Решение №6: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость пешехода как \(v_п\) км/ч.
2. Скорость велосипедиста будет \(v_в = 2\frac{1}{3} v_п = \frac{7}{3} v_п\) км/ч.
3. За 15 минут (что составляет \(\frac{15}{60} = \frac{1}{4}\) часа) велосипедист догнал пешехода.
4. За это время велосипедист проехал расстояние \(s_в = v_в \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{3} v_п \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{12} v_п\) км.
5. За это же время пешеход прошел расстояние \(s_п = v_п \cdot \frac{1}{4}\) км.
6. Велосипедист догнал пешехода, значит, он проехал расстояние, равное 1,6 км плюс расстояние, пройденное пешеходом за 15 минут: \[ \frac{7}{12} v_п = 1,6 + \frac{1}{4} v_п \]
7. Решим уравнение: \[ \frac{7}{12} v_п = 1,6 + \frac{1}{4} v_п \] Для этого приведем все к общему знаменателю: \[ \frac{7}{12} v_п - \frac{1}{4} v_п = 1,6 \] \[ \frac{7}{12} v_п - \frac{3}{12} v_п = 1,6 \] \[ \frac{4}{12} v_п = 1,6 \] \[ \frac{1}{3} v_п = 1,6 \] \[ v_п = 1,6 \cdot 3 \] \[ v_п = 4,8 \text{ км/ч} \]

Ответ: 4.8

Решение №38: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость лодки на озере как \(v_L\) и скорость плота на реке как \(v_P\).
2. Пусть \(S\) — расстояние, которое проплывают лодка и плот.
3. Запишем уравнения для времени прохождения расстояния \(S\): \[ \frac{S}{v_L} = 5 \quad \text{и} \quad \frac{S}{v_P} = 20 \]
4. Выразим скорости \(v_L\) и \(v_P\) через расстояние \(S\): \[ v_L = \frac{S}{5} \quad \text{и} \quad v_P = \frac{S}{20} \]
5. Пусть \(v_T\) — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки будет \(v_L + v_T\).
6. Запишем уравнение для времени \(t\), которое лодка затратит на прохождение расстояния \(S\) по течению реки: \[ \frac{S}{v_L + v_T} = t \]
7. Подставим выражения для \(v_L\) и \(v_P\) в уравнение: \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + v_T} = t \]
8. Поскольку \(v_T = v_P\) (скорость течения реки равна скорости плота), подставим \(v_P\): \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + \frac{S}{20}} = t \]
9. Упростим выражение в знаменателе: \[ \frac{S}{\frac{S}{5} + \frac{S}{20}} = \frac{S}{\frac{4S + S}{20}} = \frac{S}{\frac{5S}{20}} = \frac{S}{\frac{S}{4}} = 4 \]
10. Таким образом, лодка затратит 4 часа на прохождение того же расстояния по течению реки.

Ответ: 4

Решение №45: Для решения задачи о расстоянии, которое проплывет катер, выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Собственная скорость катера: \( v_c = 14,7 \) км/ч.
   • Скорость катера против течения реки: \( v_{up} = 10,2 \) км/ч.
   • Время движения по течению реки: \( t_{down} = 2 \) ч.
   • Время движения против течения реки: \( t_{up} = 4,5 \) ч.
2. Найдем скорость течения реки \( v_r \):
   • Скорость катера по течению реки: \( v_{down} = v_c + v_r \).
   • Скорость катера против течения реки: \( v_{up} = v_c - v_r \).
   Подставим известные значения: \[ v_{up} = v_c - v_r \implies 10,2 = 14,7 - v_r \implies v_r = 14,7 - 10,2 = 4,5 \text{ км/ч} \]
3. Найдем скорость катера по течению реки \( v_{down} \): \[ v_{down} = v_c + v_r = 14,7 + 4,5 = 19,2 \text{ км/ч} \]
4. Вычислим расстояние, пройденное по течению реки за \( 2 \) ч: \[ S_{down} = v_{down} \cdot t_{down} = 19,2 \cdot 2 = 38,4 \text{ км} \]
5. Вычислим расстояние, пройденное против течения реки за \( 4,5 \) ч: \[ S_{up} = v_{up} \cdot t_{up} = 10,2 \cdot 4,5 = 45,9 \text{ км} \]
6. Найдем общее расстояние, пройденное катером: \[ S_{total} = S_{down} + S_{up} = 38,4 + 45,9 = 84,3 \text{ км} \]

Ответ: 84.3

Решение №936: Для решения задачи, в которой два рабочих одинаковой квалификации выполняют заказ, выполним следующие шаги:

1. Определим производительность одного рабочего. \[ \text{Один рабочий выполняет заказ за 12 часов.} \]
2. Найдем долю заказа, выполненную одним рабочим за 1 час. \[ \text{Доля заказа, выполненная одним рабочим за 1 час} = \frac{1}{12} \]
3. Определим, сколько работы выполнил первый рабочий за первые 4 часа. \[ \text{За 4 часа первый рабочий выполнил} = 4 \times \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
4. Оставшаяся часть заказа после первых 4 часов. \[ \text{Оставшаяся часть заказа} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]
5. Определим совместную производительность двух рабочих. \[ \text{Совместная производительность двух рабочих} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \]
6. Найдем время, за которое два рабочих выполнят оставшуюся часть заказа. \[ \text{Оставшаяся часть заказа} = \frac{2}{3} \] \[ \text{Время для выполнения оставшейся части} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{6}} = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \text{ часа} \]
7. Общее время выполнения заказа. \[ \text{Общее время} = 4 \text{ часа (первый рабочий)} + 4 \text{ часа (оба рабочих)} = 8 \text{ часов} \]

