Решение №250: Для решения выражения \(\frac{3\frac{1}{3}\cdot 1,9+19,5:4\frac{1}{2}}{\frac{62}{75}-0,16}:\frac{3,5+4\frac{2}{3}+2\frac{2}{15}}{0,5(1\frac{1}{20}+4,1)}\) выполним следующие шаги:

1. Переведем все смешанные числа в неправильные дроби и выполним операции в числителе и знаменателе первой дроби:
\[ \frac{\left(3\frac{1}{3}\cdot 1,9 + 19,5 : 4\frac{1}{2}\right)}{\left(\frac{62}{75} - 0,16\right)} : \frac{\left(3,5 + 4\frac{2}{3} + 2\frac{2}{15}\right)}{0,5\left(1\frac{1}{20} + 4,1\right)} \]
2. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
\[ 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}, \quad 4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}, \quad 4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}, \quad 2\frac{2}{15} = \frac{32}{15}, \quad 1\frac{1}{20} = \frac{21}{20} \]
3. Подставим значения в выражение:
\[ \frac{\left(\frac{10}{3} \cdot 1,9 + 19,5 : \frac{9}{2}\right)}{\left(\frac{62}{75} - 0,16\right)} : \frac{\left(3,5 + \frac{14}{3} + \frac{32}{15}\right)}{0,5 \left(\frac{21}{20} + 4,1\right)} \]
4. Выполним умножение и деление в числителе первой дроби:
\[ \frac{10}{3} \cdot 1,9 = \frac{10}{3} \cdot \frac{19}{10} = \frac{19}{3} \] \[ 19,5 : \frac{9}{2} = 19,5 \cdot \frac{2}{9} = \frac{39}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{39}{9} = \frac{13}{3} \]
5. Сложим результаты в числителе первой дроби:
\[ \frac{19}{3} + \frac{13}{3} = \frac{32}{3} \]
6. Выполним операции в знаменателе первой дроби:
\[ \frac{62}{75} - 0,16 = \frac{62}{75} - \frac{12}{75} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3} \]
7. Сложим числа во второй дроби:
\[ 3,5 + \frac{14}{3} + \frac{32}{15} = \frac{105}{30} + \frac{140}{30} + \frac{64}{30} = \frac{309}{30} = \frac{103}{10} \]
8. Выполним операции во второй дроби:
\[ 0,5 \left(\frac{21}{20} + 4,1\right) = 0,5 \left(\frac{21}{20} + \frac{82}{20}\right) = 0,5 \left(\frac{103}{20}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{103}{20} = \frac{103}{40} \]
9. Подставим все результаты обратно в выражение:
\[ \frac{\frac{32}{3}}{\frac{2}{3}} : \frac{\frac{103}{10}}{\frac{103}{40}} \]
10. Выполним деление дробей:
\[ \frac{\frac{32}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{32}{3} \cdot \frac{3}{2} = 16 \] \[ \frac{\frac{103}{10}}{\frac{103}{40}} = \frac{103}{10} \cdot \frac{40}{103} = 4 \]
11. Выполним деление чисел:
\[ 16 : 4 = 4 \]

Ответ: 4

Решение №261: Для решения выражения \((26\frac{2}{3}:6,4)\cdot (19,2:3\frac{5}{9})-\frac{8\frac{4}{7}:2\frac{26}{77}}{0,5:18\frac{2}{3}\cdot 11}-\frac{1}{18}\) выполним следующие шаги:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
\[ 26\frac{2}{3} = \frac{80}{3}, \quad 3\frac{5}{9} = \frac{32}{9}, \quad 8\frac{4}{7} = \frac{60}{7}, \quad 2\frac{26}{77} = \frac{180}{77}, \quad 18\frac{2}{3} = \frac{56}{3} \]
2. Выполним деление в первой части выражения:
\[ \left( \frac{80}{3} : 6,4 \right) = \left( \frac{80}{3} \cdot \frac{1}{6.4} \right) = \left( \frac{80}{3} \cdot \frac{1}{\frac{32}{5}} \right) = \left( \frac{80}{3} \cdot \frac{5}{32} \right) = \left( \frac{80 \cdot 5}{3 \cdot 32} \right) = \left( \frac{400}{96} \right) = \left( \frac{25}{6} \right) \]
3. Выполним деление во второй части выражения:
\[ \left( 19,2 : 3\frac{5}{9} \right) = \left( 19.2 \cdot \frac{1}{3\frac{5}{9}} \right) = \left( 19.2 \cdot \frac{1}{\frac{32}{9}} \right) = \left( 19.2 \cdot \frac{9}{32} \right) = \left( \frac{19.2 \cdot 9}{32} \right) = \left( \frac{172.8}{32} \right) = 5.4 \]
4. Выполним деление в третьей части выражения:
\[ \left( \frac{60}{7} : \frac{180}{77} \right) = \left( \frac{60}{7} \cdot \frac{77}{180} \right) = \left( \frac{60 \cdot 77}{7 \cdot 180} \right) = \left( \frac{4620}{1260} \right) = \left( \frac{11}{3} \right) \]
5. Выполним деление в четвертой части выражения:
\[ \left( 0,5 : 18\frac{2}{3} \right) = \left( 0.5 \cdot \frac{1}{18\frac{2}{3}} \right) = \left( 0.5 \cdot \frac{1}{\frac{56}{3}} \right) = \left( 0.5 \cdot \frac{3}{56} \right) = \left( \frac{1.5}{56} \right) = \left( \frac{3}{112} \right) \]
6. Выполним умножение в четвертой части выражения:
\[ \left( \frac{3}{112} \cdot 11 \right) = \left( \frac{3 \cdot 11}{112} \right) = \left( \frac{33}{112} \right) \]
7. Подставим все части в исходное выражение:
\[ \left( \frac{25}{6} \cdot 5.4 \right) - \frac{\frac{11}{3}}{\frac{33}{112}} - \frac{1}{18} \]
8. Выполним умножение в первой части выражения:
\[ \left( \frac{25}{6} \cdot 5.4 \right) = \left( \frac{25}{6} \cdot \frac{27}{5} \right) = \left( \frac{25 \cdot 27}{6 \cdot 5} \right) = \left( \frac{675}{30} \right) = \left( \frac{45}{2} \right) \]
9. Выполним деление в второй части выражения:
\[ \frac{\frac{11}{3}}{\frac{33}{112}} = \left( \frac{11}{3} \cdot \frac{112}{33} \right) = \left( \frac{11 \cdot 112}{3 \cdot 33} \right) = \left( \frac{1232}{99} \right) = \left( \frac{112}{9} \right) \]
10. Подставим все части в исходное выражение:
\[ \left( \frac{45}{2} \right) - \left( \frac{112}{9} \right) - \frac{1}{18} \]
11. Приведем все части к общему знаменателю 18:
\[ \left( \frac{45}{2} \right) = \left( \frac{45 \cdot 9}{2 \cdot 9} \right) = \left( \frac{405}{18} \right) \] \[ \left( \frac{112}{9} \right) = \left( \frac{112 \cdot 2}{9 \cdot 2} \right) = \left( \frac{224}{18} \right) \] \[ \frac{1}{18} = \left( \frac{1}{18} \right) \]
12. Выполним вычитание:
\[ \left( \frac{405}{18} \right) - \left( \frac{224}{18} \right) - \left( \frac{1}{18} \right) = \left( \frac{405 - 224 - 1}{18} \right) = \left( \frac{180}{18} \right) = 10 \]

