№10210

Экзамены с этой задачей: Задачи на движение по воде Задачи на движение по воде

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Арифметика, Дробные числа, Текстовые задачи, Задачи на движение, Движение по воде, Задачи «на части» и «на уравнивание», Текстовые арифметические задачи с использованием дробей,

Задача в следующих классах: 5 класс 6 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

От лесоповала вниз по течению реки движется плот длиной 1 км. Плотовщик доплывает на моторке из конца плота к его началу и обратно за 8 минут 20 секунд. Найдите скорость плота, если собственная скорость моторки равна 15 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ

1.5

Решение № 10208:

Для решения задачи определим скорость плота. Обозначим: - \( v_p \) — скорость плота (в км/ч), - \( v_m = 15 \) км/ч — скорость моторки относительно воды, - \( L = 1 \) км — длина плота, - \( t = 8 \) минут \( 20 \) секунд \( = 8 + \frac{20}{60} = 8.333 \) минут \( = \frac{8.333}{60} \) часов \( \approx 0.1389 \) часа. <ol> <li>Запишем время в часах: \[ t = 8 \text{ минут } 20 \text{ секунд} = 8 + \frac{20}{60} = 8.333 \text{ минут} = \frac{8.333}{60} \approx 0.1389 \text{ часа} \] </li> <li>Рассмотрим движение моторки относительно воды. Пусть \( v_p \) — скорость плота. Тогда время, затраченное на путь от конца плота до его начала и обратно, можно выразить через сумму времен на каждый отрезок пути: \[ t = \frac{L}{v_m + v_p} + \frac{L}{v_m - v_p} \] </li> <li>Подставим значения \( L = 1 \) км и \( t \approx 0.1389 \) часа: \[ 0.1389 = \frac{1}{15 + v_p} + \frac{1}{15 - v_p} \] </li> <li>Объединим дроби под общим знаменателем: \[ 0.1389 = \frac{15 - v_p + 15 + v_p}{(15 + v_p)(15 - v_p)} = \frac{30}{225 - v_p^2} \] </li> <li>Умножим обе части уравнения на \( 225 - v_p^2 \): \[ 0.1389 (225 - v_p^2) = 30 \] </li> <li>Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 31.2525 - 0.1389 v_p^2 = 30 \] \[ 31.2525 - 30 = 0.1389 v_p^2 \] \[ 1.2525 = 0.1389 v_p^2 \] </li> <li>Разделим обе части уравнения на 0.1389: \[ v_p^2 = \frac{1.2525}{0.1389} \approx 9.025 \] </li> <li>Возьмем квадратный корень из обеих сторон: \[ v_p = \sqrt{9.025} \approx 3 \text{ км/ч} \] </li> </ol> Таким образом, скорость плота равна \( 3 \) км/ч. Ответ: 3 км/ч