Ответ: 8

Решение №940: Для решения задачи о встрече двух спортсменов на круговой беговой дорожке выполним следующие шаги: ### Встреча при движении в одном направлении

1. Обозначим длину круга как \(L\).
2. Скорость первого спортсмена: \[ v_1 = \frac{L}{15 \text{ мин}} \]
3. Скорость второго спортсмена: \[ v_2 = \frac{L}{20 \text{ мин}} \]
4. Встреча произойдет, когда суммарное расстояние, пройденное обоими спортсменами, будет равно \(L\). Пусть \(t\) — время до первой встречи. Тогда: \[ v_1 t + v_2 t = L \]
5. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t + \frac{L}{20} t = L \]
6. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{20}\right) t = 1 \]
7. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{7}{60} \]
8. Решим уравнение: \[ \frac{7}{60} t = 1 \implies t = \frac{60}{7} \approx 8.57 \text{ мин} \]

1. Обозначим длину круга как \(L\).
2. Скорость первого спортсмена: \[ v_1 = \frac{L}{15 \text{ мин}} \]
3. Скорость второго спортсмена: \[ v_2 = \frac{L}{20 \text{ мин}} \]
4. Встреча произойдет, когда разность расстояний, пройденных обоими спортсменами, будет равна \(L\). Пусть \(t\) — время до первой встречи. Тогда: \[ v_1 t - v_2 t = L \]
5. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t - \frac{L}{20} t = L \]
6. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} - \frac{1}{20}\right) t = 1 \]
7. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{60} \]
8. Решим уравнение: \[ \frac{1}{60} t = 1 \implies t = 60 \text{ мин} \]

1. Пусть \(t_4\) — время до четвертой встречи.
2. Четвертая встреча произойдет, когда суммарное расстояние, пройденное обоими спортсменами, будет равно \(4L\). Тогда: \[ v_1 t_4 + v_2 t_4 = 4L \]
3. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t_4 + \frac{L}{20} t_4 = 4L \]
4. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} + \frac{1}{20}\right) t_4 = 4 \]
5. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{7}{60} \]
6. Решим уравнение: \[ \frac{7}{60} t_4 = 4 \implies t_4 = \frac{4 \times 60}{7} \approx 34.29 \text{ мин} \]

1. Пусть \(t_4\) — время до четвертой встречи.
2. Четвертая встреча произойдет, когда разность расстояний, пройденных обоими спортсменами, будет равна \(4L\). Тогда: \[ v_1 t_4 - v_2 t_4 = 4L \]
3. Подставим значения скоростей: \[ \frac{L}{15} t_4 - \frac{L}{20} t_4 = 4L \]
4. Упростим уравнение: \[ \left(\frac{1}{15} - \frac{1}{20}\right) t_4 = 4 \]
5. Найдем общее значение: \[ \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{1}{60} \]
6. Решим уравнение: \[ \frac{1}{60} t_4 = 4 \implies t_4 = 4 \times 60 = 240 \text{ мин} \]

Ответ: 60

Решение №3881: Для решения задачи о встрече плота и катера выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Плот отплыл из пункта A в пункт B.
   • Катер вышел из пункта B в пункт A.
   • Катер прошел все расстояние между A и B за 15 часов.
   • Плот прошел все расстояние за 60 часов.
2. Определим скорости плота и катера:
   • Пусть расстояние между пунктами A и B равно \(D\).
   • Скорость плота: \(V_{\text{плот}} = \frac{D}{60}\).
   • Скорость катера: \(V_{\text{катер}} = \frac{D}{15}\).
3. Выразим расстояние, пройденное плотом и катером до встречи:
   • Пусть время до встречи плота и катера равно \(t\).
   • Расстояние, пройденное плотом до встречи: \(V_{\text{плот}} \cdot t = \frac{D}{60} \cdot t\).
   • Расстояние, пройденное катером до встречи: \(V_{\text{катер}} \cdot t = \frac{D}{15} \cdot t\).
4. Составим уравнение для нахождения времени встречи:
   • Сумма расстояний, пройденных плотом и катером до встречи, равна \(D\):
   \[ \frac{D}{60} \cdot t + \frac{D}{15} \cdot t = D \]
5. Упростим уравнение:
   • Вынесем \(D\) за скобки:
   \[ D \left( \frac{t}{60} + \frac{t}{15} \right) = D \]
6. Разделим обе части уравнения на \(D\):
   • Получим:
   \[ \frac{t}{60} + \frac{t}{15} = 1 \]
7. Приведем дроби к общему знаменателю:
   • Найдем общий знаменатель (60):
   \[ \frac{t}{60} + \frac{4t}{60} = 1 \]
8. Сложим дроби:
   • Получим:
   \[ \frac{5t}{60} = 1 \]
9. Решим уравнение:
   • Умножим обе части уравнения на 60:
   \[ 5t = 60 \]
   • Разделим обе части на 5:
   \[ t = 12 \]