Ответ: 10

Решение №265: Для решения выражения \((\frac{3,75+2\frac{1}{2}}{2\frac{1}{2}-1,875}-\frac{2\frac{3}{4}+1,5}{2,75-1\frac{1}{2}})\cdot \frac{10}{11}\) выполним следующие шаги:

1. Переведем смешанные числа в десятичные дроби: \[ 2\frac{1}{2} = 2.5, \quad 2\frac{3}{4} = 2.75, \quad 1\frac{1}{2} = 1.5 \]
2. Подставим десятичные дроби в выражение: \[ \left(\frac{3.75 + 2.5}{2.5 - 1.875} - \frac{2.75 + 1.5}{2.75 - 1.5}\right) \cdot \frac{10}{11} \]
3. Выполним сложение и вычитание в числителях и знаменателях дробей: \[ \frac{3.75 + 2.5}{2.5 - 1.875} = \frac{6.25}{0.625} \] \[ \frac{2.75 + 1.5}{2.75 - 1.5} = \frac{4.25}{1.25} \]
4. Упростим дроби: \[ \frac{6.25}{0.625} = 10 \] \[ \frac{4.25}{1.25} = 3.4 \]
5. Выполним вычитание дробей: \[ 10 - 3.4 = 6.6 \]
6. Умножим результат на \(\frac{10}{11}\): \[ 6.6 \cdot \frac{10}{11} = \frac{66}{11} \cdot \frac{10}{11} = \frac{660}{121} \]

Ответ: 6

Решение №276: Для решения выражения \(\frac{((3\frac{7}{12}-2\frac{11}{18}+2\frac{1}{24})\cdot 1\frac{5}{31}-\frac{3}{52}(3\frac{1}{2}+\frac{5}{6}))\cdot 1\frac{7}{13}}{\frac{19}{84}:(5\frac{13}{42}-2\frac{13}{28}+\frac{5}{24})+1\frac{2}{27}-\frac{1}{3}\cdot \frac{4}{9}}\) выполним следующие шаги:

1. Приведем все смешанные числа к неправильным дробям: \[ 3\frac{7}{12} = \frac{43}{12}, \quad 2\frac{11}{18} = \frac{55}{18}, \quad 2\frac{1}{24} = \frac{49}{24}, \quad 1\frac{5}{31} = \frac{36}{31}, \quad 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}, \quad 1\frac{7}{13} = \frac{20}{13}, \quad 5\frac{13}{42} = \frac{277}{42}, \quad 2\frac{13}{28} = \frac{77}{28}, \quad 1\frac{2}{27} = \frac{29}{27} \]
2. Запишем выражение с неправильными дробями: \[ \frac{\left(\left(\frac{43}{12} - \frac{55}{18} + \frac{49}{24}\right) \cdot \frac{36}{31} - \frac{3}{52}\left(\frac{7}{2} + \frac{5}{6}\right)\right) \cdot \frac{20}{13}}{\frac{19}{84} : \left(\frac{277}{42} - \frac{77}{28} + \frac{5}{24}\right) + \frac{29}{27} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9}} \]
3. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{43}{12} - \frac{55}{18} + \frac{49}{24} = \frac{43 \cdot 36 - 55 \cdot 24 + 49 \cdot 18}{12 \cdot 18 \cdot 24} = \frac{1548 - 1320 + 882}{5184} = \frac{1110}{5184} = \frac{185}{864} \] \[ \frac{7}{2} + \frac{5}{6} = \frac{21 + 5}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \] \[ \frac{277}{42} - \frac{77}{28} + \frac{5}{24} = \frac{277 \cdot 28 \cdot 24 - 77 \cdot 42 \cdot 24 + 5 \cdot 42 \cdot 28}{42 \cdot 28 \cdot 24} = \frac{185760 - 76440 + 5880}{2903040} = \frac{114500}{2903040} = \frac{28625}{72576} \]
4. Подставим приведенные дроби в выражение: \[ \frac{\left(\frac{185}{864} \cdot \frac{36}{31} - \frac{3}{52} \cdot \frac{13}{3}\right) \cdot \frac{20}{13}}{\frac{19}{84} : \frac{28625}{72576} + \frac{29}{27} - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9}} \]
5. Выполним умножение и деление: \[ \frac{185}{864} \cdot \frac{36}{31} = \frac{185 \cdot 36}{864 \cdot 31} = \frac{6660}{26624} = \frac{8325}{33280} \] \[ \frac{3}{52} \cdot \frac{13}{3} = \frac{3 \cdot 13}{52 \cdot 3} = \frac{39}{156} = \frac{13}{52} \] \[ \frac{19}{84} : \frac{28625}{72576} = \frac{19}{84} \cdot \frac{72576}{28625} = \frac{19 \cdot 72576}{84 \cdot 28625} = \frac{1378944}{2403900} = \frac{344736}{600975} \] \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{27} \]
6. Подставим результаты в выражение: \[ \frac{\left(\frac{8325}{33280} - \frac{13}{52}\right) \cdot \frac{20}{13}}{\frac{344736}{600975} + \frac{29}{27} - \frac{4}{27}} \]
7. Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{8325}{33280} - \frac{13}{52} = \frac{8325 \cdot 52 - 13 \cdot 33280}{33280 \cdot 52} = \frac{433900 - 432640}{1732160} = \frac{1260}{1732160} = \frac{315}{433040} \] \[ \frac{344736}{600975} + \frac{29}{27} - \frac{4}{27} = \frac{344736 \cdot 27 + 29 \cdot 600975 - 4 \cdot 600975}{600975 \cdot 27} = \frac{9307872 + 17428275 - 2403900}{16226325} = \frac{24352247}{16226325} = \frac{8117415}{5408775} \]
8. Подставим результаты в выражение: \[ \frac{\frac{315}{433040} \cdot \frac{20}{13}}{\frac{8117415}{5408775}} \]
9. Выполним умножение и деление: \[ \frac{315}{433040} \cdot \frac{20}{13} = \frac{315 \cdot 20}{433040 \cdot 13} = \frac{6300}{5629520} = \frac{1575}{1407380} \] \[ \frac{1575}{1407380} : \frac{8117415}{5408775} = \frac{1575}{1407380} \cdot \frac{5408775}{8117415} = \frac{1575 \cdot 5408775}{1407380 \cdot 8117415} = \frac{8517675}{11402520} = \frac{1703535}{2280504} \]

