№3452

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти точку графика функции \(y=x^{2}+\frac{1}{2}\), ближайшую к точке \(A\left ( \frac{1}{4};1 \right )\)

Ответ

<0,5;0,75>

Решение № 3452:

Для нахождения точки графика функции \( y = x^2 + \frac{1}{2} \), ближайшей к точке \( A \left( \frac{1}{4}; 1 \right) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти расстояние между точкой \( A \left( \frac{1}{4}; 1 \right) \) и произвольной точкой на графике функции \( y = x^2 + \frac{1}{2} \). </li> Пусть \( P(x, y) \) — произвольная точка на графике функции. Тогда расстояние \( d \) между точками \( A \) и \( P \) определяется формулой: \[ d = \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( y - 1 \right)^2} \] <li> Подставить \( y = x^2 + \frac{1}{2} \) в формулу расстояния: </li> \[ d = \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 + \frac{1}{2} - 1 \right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2} \] <li> Найти производную функции \( d \) по \( x \): </li> \[ d'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2} \right) \] Используем правило цепочки: \[ d'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2}} \cdot \left( 2 \left( x - \frac{1}{4} \right) + 2 \left( x^2 - \frac{1}{2} \right) \cdot 2x \right) \] \[ d'(x) = \frac{2 \left( x - \frac{1}{4} \right) + 4x \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)}{2 \sqrt{\left( x - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( x^2 - \frac{1}{2} \right)^2}} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( d'(x) = 0 \): </li> \[ 2 \left( x - \frac{1}{4} \right) + 4x \left( x^2 - \frac{1}{2} \right) = 0 \] \[ 2x - \frac{1}{2} + 4x^3 - 2x = 0 \] \[ 4x^3 - \frac{1}{2} = 0 \] \[ 4x^3 = \frac{1}{2} \] \[ x^3 = \frac{1}{8} \] \[ x = \frac{1}{2} \] <li> Вычислить значение функции \( y = x^2 + \frac{1}{2} \) в критической точке \( x = \frac{1}{2} \): </li> \[ y = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \] <li> Проверить, является ли точка \( \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right) \) ближайшей к точке \( A \left( \frac{1}{4}; 1 \right) \): </li> \[ d = \sqrt{\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)^2 + \left( \frac{3}{4} - 1 \right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left( \frac{1}{4} \right)^2 + \left( -\frac{1}{4} \right)^2} \] \[ d = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16}} \] \[ d = \sqrt{\frac{2}{16}} \] \[ d = \sqrt{\frac{1}{8}} \] \[ d = \frac{\sqrt{2}}{4} \] <li> Сравнить расстояние с другими возможными точками на графике функции и убедиться, что данная точка является ближайшей. </li> </ol> Ответ: <br> Точка графика функции \( y = x^2 + \frac{1}{2} \), ближайшая к точке \( A \left( \frac{1}{4}; 1 \right) \), имеет координаты \( \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{4} \right) \).