Ответ: 20

Решение №3882: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим время, за которое второй человек дойдет до опушки леса. Пусть это время будет \( t_1 \). \[ t_1 = \frac{6 \text{ км}}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{6}{5,5} \text{ ч} = \frac{60}{55} \text{ ч} = \frac{12}{11} \text{ ч} \]
2. Определим расстояние, которое первый человек пройдет за это время. Пусть это расстояние будет \( d_1 \). \[ d_1 = 4,5 \text{ км/ч} \cdot \frac{12}{11} \text{ ч} = \frac{4,5 \cdot 12}{11} \text{ км} = \frac{54}{11} \text{ км} \]
3. Определим время, за которое второй человек вернется обратно к месту встречи. Пусть это время будет \( t_2 \). \[ t_2 = \frac{d_1}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{\frac{54}{11} \text{ км}}{5,5 \text{ км/ч}} = \frac{54}{11 \cdot 5,5} \text{ ч} = \frac{54}{60,5} \text{ ч} = \frac{54}{60,5} \text{ ч} = \frac{108}{121} \text{ ч} \]
4. Определим расстояние, которое первый человек пройдет за это время. Пусть это расстояние будет \( d_2 \). \[ d_2 = 4,5 \text{ км/ч} \cdot \frac{108}{121} \text{ ч} = \frac{4,5 \cdot 108}{121} \text{ км} = \frac{486}{121} \text{ км} \]
5. Определим полное расстояние, которое первый человек пройдет до места встречи. Пусть это расстояние будет \( d \). \[ d = d_1 + d_2 = \frac{54}{11} \text{ км} + \frac{486}{121} \text{ км} = \frac{54 \cdot 11 + 486}{121} \text{ км} = \frac{594 + 486}{121} \text{ км} = \frac{1080}{121} \text{ км} \]
6. Определим расстояние от опушки до места встречи. Пусть это расстояние будет \( d_o \). \[ d_o = 6 \text{ км} - d = 6 \text{ км} - \frac{1080}{121} \text{ км} = \frac{726 - 1080}{121} \text{ км} = \frac{-354}{121} \text{ км} \]
7. Переведем расстояние в метры. \[ d_o = \frac{-354}{121} \text{ км} = \frac{-354000}{121} \text{ м} \]

Ответ: 600

Решение №3888: Для решения задачи о времени, за которое катер проплывет путь от B до A, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Плот проплывает путь от A до B за 40 часов.
   • Катер проплывает путь от A до B за 4 часа.
2. Обозначим скорость плота как \(v_п\), а скорость катера как \(v_к\).
3. Пусть расстояние между A и B равно \(D\).
4. Скорость плота \(v_п\) можно выразить через время и расстояние: \[ v_п = \frac{D}{40} \]
5. Скорость катера \(v_к\) можно выразить через время и расстояние: \[ v_к = \frac{D}{4} \]
6. Теперь найдем отношение скоростей катера и плота: \[ \frac{v_к}{v_п} = \frac{\frac{D}{4}}{\frac{D}{40}} = \frac{40}{4} = 10 \] Таким образом, скорость катера в 10 раз больше скорости плота.
7. Для движения катера от B до A, относительная скорость катера по течению будет: \[ v_{\text{относит.}} = v_к - v_п \] Подставим значения: \[ v_{\text{относит.}} = 10v_п - v_п = 9v_п \]
8. Время \(t\), за которое катер проплывет путь от B до A, можно найти по формуле: \[ t = \frac{D}{v_{\text{относит.}}} \] Подставим значения: \[ t = \frac{D}{9v_п} = \frac{D}{9 \cdot \frac{D}{40}} = \frac{40}{9} \text{ часов} \]
9. Рассчитаем точное значение: \[ \frac{40}{9} \approx 4.44 \text{ часа} \]

Ответ: 5

Решение №3889: Для решения задачи о времени, необходимом плоту для проплывания одинакового расстояния по реке, выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние, которое проплывает катер, как \(S\).
2. Обозначим скорость катера по озеру как \(V_o\) и скорость катера по течению реки как \(V_r\).
3. Из условия задачи: \[ S = V_o \cdot 7 \quad \text{(расстояние по озеру за 7 часов)} \] \[ S = V_r \cdot 6 \quad \text{(расстояние по течению реки за 6 часов)} \]
4. Теперь выразим скорости \(V_o\) и \(V_r\) через расстояние \(S\): \[ V_o = \frac{S}{7} \] \[ V_r = \frac{S}{6} \]
5. Скорость плота по течению реки будет равна разности скоростей катера по течению реки и по озеру: \[ V_p = V_r - V_o \]
6. Подставим выражения для \(V_o\) и \(V_r\) в уравнение для \(V_p\): \[ V_p = \frac{S}{6} - \frac{S}{7} \]
7. Найдем общее значение для \(V_p\): \[ V_p = \frac{7S - 6S}{42} = \frac{S}{42} \]
8. Теперь найдем время \(T\), необходимое плоту для проплывания расстояния \(S\) по реке: \[ T = \frac{S}{V_p} = \frac{S}{\frac{S}{42}} = 42 \]

Ответ: 30

Решение №3912: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость лодки в озере через \(V_л\), скорость плота через \(V_п\) и скорость течения реки через \(V_т\).
2. Из условия задачи следует, что лодка проплывает определённое расстояние \(S\) по озеру за 5 часов. Таким образом, скорость лодки в озере: \[ V_л = \frac{S}{5} \]
3. Плот проплывает то же расстояние \(S\) по реке за 20 часов. Скорость плота равна скорости течения реки: \[ V_п = V_т = \frac{S}{20} \]
4. Теперь найдём время \(T\), которое потребуется лодке, чтобы проплыть то же расстояние \(S\) против течения реки. Скорость лодки против течения реки будет: \[ V_{\text{против}} = V_л - V_т \]
5. Подставим значения \(V_л\) и \(V_т\): \[ V_{\text{против}} = \frac{S}{5} - \frac{S}{20} \]
6. Приведём дроби к общему знаменателю и упростим: \[ V_{\text{против}} = \frac{4S}{20} - \frac{S}{20} = \frac{3S}{20} \]
7. Время \(T\), которое потребуется лодке, чтобы проплыть расстояние \(S\) против течения реки, найдём по формуле: \[ T = \frac{S}{V_{\text{против}}} = \frac{S}{\frac{3S}{20}} = \frac{20}{3} \]
8. Таким образом, время \(T\) составляет: \[ T = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ часов} \]