Ответ: 5

Решение №278: Для решения выражения \(5\frac{4}{7}:\left ( 8,4\cdot \frac{6}{7}\cdot (6-\frac{(2,3+5:6,25)\cdot 7}{8\cdot 0,0125+6,9})-20,384:1,3 \right )\) выполним следующие шаги:

1. Преобразуем смешанное число \(5\frac{4}{7}\) в неправильную дробь: \[ 5\frac{4}{7} = \frac{39}{7} \]
2. Выполним деление внутри скобок \(5 : 6,25\): \[ 5 : 6,25 = 5 \div 6.25 = 5 \div \frac{25}{4} = 5 \cdot \frac{4}{25} = \frac{20}{25} = 0.8 \]
3. Сложим \(2,3\) и \(0.8\): \[ 2,3 + 0.8 = 3,1 \]
4. Выполним умножение \(3,1 \cdot 7\): \[ 3,1 \cdot 7 = 21,7 \]
5. Выполним умножение \(8 \cdot 0,0125\): \[ 8 \cdot 0,0125 = 0,1 \]
6. Сложим \(0,1\) и \(6,9\): \[ 0,1 + 6,9 = 7 \]
7. Выполним деление \(21,7 : 7\): \[ 21,7 : 7 = 3,1 \]
8. Вычтем \(3,1\) из \(6\): \[ 6 - 3,1 = 2,9 \]
9. Выполним умножение \(8,4 \cdot \frac{6}{7}\): \[ 8,4 \cdot \frac{6}{7} = \frac{8,4 \cdot 6}{7} = \frac{50,4}{7} = 7,2 \]
10. Выполним умножение \(7,2 \cdot 2,9\): \[ 7,2 \cdot 2,9 = 20,88 \]
11. Выполним деление \(20,384 : 1,3\): \[ 20,384 : 1,3 = 15,68 \]
12. Вычтем \(15,68\) из \(20,88\): \[ 20,88 - 15,68 = 5,2 \]
13. Выполним деление \(\frac{39}{7} : 5,2\): \[ \frac{39}{7} : 5,2 = \frac{39}{7} \cdot \frac{1}{5,2} = \frac{39}{7 \cdot 5,2} = \frac{39}{36,4} = \frac{39}{36,4} = 1,071 \]

Ответ: 15/14

Решение №283: Для решения выражения \((5\frac{7}{12}-3\frac{17}{36})\cdot2\frac{1}{2}+4\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{26}+\frac{1}{2}\) выполним следующие шаги:

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \[ 5\frac{7}{12} = \frac{67}{12}, \quad 3\frac{17}{36} = \frac{125}{36}, \quad 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}, \quad 4\frac{1}{3} = \frac{13}{3} \]
2. Выполним вычитание в скобках: \[ \frac{67}{12} - \frac{125}{36} \] Для этого найдем общий знаменатель, который является наименьшим общим кратным (НОК) знаменателей 12 и 36. НОК(12, 36) = 36. \[ \frac{67}{12} = \frac{67 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{201}{36}, \quad \frac{125}{36} = \frac{125}{36} \] Теперь вычтем: \[ \frac{201}{36} - \frac{125}{36} = \frac{201 - 125}{36} = \frac{76}{36} = \frac{19}{9} \]
3. Умножим результат на \(\frac{5}{2}\): \[ \left(\frac{19}{9}\right) \cdot \left(\frac{5}{2}\right) = \frac{19 \cdot 5}{9 \cdot 2} = \frac{95}{18} \]
4. Выполним умножение \(4\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{26}\): \[ \frac{13}{3} \cdot \frac{3}{26} = \frac{13 \cdot 3}{3 \cdot 26} = \frac{13}{26} = \frac{1}{2} \]
5. Сложим все части выражения: \[ \frac{95}{18} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \] Для этого найдем общий знаменатель, который является НОК знаменателей 18 и 2. НОК(18, 2) = 18. \[ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{9}{18}, \quad \frac{1}{2} = \frac{9}{18} \] Теперь сложим: \[ \frac{95}{18} + \frac{9}{18} + \frac{9}{18} = \frac{95 + 9 + 9}{18} = \frac{113}{18} \]

Ответ: 113/18

Решение №301: Для решения выражения \(6\cdot(6\frac{1}{6}+5\frac{2}{3}\cdot3\frac{2}{17})-(1\frac{2}{7}\cdot5\frac{1}{4}-5\frac{11}{12})\cdot18\frac{6}{7}\) выполним следующие шаги:

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \[ 6\frac{1}{6} = \frac{37}{6}, \quad 5\frac{2}{3} = \frac{17}{3}, \quad 3\frac{2}{17} = \frac{53}{17} \] \[ 1\frac{2}{7} = \frac{9}{7}, \quad 5\frac{1}{4} = \frac{21}{4}, \quad 5\frac{11}{12} = \frac{71}{12}, \quad 18\frac{6}{7} = \frac{132}{7} \]
2. Подставим неправильные дроби в выражение: \[ 6\cdot\left(\frac{37}{6} + \frac{17}{3} \cdot \frac{53}{17}\right) - \left(\frac{9}{7} \cdot \frac{21}{4} - \frac{71}{12}\right) \cdot \frac{132}{7} \]
3. Упростим выражение внутри скобок: \[ \frac{17}{3} \cdot \frac{53}{17} = \frac{53}{3} \] \[ \frac{9}{7} \cdot \frac{21}{4} = \frac{189}{28} = \frac{63}{8} \]
4. Подставим упрощенные значения обратно в выражение: \[ 6\cdot\left(\frac{37}{6} + \frac{53}{3}\right) - \left(\frac{63}{8} - \frac{71}{12}\right) \cdot \frac{132}{7} \]
5. Найдем общий знаменатель для сложения и вычитания дробей: \[ \frac{37}{6} + \frac{53}{3} = \frac{37}{6} + \frac{106}{6} = \frac{143}{6} \] \[ \frac{63}{8} - \frac{71}{12} = \frac{189}{24} - \frac{142}{24} = \frac{47}{24} \]
6. Подставим результаты обратно в выражение: \[ 6\cdot\frac{143}{6} - \frac{47}{24} \cdot \frac{132}{7} \]
7. Упростим выражение: \[ 6\cdot\frac{143}{6} = 143 \] \[ \frac{47}{24} \cdot \frac{132}{7} = \frac{47 \cdot 132}{24 \cdot 7} = \frac{47 \cdot 132}{168} = \frac{47 \cdot 33}{42} = \frac{47 \cdot 33}{42} = \frac{47 \cdot 11}{14} = \frac{517}{14} \]
8. Подставим упрощенные значения обратно в выражение: \[ 143 - \frac{517}{14} \]
9. Переведем \(143\) в дробь с общим знаменателем: \[ 143 = \frac{143 \cdot 14}{14} = \frac{2002}{14} \]
10. Выполним вычитание дробей: \[ \frac{2002}{14} - \frac{517}{14} = \frac{2002 - 517}{14} = \frac{1485}{14} = 106.071428571 \]

Ответ: 891/7

Решение №302: Для решения выражения \((3\frac{1}{4}\cdot(14\frac{4}{5}+\frac{4}{15})-47):5\frac{9}{10}\) выполним следующие шаги:

1. Переведем смешанные числа в неправильные дроби: \[ 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}, \quad 14\frac{4}{5} = \frac{74}{5}, \quad \frac{4}{15} = \frac{4}{15}, \quad 5\frac{9}{10} = \frac{59}{10} \]
2. Вычислим выражение в скобках: \[ 14\frac{4}{5} + \frac{4}{15} = \frac{74}{5} + \frac{4}{15} \] Найдем общий знаменатель для \(\frac{74}{5}\) и \(\frac{4}{15}\): \[ \frac{74}{5} = \frac{74 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{222}{15} \] Сложим дроби: \[ \frac{222}{15} + \frac{4}{15} = \frac{226}{15} \]
3. Подставим результат в основное выражение: \[ 3\frac{1}{4} \cdot \frac{226}{15} - 47 = \frac{13}{4} \cdot \frac{226}{15} - 47 \]
4. Перемножим дроби: \[ \frac{13}{4} \cdot \frac{226}{15} = \frac{13 \cdot 226}{4 \cdot 15} = \frac{2938}{60} \]
5. Вычтем 47 из результата: \[ \frac{2938}{60} - 47 = \frac{2938}{60} - \frac{47 \cdot 60}{60} = \frac{2938}{60} - \frac{2820}{60} = \frac{118}{60} = \frac{59}{30} \]
6. Разделим результат на \(5\frac{9}{10}\): \[ \frac{59}{30} \div \frac{59}{10} = \frac{59}{30} \cdot \frac{10}{59} = \frac{59 \cdot 10}{30 \cdot 59} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \]

Ответ: 1/3

Решение №307: Для решения выражения \(3\frac{11}{18}\cdot(1\frac{2}{13}\cdot2\frac{1}{10}-\frac{2}{13}\cdot13\frac{1}{2})+5\cdot(4\frac{2}{3}\cdot3\frac{3}{4}-\frac{6}{7}\cdot7\frac{14}{15})\) выполним следующие шаги:

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: \[ 3\frac{11}{18} = \frac{3 \cdot 18 + 11}{18} = \frac{65}{18} \] \[ 1\frac{2}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{15}{13} \] \[ 2\frac{1}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 1}{10} = \frac{21}{10} \] \[ 13\frac{1}{2} = \frac{13 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{27}{2} \] \[ 4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3} \] \[ 3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4} \] \[ 7\frac{14}{15} = \frac{7 \cdot 15 + 14}{15} = \frac{119}{15} \]
2. Подставим неправильные дроби вместо смешанных чисел: \[ \frac{65}{18} \cdot \left( \frac{15}{13} \cdot \frac{21}{10} - \frac{2}{13} \cdot \frac{27}{2} \right) + 5 \cdot \left( \frac{14}{3} \cdot \frac{15}{4} - \frac{6}{7} \cdot \frac{119}{15} \right) \]
3. Выполним умножение и вычитание в скобках: \[ \frac{15}{13} \cdot \frac{21}{10} = \frac{15 \cdot 21}{13 \cdot 10} = \frac{315}{130} = \frac{63}{26} \] \[ \frac{2}{13} \cdot \frac{27}{2} = \frac{2 \cdot 27}{13 \cdot 2} = \frac{54}{26} \] \[ \frac{63}{26} - \frac{54}{26} = \frac{63 - 54}{26} = \frac{9}{26} \] \[ \frac{14}{3} \cdot \frac{15}{4} = \frac{14 \cdot 15}{3 \cdot 4} = \frac{210}{12} = \frac{35}{2} \] \[ \frac{6}{7} \cdot \frac{119}{15} = \frac{6 \cdot 119}{7 \cdot 15} = \frac{714}{105} = \frac{238}{35} \] \[ \frac{35}{2} - \frac{238}{35} = \frac{35 \cdot 35 - 238 \cdot 2}{2 \cdot 35} = \frac{1225 - 476}{70} = \frac{749}{70} \]
4. Подставим результаты в исходное выражение: \[ \frac{65}{18} \cdot \frac{9}{26} + 5 \cdot \frac{749}{70} \]
5. Выполним умножение: \[ \frac{65}{18} \cdot \frac{9}{26} = \frac{65 \cdot 9}{18 \cdot 26} = \frac{585}{468} = \frac{65}{52} \] \[ 5 \cdot \frac{749}{70} = \frac{5 \cdot 749}{70} = \frac{3745}{70} = \frac{535}{10} \]
6. Сложим результаты: \[ \frac{65}{52} + \frac{535}{10} \] Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{65}{52} = \frac{65 \cdot 5}{52 \cdot 5} = \frac{325}{260} \] \[ \frac{535}{10} = \frac{535 \cdot 26}{10 \cdot 26} = \frac{13910}{260} \] \[ \frac{325}{260} + \frac{13910}{260} = \frac{325 + 13910}{260} = \frac{14235}{260} = \frac{2847}{52} \]

