№3077

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Определить, при каком значении \(a (a> 0)\) кривая \(y=alnx\) имеет одну общую точку с графиком \(y=2x^{2}\)

Ответ

4e

Решение № 3077:

Для определения значения \( a \) (\( a > 0 \)), при котором кривая \( y = a \ln x \) имеет одну общую точку с графиком \( y = 2x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Поставить уравнение, которое выражает условие касания двух графиков: </li> \[ a \ln x = 2x^2 \] <li> Найти производные обеих функций: </li> \[ \frac{d}{dx}(a \ln x) = \frac{a}{x} \] \[ \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x \] <li> Приравнять производные в точке касания \( x_0 \): </li> \[ \frac{a}{x_0} = 4x_0 \] <li> Решить это уравнение относительно \( a \): </li> \[ a = 4x_0^2 \] <li> Подставить выражение для \( a \) в исходное уравнение: </li> \[ 4x_0^2 \ln x_0 = 2x_0^2 \] <li> Упростить уравнение: </li> \[ 2 \ln x_0 = 1 \] \[ \ln x_0 = \frac{1}{2} \] <li> Решить уравнение относительно \( x_0 \): </li> \[ x_0 = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \] <li> Подставить \( x_0 \) обратно в выражение для \( a \): </li> \[ a = 4 (\sqrt{e})^2 = 4e \] </ol> Ответ: <br> Значение \( a \) равно \( 4e \).