Ответ: 6.666

Решение №3934: Для решения задачи о скоростях двух автомобилей, где первый автомобиль проезжает расстояние от А до В в \(1\frac{2}{7}\) раза быстрее второго автомобиля, и скорость первого автомобиля на 18 км/ч больше скорости второго, выполним следующие шаги:

1. Обозначим скорость второго автомобиля как \(v\) км/ч.
2. Тогда скорость первого автомобиля будет \(v + 18\) км/ч.
3. Согласно условию, первый автомобиль проезжает расстояние в \(1\frac{2}{7}\) раза быстрее второго автомобиля. Преобразуем дробь \(1\frac{2}{7}\) в обыкновенную дробь: \[ 1\frac{2}{7} = \frac{9}{7} \]
4. Соотношение скоростейauta выражается так: \[ \frac{v + 18}{v} = \frac{9}{7} \]
5. Перемножим обе части уравнения на \(v\): \[ 7(v + 18) = 9v \]
6. Раскроем скобки и приведем подобные: \[ 7v + 126 = 9v \]
7. Перенесем все \(v\) в одну сторону уравнения: \[ 7v + 126 - 9v = 0 \] \[ -2v + 126 = 0 \]
8. Решим уравнение относительно \(v\): \[ -2v = -126 \] \[ v = \frac{126}{2} \] \[ v = 63 \]
9. Таким образом, скорость второго автомобиля \(v = 63\) км/ч.
10. Скорость первого автомобиля \(v + 18\) км/ч: \[ v + 18 = 63 + 18 = 81 \]

Ответ: {63;81}

Решение №3971: Для решения задачи о времени, за которое плот проплывёт от города А до города B, выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Расстояние между городами А и B: \(d = 30\) км.
   • Время прохождения пути от А до B на моторной лодке: \(t_{AB} = 2\) часа.
   • Время прохождения пути от B до A на моторной лодке: \(t_{BA} = 3\) часа.
2. Определим скорость моторной лодки по течению и против течения:
   • Скорость моторной лодки по течению: \(v_{AB} = \frac{d}{t_{AB}} = \frac{30}{2} = 15\) км/ч.
   • Скорость моторной лодки против течения: \(v_{BA} = \frac{d}{t_{BA}} = \frac{30}{3} = 10\) км/ч.
3. Выразим скорость течения реки \(v_t\) и скорость лодки в стоячей воде \(v_l\):
   • Скорость лодки по течению: \(v_{AB} = v_l + v_t\).
   • Скорость лодки против течения: \(v_{BA} = v_l - v_t\).
4. Решим систему уравнений для нахождения \(v_l\) и \(v_t\):
   • \(v_l + v_t = 15\).
   • \(v_l - v_t = 10\).
5. Сложим уравнения: \[ (v_l + v_t) + (v_l - v_t) = 15 + 10 \] \[ 2v_l = 25 \] \[ v_l = 12.5 \text{ км/ч} \]
6. Вычтем уравнения: \[ (v_l + v_t) - (v_l - v_t) = 15 - 10 \] \[ 2v_t = 5 \] \[ v_t = 2.5 \text{ км/ч} \]
7. Определим время, за которое плот проплывёт от А до B:
   • Скорость плота равна скорости течения реки: \(v_t = 2.5\) км/ч.
   • Время прохождения расстояния \(d\) плотом: \[ t_{\text{плот}} = \frac{d}{v_t} = \frac{30}{2.5} = 12 \text{ часов} \]
8. Ответ: плот проплывёт от А до B за 12 часов.

Ответ: 12

Решение №4806: Для решения задачи определим, за какое время один Петя вскапывает грядку. Обозначим время, за которое Петя вскапывает грядку, как \( t \) минут.

1. Пусть \( t \) — время, за которое Петя вскапывает грядку.
2. Определим производительность Коли и Пети:
   • Коля вскапывает грядку за 15 минут, значит, его производительность \( \frac{1}{15} \) грядки в минуту.
   • Коля и Петя вместе вскапывают грядку за 10 минут, значит, их совместная производительность \( \frac{1}{10} \) грядки в минуту.
3. Запишем уравнение для совместной производительности: \[ \frac{1}{15} + \frac{1}{t} = \frac{1}{10} \]
4. Решим уравнение для нахождения \( t \): \[ \frac{1}{t} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} \]
5. Найдем общий знаменатель для дробей: \[ \frac{1}{10} = \frac{3}{30}, \quad \frac{1}{15} = \frac{2}{30} \]
6. Вычтем дроби: \[ \frac{1}{t} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30} \]
7. Возьмем обратное значение: \[ t = 30 \]

Ответ: 30

Решение №4815: Для решения задачи о том, за какое время Аня, Настя и Маша вымоют окно, работая втроем, выполним следующие шаги:

1. Определим производительность каждой пары девочек в минуту:
   • Аня и Настя: \(\frac{1}{12}\) окна в минуту.
   • Настя и Маша: \(\frac{1}{15}\) окна в минуту.
   • Аня и Маша: \(\frac{1}{20}\) окна в минуту.
2. Выразим суммарную производительность всех трех девочек. Для этого сложим производительности всех пар и разделим на 2 (так как каждая девочка входит в две пары): \[ \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5} \] Разделим на 2: \[ \frac{1}{5} \div 2 = \frac{1}{10} \]
3. Найдем время, за которое все три девочки вымоют окно, работая вместе. Поскольку их суммарная производительность равна \(\frac{1}{10}\) окна в минуту, то время выполнения работы будет: \[ \text{Время} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10 \text{ минут} \]

Ответ: 10

Решение №7753: Для решения задачи определим, на каком расстоянии от точки отправления произойдет встреча двух человек. Выполним следующие шаги:

1. Обозначим расстояние до опушки леса как \(d = 3,5\) км.
2. Обозначим скорость первого человека как \(v_1 = 2,7\) км/ч.
3. Обозначим скорость второго человека как \(v_2 = 3,6\) км/ч.
4. Обозначим время, за которое второй человек дойдет до опушки леса, как \(t_2\).
5. Обозначим время, за которое первый человек дойдет до точки встречи, как \(t_1\).
6. Обозначим расстояние от точки отправления до точки встречи как \(s\).