Ответ: 54.75

Решение №2072: \(\frac{a^{4}-64ab^{3}}{a^{2}-2ab+b^{2}} \cdot \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}b-16b^{2}}:\frac{a^{3}+4a^{2}b+16ab^{2}}{ab+4b^{2}}=\frac{a+b}{a-b}=\frac{a(a^{3}-64b^{3}) \cdot (a-b)(a+b) \cdot b(a+4b)}{(a-b)^{2}b(a^{2}-16b^{2})a(a^{2}+4ab+16b^{2})}=\frac{a(a-4b)(a^{2}+4ab+16b^{2})(a-b)(a+b)b(a+4b)}{(a-b)^{2}b(a-4b)(a+4b)a(a^{2}+4ab+16b^{2})}=\frac{a+b}{a-b}; \frac{a+b}{a-b}=\frac{a+b}{a-b}\)

Ответ: NaN

Решение №2073: \(\frac{x^{3}x+125z}{x^{2}-16z^{2}}:\frac{x^{3}-25x}{x^{2}-8xz+16z^{2}} \cdot \frac{x+4z}{x^{2}-5x+25}:\frac{x-4z}{x-5}=\frac{z(x^{3}+125) \cdot (x-4z)^{2}(x+4z)(x-5)}{(x-4z)(x+4z)z(x^{2}-25)(x^{2}05x+25)(x-4z)}=\frac{z(x+5)(x^{2}_5x+25)(x-4z)^{2}(x+4z)(x-5)}{x(x-4z)(x+4z)(x-5)(x+5)(x^{2}-5x+25)(x-4z)}=\frac{z}{x}; \frac{z}x{}=\frac{z}{x}\)

Ответ: NaN

Решение №2074: \(\frac{4x^{2}}{2x-y}:\frac{12x^{3}}{4x^{2}-y^{2}} \cdot \frac{2x^{2}}{6x^{2}+3xy}=\frac{4x^{2}(2x-y)(2x+y) \cdot 2x^{2}}{(2x-y) \cdot 12x^{3} \cdot 3x(2x+y)}=\frac{2}{9}\)

Ответ: \(\frac{2}{9}\)

Решение №2081: \(y=\frac{x^{2}-4x}{(x-4)^{2}} \cdot \frac{x^{2}-16}{2x}=\frac{x(x-4) \cdot (x-4)(x+4)}{(x-4)^{2}2x}=\frac{x+4}{2}=\frac{x+4}{2}=\frac{x}{2}+2; y=\frac{x}{2}+2; x \neq 0, x \neq 4\)

Ответ: NaN

Решение №2083: \(y=\frac{x^{2}+x-6}{x}:\frac{x-2}{2x}=\frac{(x^{2}+x-6) \cdot 2x}{x(x-2)}=\frac{2(x^{2}+x-6)}{x-2}=\frac{(x^{2}-4+x-2)^{2}}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)+(x-2)^{2}}{x-2}=2(x+2+1)=2(x+3); y=2(x+3)=2x+6; y=2x+6; x \neq 0; x-2 \neq 0, x \neq 2\)

Ответ: NaN

Решение №2817: \(\left ( a^{4}-2b^{4} \right )\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}-\left ( a^{2}+b^{2} \right )\sqrt{\left ( a+b \right )^{3}\left ( a-b \right )}+\frac{b^{3}}{a-b}\sqrt{a^{2}b^{4}-b^{6}}=0\)

Ответ: 0

Решение №2975: \(\left ( 1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}\right ):\left ( 1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \right )=\frac{1+\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}}{1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}}=\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}1-\sqrt{\frac{a-x}{a+x}}}=\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}=\frac{a+\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}\)

Ответ: \(\frac{a+\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{x}\)

Решение №3068: Для определения значения \( a \), при котором прямая \( y = ax \) является касательной к графику функции \( y = e^{x-1} - 3x \), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Найти производную функции \( y = e^{x-1} - 3x \):** \[ y' = \frac{d}{dx}(e^{x-1} - 3x) = e^{x-1} - 3 \] 2. **Предположить, что касательная к графику функции \( y = e^{x-1} - 3x \) в точке \( (x_0, y_0) \) имеет угол наклона \( a \):** \[ a = e^{x_0-1} - 3 \] 3. **Найти координаты точки касания \( (x_0, y_0) \):** \[ y_0 = e^{x_0-1} - 3x_0 \] 4. **Использовать уравнение прямой \( y = ax \), проходящей через точку касания \( (x_0, y_0) \):** \[ y_0 = a x_0 \] Подставим \( y_0 \) и \( a \) из предыдущих шагов: \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = (e^{x_0-1} - 3)x_0 \] 5. **Решить уравнение для нахождения \( x_0 \):** \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = e^{x_0-1}x_0 - 3x_0 \] Упростим уравнение: \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = e^{x_0-1}x_0 - 3x_0 \] \[ e^{x_0-1} = e^{x_0-1}x_0 \] \[ e^{x_0-1}(1 - x_0) = 0 \] Поскольку \( e^{x_0-1} \neq 0 \), имеем: \[ 1 - x_0 = 0 \implies x_0 = 1 \] 6. **Найти значение \( a \) при \( x_0 = 1 \):** \[ a = e^{1-1} - 3 = e^0 - 3 = 1 - 3 = -2 \] Ответ:
Значение \( a \): \( -2 \)

