Решение №3068: Для определения значения \( a \), при котором прямая \( y = ax \) является касательной к графику функции \( y = e^{x-1} - 3x \), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Найти производную функции \( y = e^{x-1} - 3x \):** \[ y' = \frac{d}{dx}(e^{x-1} - 3x) = e^{x-1} - 3 \] 2. **Предположить, что касательная к графику функции \( y = e^{x-1} - 3x \) в точке \( (x_0, y_0) \) имеет угол наклона \( a \):** \[ a = e^{x_0-1} - 3 \] 3. **Найти координаты точки касания \( (x_0, y_0) \):** \[ y_0 = e^{x_0-1} - 3x_0 \] 4. **Использовать уравнение прямой \( y = ax \), проходящей через точку касания \( (x_0, y_0) \):** \[ y_0 = a x_0 \] Подставим \( y_0 \) и \( a \) из предыдущих шагов: \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = (e^{x_0-1} - 3)x_0 \] 5. **Решить уравнение для нахождения \( x_0 \):** \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = e^{x_0-1}x_0 - 3x_0 \] Упростим уравнение: \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = e^{x_0-1}x_0 - 3x_0 \] \[ e^{x_0-1} = e^{x_0-1}x_0 \] \[ e^{x_0-1}(1 - x_0) = 0 \] Поскольку \( e^{x_0-1} \neq 0 \), имеем: \[ 1 - x_0 = 0 \implies x_0 = 1 \] 6. **Найти значение \( a \) при \( x_0 = 1 \):** \[ a = e^{1-1} - 3 = e^0 - 3 = 1 - 3 = -2 \] Ответ:
Значение \( a \): \( -2 \)

Ответ: -2

Решение №3071: Для определения значения \( a \), при котором прямая \( y = 4x + a \) является касательной к графику функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \right) \]
Используем правило дифференцирования для экспоненциальных функций: \[ \frac{d}{dx} (4^x) = 4^x \ln 4 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx} (2^{x+1}) = 2^{x+1} \ln 2 \]
Подставляем эти производные: \[ y' = \frac{4^x \ln 4 - 2^{x+1} \ln 2}{\ln 2} \]
Упрощаем выражение: \[ y' = \frac{4^x \cdot 2 \ln 2 - 2^{x+1} \ln 2}{\ln 2} = 4^x \cdot 2 - 2^{x+1} \]
\[ y' = 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^x = 2 \cdot (4^x - 2^x) \]
2. Условие касания: производная функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \) в точке касания должна быть равна угловому коэффициенту прямой \( y = 4x + a \):
\[ 2 \cdot (4^{x_0} - 2^{x_0}) = 4 \]
Решим это уравнение относительно \( x_0 \): \[ 2 \cdot (4^{x_0} - 2^{x_0}) = 4 \implies 4^{x_0} - 2^{x_0} = 2 \]
\[ (2^{x_0})^2 - 2^{x_0} - 2 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение: \[ t = 2^{x_0} \]
\[ t^2 - t - 2 = 0 \]
\[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Получаем два корня: \[ t_1 = 2 \quad \text{и} \quad t_2 = -1 \]
Так как \( t = 2^{x_0} \) и \( 2^{x_0} \) всегда положительно, то: \[ 2^{x_0} = 2 \implies x_0 = 1 \]
3. Найти значение функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \) в точке \( x_0 = 1 \):
\[ y(1) = \frac{4^1 - 2^{1+1}}{\ln 2} = \frac{4 - 4}{\ln 2} = 0 \]
4. Подставить найденные значения \( x_0 \) и \( y(x_0) \) в уравнение прямой \( y = 4x + a \):
\[ 0 = 4 \cdot 1 + a \implies 0 = 4 + a \implies a = -4 \]

Ответ: \(a=4\left ( \frac{2}{ln2}-1 \right )\)