1. Вычислим время \(t_2\), за которое второй человек дойдет до опушки леса: \[ t_2 = \frac{d}{v_2} = \frac{3,5}{3,6} \approx 0,9722 \text{ часа} \]
2. Вычислим расстояние, которое пройдет первый человек за это время: \[ s_1 = v_1 \cdot t_2 = 2,7 \cdot 0,9722 \approx 2,625 \text{ км} \]
3. Поскольку второй человек возвращается обратно с той же скоростью, время \(t_1\), за которое первый человек дойдет до точки встречи, будет равно времени \(t_2\).
4. Таким образом, расстояние от точки отправления до точки встречи будет: \[ s = s_1 \approx 2,625 \text{ км} \]

Ответ: 3

Решение №7764: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Обозначим время, за которое катер встретил плот, как \( t_1 = 4 \) часа.
2. Обозначим дополнительное время, которое катер потратил на путь до пункта B после встречи с плотом, как \( t_2 = 20 \) минут. Переведем это время в часы: \[ t_2 = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \text{ часа} \]
3. Обозначим скорость катера как \( v_k \), а скорость плота как \( v_p \).
4. Катер встретил плот через 4 часа, поэтому плот за это время прошел расстояние \( 4v_p \).
5. Катер за это же время прошел расстояние \( 4v_k \).
6. После встречи катер прошел дополнительное расстояние \( \frac{1}{3}v_k \) за \( \frac{1}{3} \) часа.
7. Общее расстояние, пройденное катером, равно сумме расстояний до и после встречи с плотом: \[ 4v_k + \frac{1}{3}v_k = 4v_k + \frac{v_k}{3} = \frac{12v_k + v_k}{3} = \frac{13v_k}{3} \]
8. Общее расстояние между пунктами A и B равно \( 4v_p + \frac{13v_k}{3} \).
9. Так как плот и катер встретились через 4 часа после выхода, то расстояние, пройденное плотом за это время, равно \( 4v_p \).
10. Общее расстояние между пунктами A и B можно выразить через скорости плота и катера: \[ 4v_p + \frac{13v_k}{3} \]
11. Так как катер встретил плот через 4 часа, то расстояние, пройденное плотом за это время, равно \( 4v_p \).
12. Так как катер прошел общее расстояние \( \frac{13v_k}{3} \) за \( 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3} \) часа, то: \[ \frac{13v_k}{3} = 4v_p + \frac{13v_k}{3} \]
13. Таким образом, общее расстояние между пунктами A и B равно \( 4v_p \).
14. Теперь найдем время, за которое плот прошел это расстояние из B в A: \[ t = \frac{4v_p}{v_p} = 4 \text{ часа} \]

Ответ: 52

Решение №7767: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: собственная скорость лодки вчетверо больше скорости течения реки. Обозначим собственную скорость лодки как \(v_b\), а скорость течения реки как \(v_r\). Тогда: \[ v_b = 4v_r \]
2. Запишем уравнение для движения лодки против течения. Скорость лодки против течения равна разности собственной скорости лодки и скорости течения реки: \[ v_{\text{против}} = v_b - v_r \]
3. Используем данные задачи: лодка прошла 10,8 км за 1,5 ч. Скорость лодки против течения равна: \[ v_{\text{против}} = \frac{10,8 \text{ км}}{1,5 \text{ ч}} = 7,2 \text{ км/ч} \]
4. Подставим \(v_{\text{против}}\) в уравнение: \[ v_b - v_r = 7,2 \]
5. Подставим \(v_b = 4v_r\) в уравнение: \[ 4v_r - v_r = 7,2 \]
6. Упростим уравнение: \[ 3v_r = 7,2 \]
7. Найдем скорость течения реки \(v_r\): \[ v_r = \frac{7,2}{3} = 2,4 \text{ км/ч} \]
8. Найдем собственную скорость лодки \(v_b\): \[ v_b = 4v_r = 4 \times 2,4 = 9,6 \text{ км/ч} \]
9. Найдем скорость лодки по течению. Скорость лодки по течению равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения реки: \[ v_{\text{по}} = v_b + v_r = 9,6 + 2,4 = 12 \text{ км/ч} \]

Ответ: 12

Решение №7784: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим скорость лодки на озере и скорость плота на реке. Пусть \( S \) — расстояние, которое проплывает лодка на озере за 4 часа и плот на реке за 12 часов.
2. Скорость лодки на озере: \[ V_{\text{лодки}} = \frac{S}{4} \]
3. Скорость плота на реке: \[ V_{\text{плота}} = \frac{S}{12} \]
4. Предположим, что скорость течения реки \( V_{\text{течения}} \). Тогда скорость плота на реке равна скорости течения: \[ V_{\text{плота}} = V_{\text{течения}} \]
5. Скорость лодки по течению реки будет суммой её собственной скорости и скорости течения: \[ V_{\text{лодки по течению}} = V_{\text{лодки}} + V_{\text{течения}} \]
6. Подставим значения скоростей: \[ V_{\text{лодки по течению}} = \frac{S}{4} + \frac{S}{12} \]
7. Найдем общий знаменатель и сложим дроби: \[ V_{\text{лодки по течению}} = \frac{3S}{12} + \frac{S}{12} = \frac{4S}{12} = \frac{S}{3} \]
8. Время, за которое лодка проплывёт расстояние \( S \) по течению реки: \[ t = \frac{S}{V_{\text{лодки по течению}}} = \frac{S}{\frac{S}{3}} = 3 \]

