№3444

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Из городов \(A\) и \(B\) одновременно навстречу друг другу выезжает велосипедист и выходит пешеход. Скорость велосипедиста 25 км/ч, скорость пешехода \(x\) км/ч. После встречи они поворачивают назад и возвращаются каждый в свой город, причем велосипедист при этом движется с прежней скоростью, а пешеход увеличивает свою скорость на 1 км/ч. Найти время нахождения в пути пешехода, если расстояние между городами \(s\) км. При каком значении \(х\) это время будет наибольшим?

Ответ

\(t=\frac{s(2x+1)}{(25+x)(x+1)}\); \(x_{max}=3\)

Решение № 3444:

Для решения задачи найдем время нахождения в пути пешехода и определим значение \( x \), при котором это время будет наибольшим. <ol> <li> Обозначим расстояние между городами \( A \) и \( B \) как \( s \) км. </li> <li> Скорость велосипедиста \( v_v = 25 \) км/ч, скорость пешехода \( v_p = x \) км/ч. </li> <li> Время до встречи: </li> \[ t_1 = \frac{s}{v_v + v_p} = \frac{s}{25 + x} \] <li> После встречи велосипедист возвращается с прежней скоростью, а пешеход увеличивает свою скорость на 1 км/ч, то есть его скорость становится \( v_p' = x + 1 \) км/ч. </li> <li> Время возвращения пешехода: </li> \[ t_2 = \frac{s}{v_p'} = \frac{s}{x + 1} \] <li> Общее время нахождения в пути пешехода: </li> \[ T = t_1 + t_2 = \frac{s}{25 + x} + \frac{s}{x + 1} \] <li> Перепишем выражение для общего времени: </li> \[ T(x) = s \left( \frac{1}{25 + x} + \frac{1}{x + 1} \right) \] <li> Найдем производную функции \( T(x) \) по \( x \): </li> \[ T'(x) = s \left( -\frac{1}{(25 + x)^2} - \frac{1}{(x + 1)^2} \right) \] <li> Найдем критические точки, решив уравнение \( T'(x) = 0 \): </li> \[ -\frac{1}{(25 + x)^2} - \frac{1}{(x + 1)^2} = 0 \] <li> Решим уравнение: </li> \[ \frac{1}{(25 + x)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2} \] <li> Это эквивалентно: </li> \[ (25 + x)^2 = (x + 1)^2 \] <li> Раскроем скобки: </li> \[ 625 + 50x + x^2 = 1 + 2x + x^2 \] <li> Упростим уравнение: </li> \[ 625 + 50x = 1 + 2x \] <li> Решим уравнение: </li> \[ 624 = -48x \] \[ x = -\frac{624}{48} = -13 \] <li> Так как \( x \) должно быть положительным, критическая точка \( x = -13 \) не имеет смысла. </li> <li> Проверим значения функции \( T(x) \) на границах интервала \( [0, \infty) \): </li> \[ \lim_{x \to 0} T(x) = s \left( \frac{1}{25} + \frac{1}{1} \right) = s \left( \frac{1}{25} + 1 \right) = s \cdot \frac{26}{25} \] \[ \lim_{x \to \infty} T(x) = s \left( 0 + 0 \right) = 0 \] <li> Определим максимальное значение \( T(x) \): </li> \[ T_{\text{max}} = s \cdot \frac{26}{25} \] <li> Таким образом, время нахождения в пути пешехода будет наибольшим при \( x = 0 \). </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее время нахождения в пути пешехода: \( s \cdot \frac{26}{25} \) <br> Значение \( x \), при котором это время будет наибольшим: \( x = 0 \)