Ответ: -2

Решение №3071: Для определения значения \( a \), при котором прямая \( y = 4x + a \) является касательной к графику функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \right) \]
Используем правило дифференцирования для экспоненциальных функций: \[ \frac{d}{dx} (4^x) = 4^x \ln 4 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx} (2^{x+1}) = 2^{x+1} \ln 2 \]
Подставляем эти производные: \[ y' = \frac{4^x \ln 4 - 2^{x+1} \ln 2}{\ln 2} \]
Упрощаем выражение: \[ y' = \frac{4^x \cdot 2 \ln 2 - 2^{x+1} \ln 2}{\ln 2} = 4^x \cdot 2 - 2^{x+1} \]
\[ y' = 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^x = 2 \cdot (4^x - 2^x) \]
2. Условие касания: производная функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \) в точке касания должна быть равна угловому коэффициенту прямой \( y = 4x + a \):
\[ 2 \cdot (4^{x_0} - 2^{x_0}) = 4 \]
Решим это уравнение относительно \( x_0 \): \[ 2 \cdot (4^{x_0} - 2^{x_0}) = 4 \implies 4^{x_0} - 2^{x_0} = 2 \]
\[ (2^{x_0})^2 - 2^{x_0} - 2 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение: \[ t = 2^{x_0} \]
\[ t^2 - t - 2 = 0 \]
\[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Получаем два корня: \[ t_1 = 2 \quad \text{и} \quad t_2 = -1 \]
Так как \( t = 2^{x_0} \) и \( 2^{x_0} \) всегда положительно, то: \[ 2^{x_0} = 2 \implies x_0 = 1 \]
3. Найти значение функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \) в точке \( x_0 = 1 \):
\[ y(1) = \frac{4^1 - 2^{1+1}}{\ln 2} = \frac{4 - 4}{\ln 2} = 0 \]
4. Подставить найденные значения \( x_0 \) и \( y(x_0) \) в уравнение прямой \( y = 4x + a \):
\[ 0 = 4 \cdot 1 + a \implies 0 = 4 + a \implies a = -4 \]

Ответ: \(a=4\left ( \frac{2}{ln2}-1 \right )\)

Решение №3077: Для определения значения \( a \) (\( a > 0 \)), при котором кривая \( y = a \ln x \) имеет одну общую точку с графиком \( y = 2x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Поставить уравнение, которое выражает условие касания двух графиков:
\[ a \ln x = 2x^2 \]
2. Найти производные обеих функций:
\[ \frac{d}{dx}(a \ln x) = \frac{a}{x} \] \[ \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x \]
3. Приравнять производные в точке касания \( x_0 \):
\[ \frac{a}{x_0} = 4x_0 \]
4. Решить это уравнение относительно \( a \):
\[ a = 4x_0^2 \]
5. Подставить выражение для \( a \) в исходное уравнение:
\[ 4x_0^2 \ln x_0 = 2x_0^2 \]
6. Упростить уравнение:
\[ 2 \ln x_0 = 1 \] \[ \ln x_0 = \frac{1}{2} \]
7. Решить уравнение относительно \( x_0 \):
\[ x_0 = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \]
8. Подставить \( x_0 \) обратно в выражение для \( a \):
\[ a = 4 (\sqrt{e})^2 = 4e \]

Ответ: 4e

Решение №3444: Для решения задачи найдем время нахождения в пути пешехода и определим значение \( x \), при котором это время будет наибольшим.

1. Обозначим расстояние между городами \( A \) и \( B \) как \( s \) км.
2. Скорость велосипедиста \( v_v = 25 \) км/ч, скорость пешехода \( v_p = x \) км/ч.
3. Время до встречи:
\[ t_1 = \frac{s}{v_v + v_p} = \frac{s}{25 + x} \]
4. После встречи велосипедист возвращается с прежней скоростью, а пешеход увеличивает свою скорость на 1 км/ч, то есть его скорость становится \( v_p' = x + 1 \) км/ч.
5. Время возвращения пешехода:
\[ t_2 = \frac{s}{v_p'} = \frac{s}{x + 1} \]
6. Общее время нахождения в пути пешехода:
\[ T = t_1 + t_2 = \frac{s}{25 + x} + \frac{s}{x + 1} \]
7. Перепишем выражение для общего времени:
\[ T(x) = s \left( \frac{1}{25 + x} + \frac{1}{x + 1} \right) \]
8. Найдем производную функции \( T(x) \) по \( x \):
\[ T'(x) = s \left( -\frac{1}{(25 + x)^2} - \frac{1}{(x + 1)^2} \right) \]
9. Найдем критические точки, решив уравнение \( T'(x) = 0 \):
\[ -\frac{1}{(25 + x)^2} - \frac{1}{(x + 1)^2} = 0 \]
10. Решим уравнение:
\[ \frac{1}{(25 + x)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} \]
11. Это эквивалентно:
\[ (25 + x)^2 = (x + 1)^2 \]
12. Раскроем скобки:
\[ 625 + 50x + x^2 = 1 + 2x + x^2 \]
13. Упростим уравнение:
\[ 625 + 50x = 1 + 2x \]
14. Решим уравнение:
\[ 624 = -48x \] \[ x = -\frac{624}{48} = -13 \]
15. Так как \( x \) должно быть положительным, критическая точка \( x = -13 \) не имеет смысла.
16. Проверим значения функции \( T(x) \) на границах интервала \( [0, \infty) \):
\[ \lim_{x \to 0} T(x) = s \left( \frac{1}{25} + \frac{1}{1} \right) = s \left( \frac{1}{25} + 1 \right) = s \cdot \frac{26}{25} \] \[ \lim_{x \to \infty} T(x) = s \left( 0 + 0 \right) = 0 \]
17. Определим максимальное значение \( T(x) \):
\[ T_{\text{max}} = s \cdot \frac{26}{25} \]
18. Таким образом, время нахождения в пути пешехода будет наибольшим при \( x = 0 \).

Ответ: \(t=\frac{s(2x+1)}{(25+x)(x+1)}\); \(x_{max}=3\)

Решение №3447: Для решения задачи определим время прогулки пешехода и найдем значение \( v \), при котором это время будет наименьшим.