Ответ: 3

Решение №7790: Для решения задачи о расстоянии, которое проплывет теплоход, выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Собственная скорость теплохода \(v_s = 32,5\) км/ч.
   • Скорость теплохода по течению реки \(v_t = 35\) км/ч.
   • Время движения по течению реки \(t_1 = 2,6\) ч.
   • Время движения против течения реки \(t_2 = 0,8\) ч.
2. Определим скорость течения реки \(v_r\): \[ v_t = v_s + v_r \implies v_r = v_t - v_s = 35 - 32,5 = 2,5 \text{ км/ч} \]
3. Определим скорость теплохода против течения реки: \[ v_{against} = v_s - v_r = 32,5 - 2,5 = 30 \text{ км/ч} \]
4. Вычислим расстояние, пройденное по течению реки: \[ d_1 = v_t \cdot t_1 = 35 \cdot 2,6 = 91 \text{ км} \]
5. Вычислим расстояние, пройденное против течения реки: \[ d_2 = v_{against} \cdot t_2 = 30 \cdot 0,8 = 24 \text{ км} \]
6. Вычислим общее расстояние, пройденное теплоходом: \[ d_{total} = d_1 + d_2 = 91 + 24 = 115 \text{ км} \]

Ответ: 115

Решение №7796: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Скорость течения реки: \(v_р = 3\) км/ч.
   • Скорость моторки относительно воды: \(v_м = 15\) км/ч.
   • Время, за которое плотовщик доплывает от конца плота к началу и обратно: \(t = 16\) минут \(40\) секунд.
2. Переведем время в часы: \[ t = 16 \text{ минут } 40 \text{ секунд} = 16 \cdot \frac{1}{60} \text{ часов } + 40 \cdot \frac{1}{3600} \text{ часов} \] \[ t = \frac{16}{60} + \frac{40}{3600} = \frac{16}{60} + \frac{40}{3600} = \frac{16 \cdot 60 + 40}{3600} = \frac{960 + 40}{3600} = \frac{1000}{3600} = \frac{5}{18} \text{ часов} \]
3. Найдем эффективную скорость моторки вниз по течению и вверх по течению:
   • Вниз по течению: \(v_{\text{вниз}} = v_м + v_р = 15 + 3 = 18\) км/ч.
   • Вверх по течению: \(v_{\text{вверх}} = v_м - v_р = 15 - 3 = 12\) км/ч.
4. Обозначим длину плота как \(L\). Время, затраченное на путь вниз по течению: \[ t_{\text{вниз}} = \frac{L}{v_{\text{вниз}}} = \frac{L}{18} \]
5. Время, затраченное на путь вверх по течению: \[ t_{\text{вверх}} = \frac{L}{v_{\text{вверх}}} = \frac{L}{12} \]
6. Общее время: \[ t = t_{\text{вниз}} + t_{\text{вверх}} = \frac{L}{18} + \frac{L}{12} \]
7. Найдем общее время в терминах \(L\): \[ \frac{L}{18} + \frac{L}{12} = \frac{2L}{36} + \frac{3L}{36} = \frac{5L}{36} \]
8. Приравняем общее время к известному времени: \[ \frac{5L}{36} = \frac{5}{18} \]
9. Решим уравнение для \(L\): \[ \frac{5L}{36} = \frac{5}{18} \] \[ L = \frac{36}{18} = 2 \text{ км} \]

Ответ: 2

Решение №8620: Для решения задачи о скорости теплохода против течения реки выполним следующие шаги:

1. Обозначим собственную скорость теплохода как \(V_s = 32.5\) км/ч.
2. Обозначим скорость теплохода по течению реки как \(V_{пт} = 35\) км/ч.
3. Обозначим скорость течения реки как \(V_r\).
4. Запишем уравнение для скорости теплохода по течению реки: \[ V_{пт} = V_s + V_r \]
5. Подставим известные значения в уравнение: \[ 35 = 32.5 + V_r \]
6. Решим уравнение для \(V_r\): \[ V_r = 35 - 32.5 = 2.5 \text{ км/ч} \]
7. Теперь найдем скорость теплохода против течения реки. Обозначим её как \(V_{пр}\): \[ V_{пр} = V_s - V_r \]
8. Подставим известные значения в уравнение: \[ V_{пр} = 32.5 - 2.5 = 30 \text{ км/ч} \]

Ответ: 2.5

Решение №8621: Для решения задачи о скорости теплохода против течения реки выполним следующие шаги:

1. Запишем данные задачи:
   • Собственная скорость теплохода \( V_s = 32.5 \) км/ч.
   • Скорость теплохода по течению реки \( V_{по} = 35 \) км/ч.
2. Обозначим скорость течения реки как \( V_т \).
3. Используем формулу для скорости теплохода по течению: \[ V_{по} = V_s + V_т \] Подставим известные значения: \[ 35 = 32.5 + V_т \]
4. Решим уравнение для нахождения \( V_т \): \[ V_т = 35 - 32.5 = 2.5 \text{ км/ч} \]
5. Теперь найдем скорость теплохода против течения реки \( V_{пр} \) с использованием формулы: \[ V_{пр} = V_s - V_т \] Подставим известные значения: \[ V_{пр} = 32.5 - 2.5 = 30 \text{ км/ч} \]

Ответ: 30

Решение №8623: Для решения задачи о скорости течения реки выполним следующие шаги:

1. Запишем известные данные:
   • Собственная скорость катера \(V_k = 14.7\) км/ч.
   • Скорость катера против течения реки \(V_{\text{пр}} = 10.2\) км/ч.
2. Обозначим скорость течения реки как \(V_r\).
3. Скорость катера против течения реки выражается как разность его собственной скорости и скорости течения реки: \[ V_{\text{пр}} = V_k - V_r \]
4. Подставим известные значения в уравнение: \[ 10.2 = 14.7 - V_r \]
5. Решим уравнение относительно \(V_r\):
   • Вычтем 14.7 из обеих частей уравнения: \[ 10.2 - 14.7 = -V_r \]
   • Упростим: \[ -4.5 = -V_r \]
   • Умножим обе части на -1: \[ V_r = 4.5 \]

Ответ: 4.5

Решение №8645: Для решения задачи определим скорости двух автомобилей. Обозначим скорость первого автомобиля как \( v_1 \), а скорость второго автомобиля как \( v_2 \).

1. Запишем условие задачи: \[ \text{Скорость первого автомобиля в } 1\frac{2}{5} \text{ раза медленнее скорости второго автомобиля.} \] Это можно записать как: \[ v_1 = \frac{7}{5} v_2 \]
2. Известно, что скорость первого автомобиля на 22 км/ч меньше скорости второго автомобиля: \[ v_2 - v_1 = 22 \]
3. Подставим выражение \( v_1 \) из первого условия во второе уравнение: \[ v_2 - \frac{7}{5} v_2 = 22 \]
4. Вынесем \( v_2 \) за скобки: \[ v_2 \left(1 - \frac{7}{5}\right) = 22 \]
5. Упростим выражение в скобках: \[ v_2 \left(\frac{5}{5} - \frac{7}{5}\right) = 22 \] \[ v_2 \left(-\frac{2}{5}\right) = 22 \]
6. Разделим обе части уравнения на \(-\frac{2}{5}\): \[ v_2 = 22 \div \left(-\frac{2}{5}\right) \] \[ v_2 = 22 \times \left(-\frac{5}{2}\right) \] \[ v_2 = -55 \]
7. Так как скорость не может быть отрицательной, убедимся, что у нас нет ошибок: \[ v_2 = 55 \text{ км/ч} \]
8. Теперь найдем скорость первого автомобиля \( v_1 \): \[ v_1 = \frac{7}{5} v_2 \] \[ v_1 = \frac{7}{5} \times 55 \] \[ v_1 = 77 \text{ км/ч} \]

Ответ: {55;77}

Решение №9514: Для решения задачи о том, как скоро лев, волк и пёс съедят одну овцу вместе, выполним следующие шаги:

1. Определим скорость, с которой каждое животное съедает овцу:
   • Лев съедает овцу за 2 часа, значит, его скорость \( \frac{1}{2} \) овцы в час.
   • Волк съедает овцу за 3 часа, значит, его скорость \( \frac{1}{3} \) овцы в час.
   • Пёс съедает овцу за 6 часов, значит, его скорость \( \frac{1}{6} \) овцы в час.
2. Сложим скорости всех животных, чтобы найти общую скорость, с которой они съедают овцу вместе: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \]
3. Найдём общий знаменатель и сложим дроби: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
4. Интерпретируем результат:
   • Общая скорость равна 1 овце в час, что означает, что все животные вместе съедят одну овцу за 1 час.

Ответ: 60

Решение №9516: Для решения задачи о том, за сколько минут одна Маша пропалывает грядку, выполним следующие шаги:

1. Определим производительность Маши и Оли вместе. Они пропалывают грядку за 12 минут. Пусть производительность Маши \(M\) грядок в минуту, а производительность Оли \(O\) грядок в минуту. Тогда их совместная производительность равна: \[ M + O = \frac{1}{12} \]
2. Определим производительность Оли. Она пропалывает грядку за 15 минут, следовательно, её производительность: \[ O = \frac{1}{15} \]
3. Подставим производительность Оли в уравнение для совместной производительности: \[ M + \frac{1}{15} = \frac{1}{12} \]
4. Решим уравнение для \(M\). Вычтем \(O\) из обеих частей уравнения: \[ M = \frac{1}{12} - \frac{1}{15} \]
5. Найдём общий знаменатель для дробей \(\frac{1}{12}\) и \(\frac{1}{15}\). Общий знаменатель равен 60: \[ M = \frac{5}{60} - \frac{4}{60} = \frac{1}{60} \]
6. Таким образом, производительность Маши \(M = \frac{1}{60}\) грядок в минуту. Это означает, что Маша пропалывает одну грядку за 60 минут.

Ответ: 60

Решение №9517: Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Определим производительность одного рабочего. Поскольку один рабочий может выполнить заказ за 8 часов, его производительность составляет: \[ \text{Производительность одного рабочего} = \frac{1}{8} \text{ заказа в час} \]
2. Определим, сколько заказа выполнил первый рабочий за первые два часа: \[ \text{Выполнено за 2 часа} = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \text{ заказа} \]
3. Определим, сколько заказа осталось выполнить после первых двух часов: \[ \text{Осталось выполнить} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \text{ заказа} \]
4. Определим общую производительность двух рабочих вместе: \[ \text{Производительность двух рабочих} = 2 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{4} \text{ заказа в час} \]
5. Определим время, за которое два рабочих вместе выполнят оставшуюся часть заказа: \[ \text{Время для оставшейся части} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3 \text{ часа} \]
6. Сложим время, за которое первый рабочий работал один, и время, за которое оба рабочих работали вместе: \[ \text{Общее время выполнения заказа} = 2 + 3 = 5 \text{ часов} \]

Ответ: 5

Решение №9521: Для решения задачи о встрече двух мотоциклистов, движущихся по круговой трассе, выполним следующие шаги: ### Встреча в одном направлении

