,5} \text{ ч} = \frac{108}{121} \text{ ч} \]
4. Определим расстояние, которое первый человек пройдет за это время. Пусть это расстояние будет \( d_2 \). \[ d_2 = 4,5 \text{ км/ч} \cdot \frac{108}{121} \text{ ч} = \frac{4,5 \cdot 108}{121} \text{ км} = \frac{486}{121} \text{ км} \]
5. Определим полное расстояние, которое первый человек пройдет до места встречи. Пусть это расстояние будет \( d \). \[ d = d_1 + d_2 = \frac{54}{11} \text{ км} + \frac{486}{121} \text{ км} = \frac{54 \cdot 11 + 486}{121} \text{ км} = \frac{594 + 486}{121} \text{ км} = \frac{1080}{121} \text{ км} \]
6. Определим расстояние от опушки до места встречи. Пусть это расстояние будет \( d_o \). \[ d_o = 6 \text{ км} - d = 6 \text{ км} - \frac{1080}{121} \text{ км} = \frac{726 - 1080}{121} \text{ км} = \frac{-354}{121} \text{ км} \]
7. Переведем расстояние в метры. \[ d_o = \frac{-354}{121} \text{ км} = \frac{-354000}{121} \text{ м} \]

Ответ: 600

Решение №3886: Для решения задачи о времени встречи плота и лодки, движущихся навстречу друг другу по реке, выполним следующие шаги:

1. Определим скорости плота и лодки относительно реки и берега:
• Скорость лодки относительно воды: \(8\) км/ч.
• Скорость течения реки: \(2\) км/ч.
• Скорость плота относительно берега: \(2\) км/ч (так как плот движется по течению).
2. Определим скорость лодки относительно берега:
• Если лодка движется против течения, ее скорость относительно берега будет: \[ 8 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч} \]
• Если лодка движется по течению, ее скорость относительно берега будет: \[ 8 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч} \]
3. Определим суммарную скорость сближения плота и лодки:
• Если лодка движется против течения, суммарная скорость сближения: \[ 6 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 8 \text{ км/ч} \]
• Если лодка движется по течению, суммарная скорость сближения: \[ 10 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч} \]
4. Вычислим время встречи плота и лодки:
• Если лодка движется против течения, время встречи: \[ \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость сближения}} = \frac{20 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 2.5 \text{ часа} \]
• Если лодка движется по течению, время встречи: \[ \text{Время} = \frac{\text{Расстояние}}{\text{Скорость сближения}} = \frac{20 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 1.67 \text{ часа} \]

Ответ: 2.5

Решение №3888: Для решения задачи о времени, за которое катер проплывет путь от B до A, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Плот проплывает путь от A до B за 40 часов.
   • Катер проплывает путь от A до B за 4 часа.
2. Обозначим скорость плота как \(v_п\), а скорость катера как \(v_к\).
3. Пусть расстояние между A и B равно \(D\).
4. Скорость плота \(v_п\) можно выразить через время и расстояние: \[ v_п = \frac{D}{40} \]
5. Скорость катера \(v_к\) можно выразить через время и расстояние: \[ v_к = \frac{D}{4} \]
6. Теперь найдем отношение скоростей катера и плота: \[ \frac{v_к}{v_п} = \frac{\frac{D}{4}}{\frac{D}{40}} = \frac{40}{4} = 10 \] Таким образом, скорость катера в 10 раз больше скорости плота.
7. Для движения катера от B до A, относительная скорость катера по течению будет: \[ v_{\text{относит.}} = v_к - v_п \] Подставим значения: \[ v_{\text{относит.}} = 10v_п - v_п = 9v_п \]
8. Время \(t\), за которое катер проплывет путь от B до A, можно найти по формуле: \[ t = \frac{D}{v_{\text{относит.}}} \] Подставим значения: \[ t = \frac{D}{9v_п} = \frac{D}{9 \cdot \frac{D}{40}} = \frac{40}{9} \text{ часов} \]
9. Рассчитаем точное значение: \[ \frac{40}{9} \approx 4.44 \text{ часа} \]

Ответ: 5