1. Обозначим: \( v \) — скорость пешехода (км/ч), \( v + 9 \) — скорость велосипедиста (км/ч).
2. Пусть \( t_1 \) — время, за которое пешеход прошел 6 км. \[ t_1 = \frac{6}{v} \]
3. Пусть \( t_2 \) — время, за которое велосипедист догнал пешехода. \[ t_2 = \frac{6}{v + 9} \]
4. Пусть \( t_3 \) — время, за которое пешеход и велосипедист вернулись в точку \( A \) со скоростью 4 км/ч. \[ t_3 = \frac{6}{4} = 1.5 \text{ часа} \]
5. Общее время прогулки пешехода \( T \) будет суммой времен \( t_1 \), \( t_2 \) и \( t_3 \): \[ T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{6}{v} + \frac{6}{v + 9} + 1.5 \]
6. Необходимо минимизировать \( T \). Для этого найдем производную \( T \) по \( v \) и приравняем её к нулю.
7. Найдем производную \( T \): \[ T = \frac{6}{v} + \frac{6}{v + 9} + 1.5 \] \[ \frac{dT}{dv} = -\frac{6}{v^2} - \frac{6}{(v + 9)^2} \]
8. Приравняем производную к нулю: \[ -\frac{6}{v^2} - \frac{6}{(v + 9)^2} = 0 \] \[ \frac{6}{v^2} = \frac{6}{(v + 9)^2} \] \[ v^2 = (v + 9)^2 \] \[ v^2 = v^2 + 18v + 81 \] \[ 18v + 81 = 0 \] \[ v = -\frac{81}{18} = -4.5 \]
9. Так как скорость не может быть отрицательной, пересчитаем уравнение: \[ \frac{6}{v^2} = \frac{6}{(v + 9)^2} \] \[ \frac{1}{v^2} = \frac{1}{(v + 9)^2} \] \[ v^2 = (v + 9)^2 \] \[ v^2 = v^2 + 18v + 81 \] \[ 18v + 81 = 0 \] \[ v = 4.5 \]
10. Проверим, является ли найденное значение минимумом. Второй производной не требуется, так как функция \( T \) имеет только один экстремум на интервале \( v > 0 \).
11. Таким образом, значение \( v = 4.5 \) км/ч минимизирует время прогулки пешехода.

Ответ: 6

Решение №3452: Для нахождения точки графика функции \( y = x^2 + \frac{1}{2} \), ближайшей к точке \( A \left( \frac{1}{4}; 1 \right) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти расстояние между точкой \( A \left( \frac{1}{4}; 1 \right) \) и произвольной точкой на графике функции \( y = x^2 + \frac{1}{2} \).
Пусть \( P(x, y) \) — произвольная точка на графике функции. Тогда расстояние \( d \) между точками \( A \) и \( P \) определяется формулой: \[ d = \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( y - 1 \right)^2} \]
2. Подставить \( y = x^2 + \frac{1}{2} \) в формулу расстояния:
\[ d = \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 + \frac{1}{2} - 1 \right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2} \]
3. Найти производную функции \( d \) по \( x \):
\[ d'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2} \right) \] Используем правило цепочки: \[ d'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2}} \cdot \left( 2 \left( x - \frac{1}{4} \right) + 2 \left( x^2 - \frac{1}{2} \right) \cdot 2x \right) \] \[ d'(x) = \frac{2 \left( x - \frac{1}{4} \right) + 4x \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)}{2 \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2}} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( d'(x) = 0 \):
\[ 2 \left( x - \frac{1}{4} \right) + 4x \left( x^2 - \frac{1}{2} \right) = 0 \] \[ 2x - \frac{1}{2} + 4x^3 - 2x = 0 \] \[ 4x^3 - \frac{1}{2} = 0 \] \[ 4x^3 = \frac{1}{2} \] \[ x^3 = \frac{1}{8} \] \[ x = \frac{1}{2} \]
5. Вычислить значение функции \( y = x^2 + \frac{1}{2} \) в критической точке \( x = \frac{1}{2} \):
\[ y = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]
6. Проверить, является ли точка \( \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right) \) ближайшей к точке \( A \left( \frac{1}{4}; 1 \right) \):
\[ d = \sqrt{\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( \frac{3}{4} - 1 \right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left( \frac{1}{4} \right)^2 + \left( -\frac{1}{4} \right)^2} \] \[ d = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16}} \] \[ d = \sqrt{\frac{2}{16}} \] \[ d = \sqrt{\frac{1}{8}} \] \[ d = \frac{\sqrt{2}}{4} \]
7. Сравнить расстояние с другими возможными точками на графике функции и убедиться, что данная точка является ближайшей.

Ответ: <0,5;0,75>

Решение №3453: Для нахождения наименьшего расстояния от точки \( M(2;0) \) до точек графика функции \( y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}} \) и умножения результата на \( \sqrt{3} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выразить расстояние от точки \( M(2;0) \) до произвольной точки на графике функции \( y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}} \).
Расстояние между точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) на плоскости определяется формулой: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] В нашем случае \( (x_1, y_1) = (2, 0) \) и \( (x_2, y_2) = (x, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}}) \). Тогда: \[ d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}}\right)^2} \]
2. Упростить выражение для расстояния.
\[ d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + \frac{2}{27(x-2)}} \]
3. Найти производную функции расстояния \( d(x) \).
\[ d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + \frac{2}{27(x-2)}} \] Обозначим \( u = (x - 2)^2 \) и \( v = \frac{2}{27(x-2)} \). Тогда: \[ d(x) = \sqrt{u + v} \] Производная \( d(x) \): \[ d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u + v}} \left( \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \right) \] Найдем \( \frac{du}{dx} \) и \( \frac{dv}{dx} \): \[ \frac{du}{dx} = 2(x - 2) \] \[ \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{27(x-2)} \right) = \frac{2}{27} \cdot \frac{-1}{(x-2)^2} = -\frac{2}{27(x-2)^2} \] Тогда: \[ d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{(x-2)^2 + \frac{2}{27(x-2)}}} \left( 2(x-2) - \frac{2}{27(x-2)^2} \right) \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( d'(x) = 0 \).
\[ 2(x-2) - \frac{2}{27(x-2)^2} = 0 \] Упростим уравнение: \[ 2(x-2) = \frac{2}{27(x-2)^2} \] Умножим обе части на \( 27(x-2)^2 \): \[ 54(x-2)^3 = 2 \] Решим уравнение: \[ (x-2)^3 = \frac{1}{27} \] Тогда: \[ x-2 = \frac{1}{3} \] Следовательно: \[ x = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]
5. Вычислить значение функции \( d(x) \) в критической точке \( x = \frac{7}{3} \).
\[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\left(\frac{7}{3} - 2\right)^2 + \frac{2}{27\left(\frac{7}{3} - 2\right)}} \] Упростим: \[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{27 \cdot \frac{1}{3}}} \] \[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2}{9}} \] \[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
6. Умножить результат на \( \sqrt{3} \).
\[ d\left(\frac{7}{3}\right) \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1 \]

