№3453

Экзамены с этой задачей: Задачи на оптимальный выбор

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, текстовые задачи на оптимизацию,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наименьшее расстояние от точки\(M (2;0)\) до точек графика функции \(y=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}}\). Ответ умножить на \(\sqrt{3}\)

Ответ

1

Решение № 3453:

Для нахождения наименьшего расстояния от точки \( M(2;0) \) до точек графика функции \( y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}} \) и умножения результата на \( \sqrt{3} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Выразить расстояние от точки \( M(2;0) \) до произвольной точки на графике функции \( y = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}} \). </li> Расстояние между точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) на плоскости определяется формулой: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] В нашем случае \( (x_1, y_1) = (2, 0) \) и \( (x_2, y_2) = (x, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}}) \). Тогда: \[ d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{27(x-2)}}\right)^2} \] <li> Упростить выражение для расстояния. </li> \[ d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + \frac{2}{27(x-2)}} \] <li> Найти производную функции расстояния \( d(x) \). </li> \[ d(x) = \sqrt{(x - 2)^2 + \frac{2}{27(x-2)}} \] Обозначим \( u = (x - 2)^2 \) и \( v = \frac{2}{27(x-2)} \). Тогда: \[ d(x) = \sqrt{u + v} \] Производная \( d(x) \): \[ d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u + v}} \left( \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} \right) \] Найдем \( \frac{du}{dx} \) и \( \frac{dv}{dx} \): \[ \frac{du}{dx} = 2(x - 2) \] \[ \frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{27(x-2)} \right) = \frac{2}{27} \cdot \frac{-1}{(x-2)^2} = -\frac{2}{27(x-2)^2} \] Тогда: \[ d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{(x-2)^2 + \frac{2}{27(x-2)}}} \left( 2(x-2) - \frac{2}{27(x-2)^2} \right) \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( d'(x) = 0 \). </li> \[ 2(x-2) - \frac{2}{27(x-2)^2} = 0 \] Упростим уравнение: \[ 2(x-2) = \frac{2}{27(x-2)^2} \] Умножим обе части на \( 27(x-2)^2 \): \[ 54(x-2)^3 = 2 \] Решим уравнение: \[ (x-2)^3 = \frac{1}{27} \] Тогда: \[ x-2 = \frac{1}{3} \] Следовательно: \[ x = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \] <li> Вычислить значение функции \( d(x) \) в критической точке \( x = \frac{7}{3} \). </li> \[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\left(\frac{7}{3} - 2\right)^2 + \frac{2}{27\left(\frac{7}{3} - 2\right)}} \] Упростим: \[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{27 \cdot \frac{1}{3}}} \] \[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{2}{9}} \] \[ d\left(\frac{7}{3}\right) = \sqrt{\frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] <li> Умножить результат на \( \sqrt{3} \). </li> \[ d\left(\frac{7}{3}\right) \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = 1 \] </ol> Ответ: <br> Наименьшее расстояние: \( 1 \)