1. Определим скорости мотоциклистов:
   • Первый мотоциклист проезжает полный круг за 18 минут, значит его скорость \( v_1 = \frac{1}{18} \) круга в минуту.
   • Второй мотоциклист проезжает полный круг за 45 минут, значит его скорость \( v_2 = \frac{1}{45} \) круга в минуту.
2. Вычислим разницу в скоростях мотоциклистов: \[ v_{\text{разница}} = v_1 - v_2 = \frac{1}{18} - \frac{1}{45} \]
3. Приведем дроби к общему знаменателю и вычтем: \[ v_{\text{разница}} = \frac{5}{90} - \frac{2}{90} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30} \] Таким образом, разница в скоростях составляет \( \frac{1}{30} \) круга в минуту.
4. Вычислим время первой встречи: \[ t_1 = \frac{1}{v_{\text{разница}}} = \frac{1}{\frac{1}{30}} = 30 \text{ минут} \]
5. Вычислим время третьей встречи: \[ t_3 = 3 \cdot t_1 = 3 \cdot 30 = 90 \text{ минут} \]

1. Определим суммарную скорость мотоциклистов: \[ v_{\text{сумма}} = v_1 + v_2 = \frac{1}{18} + \frac{1}{45} \]
2. Приведем дроби к общему знаменателю и сложим: \[ v_{\text{сумма}} = \frac{5}{90} + \frac{2}{90} = \frac{7}{90} \] Таким образом, суммарная скорость составляет \( \frac{7}{90} \) круга в минуту.
3. Вычислим время первой встречи: \[ t_1 = \frac{1}{v_{\text{сумма}}} = \frac{1}{\frac{7}{90}} = \frac{90}{7} \approx 12.86 \text{ минут} \]
4. Вычислим время третьей встречи: \[ t_3 = 3 \cdot t_1 = 3 \cdot \frac{90}{7} = \frac{270}{7} \approx 38.57 \text{ минут} \]

Ответ: 30

Решение №10208: Для решения задачи определим скорость плота. Обозначим: - \( v_p \) — скорость плота (в км/ч), - \( v_m = 15 \) км/ч — скорость моторки относительно воды, - \( L = 1 \) км — длина плота, - \( t = 8 \) минут \( 20 \) секунд \( = 8 + \frac{20}{60} = 8.333 \) минут \( = \frac{8.333}{60} \) часов \( \approx 0.1389 \) часа.

1. Запишем время в часах: \[ t = 8 \text{ минут } 20 \text{ секунд} = 8 + \frac{20}{60} = 8.333 \text{ минут} = \frac{8.333}{60} \approx 0.1389 \text{ часа} \]
2. Рассмотрим движение моторки относительно воды. Пусть \( v_p \) — скорость плота. Тогда время, затраченное на путь от конца плота до его начала и обратно, можно выразить через сумму времен на каждый отрезок пути: \[ t = \frac{L}{v_m + v_p} + \frac{L}{v_m - v_p} \]
3. Подставим значения \( L = 1 \) км и \( t \approx 0.1389 \) часа: \[ 0.1389 = \frac{1}{15 + v_p} + \frac{1}{15 - v_p} \]
4. Объединим дроби под общим знаменателем: \[ 0.1389 = \frac{15 - v_p + 15 + v_p}{(15 + v_p)(15 - v_p)} = \frac{30}{225 - v_p^2} \]
5. Умножим обе части уравнения на \( 225 - v_p^2 \): \[ 0.1389 (225 - v_p^2) = 30 \]
6. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 31.2525 - 0.1389 v_p^2 = 30 \] \[ 31.2525 - 30 = 0.1389 v_p^2 \] \[ 1.2525 = 0.1389 v_p^2 \]
7. Разделим обе части уравнения на 0.1389: \[ v_p^2 = \frac{1.2525}{0.1389} \approx 9.025 \]
8. Возьмем квадратный корень из обеих сторон: \[ v_p = \sqrt{9.025} \approx 3 \text{ км/ч} \]

Ответ: 1.5

Решение №11099: Для решения задачи о времени наполнения бассейна через одну третью трубу выполним следующие шаги:

1. Обозначим производительности труб:
   • Производительность первой трубы: \(\frac{1}{10}\) бассейна в час.
   • Производительность второй трубы: \(\frac{1}{15}\) бассейна в час.
   • Производительность третьей трубы: \(T\) бассейна в час.
2. Суммарная производительность всех трех труб: \[ \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + T = \frac{1}{4} \]
3. Найдем общий знаменатель для дробей \(\frac{1}{10}\) и \(\frac{1}{15}\): \[ \frac{1}{10} = \frac{3}{30}, \quad \frac{1}{15} = \frac{2}{30} \]
4. Подставим эти значения в уравнение: \[ \frac{3}{30} + \frac{2}{30} + T = \frac{1}{4} \]
5. Упростим левую часть уравнения: \[ \frac{5}{30} + T = \frac{1}{4} \]
6. Приведем \(\frac{1}{4}\) к общему знаменателю: \[ \frac{1}{4} = \frac{7.5}{30} \]
7. Решим уравнение: \[ \frac{5}{30} + T = \frac{7.5}{30} \] \[ T = \frac{7.5}{30} - \frac{5}{30} \] \[ T = \frac{2.5}{30} \] \[ T = \frac{1}{12} \]
8. Таким образом, производительность третьей трубы: \[ T = \frac{1}{12} \text{ бассейна в час} \]
9. Время наполнения бассейна через одну третью трубу: \[ \text{Время} = \frac{1}{T} = \frac{1}{\frac{1}{12}} = 12 \text{ часов} \]

Ответ: 12