Ответ: 1

Решение №3461: Для решения задачи о нахождении абсциссы вершины \(D\) прямоугольника \(ABCD\), чтобы его площадь была наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить координаты вершин прямоугольника:
• Вершина \(A\) имеет координаты \((a, 0)\), где \(a\) — абсцисса точки \(A\).
• Вершина \(B\) имеет координаты \((b, 0)\), где \(b\) — абсцисса точки \(B\).
• Вершина \(C\) имеет координаты \((b, b^2 - 4b + 3)\), так как она лежит на параболе \(y = x^2 - 4x + 3\).
• Вершина \(D\) имеет координаты \((a, -a^2 + 2a - 2)\), так как она лежит на параболе \(y = -x^2 + 2x - 2\).
2. Выразить длины сторон прямоугольника:
• Длина стороны \(AB\) равна \(b - a\).
• Длина стороны \(AD\) равна \(|-a^2 + 2a - 2|\).
3. Выразить площадь прямоугольника \(ABCD\):
\[ S = (b - a) \cdot |-a^2 + 2a - 2| \]
4. Учитывая, что \(b = a + \Delta x\), где \(\Delta x = b - a\), и \(a\) принадлежит отрезку \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\), найдем минимум площади:
• Площадь прямоугольника \(S\) можно выразить как:
\[ S = \Delta x \cdot |-a^2 + 2a - 2| \]
• Минимизировать выражение \(|-a^2 + 2a - 2|\):
• Найдем производную функции \(f(a) = -a^2 + 2a - 2\):
\[ f'(a) = -2a + 2 \]
• Найдем критические точки, решив уравнение \(f'(a) = 0\):
\[ -2a + 2 = 0 \implies a = 1 \]
• Проверим, попадает ли \(a = 1\) в отрезок \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\):
• \(1\) не попадает в отрезок \(\left[\frac{4}{5}; \frac{3}{2}\right]\), поэтому рассмотрим значения на концах отрезка.
• Вычислим значения функции \(|-a^2 + 2a - 2|\) на концах отрезка:
• Для \(a = \frac{4}{5}\):
\[ |-(\frac{4}{5})^2 + 2 \cdot \frac{4}{5} - 2| = |-\frac{16}{25} + \frac{8}{5} - 2| = |-\frac{16}{25} + \frac{40}{25} - \frac{50}{25}| = |\frac{-26}{25}| = \frac{26}{25} \]
• Для \(a = \frac{3}{2}\):
\[ |-(\frac{3}{2})^2 + 2 \cdot \frac{3}{2} - 2| = |-\frac{9}{4} + 3 - 2| = |-\frac{9}{4} + \frac{12}{4} - \frac{8}{4}| = |\frac{-5}{4}| = \frac{5}{4} \]
• Сравнить значения:
• \(\frac{26}{25} \approx 1.04\)
• \(\frac{5}{4} = 1.25\)
• Минимальное значение достигается при \(a = \frac{4}{5}\).

Ответ: 0.8

Решение №3469: По формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии \(1+3+...+\left ( 2n-1 \right )=\frac{1+\left ( 2n-1 \right )}{2}n=n^{2}\). Тогда \(x_{n}=\frac{n^{2}}{n^{2}+1}=1-\frac{1}{n^{2}+1}\). Последовательность \(\left \{ x_{n} \right \} \)ограничена снизу числом 0, а сверху числом 1.

Ответ: NaN

Решение №3472: Можно доказать с помощью метода математической индукции два утверждения: 1) \(\forall n\in N x_{n+1}> x_{n} и 2) \forall n\in N, n\geqslant 2 x_{n}< 3 \) База индукции очевидна. Переход индукциидоказывает цепочка соотношений \(x_{n+1}=\sqrt{3+x_{n}}> \sqrt{3+x_{n-1}}=x_{n}\), верная в силу свойств корней и индукционного предположения \(x_{n}> x_{n-1}\). 2) База индукции: \(x_{2}=\sqrt{7}< 3\). Переход индукции: В силу индукционного предположения \(x_{n}< 3\), а тогда \(x_{n+1}^{2}=3+x_{n}< 3+3=6\), и следовательно, \(x_{n+1}< 3\). Из первого и второго утверждения следует ограниченность последовательности\(\left \{ x_{n} \right \}.\)

Ответ: NaN

Решение №3478: Необязательно ограничена. Например, при \(x_{n}=\frac{1}{n} \) получаем последовательность \(y_{n}=-\log n\), которая является неограниченной.

Ответ: NaN

Решение №3488: При \(x\in \left ( 2k;2k+1 \right )\) убывает; при \(x\in \left ( 2k-1;2k \right \)) возрастает; при \(x\in Z\) является константой, поэтому может быть сочтена как нестрого возрастающей, так и нестрого убывающей. 1) Если \(\sin \pi x> 0\Leftrightarrow 2k< x< 1+2k, k\in Z.\) Тогда \(\forall n\in N x_{n}=\frac{\sin \pi x}{n}> \frac{\sin \pi x}{n+1}=x_{n+1}\), значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая. 2) Если \(\sin \pi x< 0\Leftrightarrow 2k+1< x< 2+2k, k\in Z\). Тогда \(\forall n\in N x_{n}=\frac{\sin \pi x}{n}< \frac{\sin \pi x}{n+1}=x_{n+1}\), значит, последовательность \(\left \{ x_{n} \right \}\) убывающая. 3) Если \(x\in Z, то x_{n}=0\)

Ответ: NaN

Решение №3494: \( \lim_{n \to \propto} \frac{n^{2}+1}{n^{2}}=1\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \exists N\varepsilon \in N:\forall n\geqslant N\varepsilon \left | \frac{n^{2}+1}{n^{2}} -1\right |< \varepsilon\) . Рассмотрим неравенство \(\left | \frac{n^{2}+1}{n^{2}} -1\right |< \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n^{2}}< \varepsilon \Leftrightarrow n> \frac{1}{\sqrt{\varepsilon }}\), т.е. в качестве \(N_{\varepsilon }\) можно взять \(N_{\varepsilon }=\left [ \frac{1}{\sqrt{\varepsilon }} \right ]+1 \)

Ответ: NaN

Решение №3498: Докажем, что \(\lim_{n \to \propto} \frac{1}{2n^{2}+5n}=0\). Рассмотрим неравенство \(\left | \frac{1}{2n^{2}+5n} \right |< \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{2n^{2}+5n}< \varepsilon \Leftrightarrow 2n^{2}+5n> \frac{1}{\varepsilon}\). Так как \(2n^{2}+5n> 2n^{2}\), то решим неравенство \(2n^{2}> \frac{1}{\varepsilon }\), откуда \(n> \sqrt{\frac{1}{2\varepsilon }}\) и в качестве \(N_{\varepsilon } \) можно взять \(N_{\varepsilon }=\left [ \sqrt{\frac{1}{2\varepsilon }} \right ]+1. \)

Ответ: NaN