Решение №3077: Для определения значения \( a \) (\( a > 0 \)), при котором кривая \( y = a \ln x \) имеет одну общую точку с графиком \( y = 2x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Поставить уравнение, которое выражает условие касания двух графиков:
\[ a \ln x = 2x^2 \]
2. Найти производные обеих функций:
\[ \frac{d}{dx}(a \ln x) = \frac{a}{x} \] \[ \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x \]
3. Приравнять производные в точке касания \( x_0 \):
\[ \frac{a}{x_0} = 4x_0 \]
4. Решить это уравнение относительно \( a \):
\[ a = 4x_0^2 \]
5. Подставить выражение для \( a \) в исходное уравнение:
\[ 4x_0^2 \ln x_0 = 2x_0^2 \]
6. Упростить уравнение:
\[ 2 \ln x_0 = 1 \] \[ \ln x_0 = \frac{1}{2} \]
7. Решить уравнение относительно \( x_0 \):
\[ x_0 = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \]
8. Подставить \( x_0 \) обратно в выражение для \( a \):
\[ a = 4 (\sqrt{e})^2 = 4e \]

Ответ: 4e

Решение №6946: Для нахождения уравнения параболы \( y = x^2 + bx + c \), касающейся прямой \( y = x + 1 \) в точке \( M(1; 2) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = x^2 + bx + c \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + bx + c) = 2x + b \]
2. Поскольку парабола касается прямой \( y = x + 1 \) в точке \( M(1; 2) \), производная параболы в этой точке должна быть равна угловому коэффициенту прямой. Угловой коэффициент прямой \( y = x + 1 \) равен 1.
\[ y'(1) = 2 \cdot 1 + b = 1 \]
3. Решить уравнение относительно \( b \):
\[ 2 + b = 1 \implies b = -1 \]
4. Подставить \( b = -1 \) в уравнение параболы:
\[ y = x^2 - x + c \]
5. Подставить координаты точки \( M(1; 2) \) в уравнение параболы для нахождения \( c \):
\[ 2 = 1^2 - 1 + c \implies 2 = 1 - 1 + c \implies c = 2 \]
6. Итоговое уравнение параболы:
\[ y = x^2 - x + 2 \]

Ответ: NaN

Решение №6952: Для определения значения \( c \), при котором прямая \( y = 3x - 2 \) является касательной к графику функции \( y = x^2 + cx + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = x^2 + cx + 2 \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + cx + 2) = 2x + c \]
2. Прямая \( y = 3x - 2 \) будет касательной к графику функции \( y = x^2 + cx + 2 \) в точке \( (x_0, y_0) \), если в этой точке производная функции равна угловому коэффициенту прямой:
\[ 2x_0 + c = 3 \]
3. Точка касания \( (x_0, y_0) \) также должна удовлетворять уравнению прямой:
\[ y_0 = 3x_0 - 2 \]
4. И уравнению графика функции:
\[ y_0 = x_0^2 + cx_0 + 2 \]
5. Приравняем выражения для \( y_0 \):
\[ x_0^2 + cx_0 + 2 = 3x_0 - 2 \]
6. Получим систему уравнений:
\[ \begin{cases} 2x_0 + c = 3 \\ x_0^2 + cx_0 + 2 = 3x_0 - 2 \end{cases} \]
7. Решим первое уравнение относительно \( c \):
\[ c = 3 - 2x_0 \]
8. Подставим это выражение для \( c \) во второе уравнение:
\[ x_0^2 + (3 - 2x_0)x_0 + 2 = 3x_0 - 2 \]
9. Упростим уравнение:
\[ x_0^2 + 3x_0 - 2x_0^2 + 2 = 3x_0 - 2 \] \[ -x_0^2 + 3x_0 + 2 = 3x_0 - 2 \] \[ -x_0^2 + 4 = 0 \] \[ x_0^2 = 4 \]
10. Найдем \( x_0 \):
\[ x_0 = \pm 2 \]
11. Подставим значения \( x_0 \) обратно в выражение для \( c \):
\[ c = 3 - 2x_0 \]
12. Для \( x_0 = 2 \):
\[ c = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1 \]
13. Для \( x_0 = -2 \):
\[ c = 3 - 2 \cdot (-2) = 3 + 4 = 7 \]
14. Таким образом, значения \( c \), при которых прямая \( y = 3x - 2 \) является касательной к графику функции \( y = x^2 + cx + 2 \), равны \( -1 \) и \( 7 \).

Ответ: c\in {-1;7}

Решение №13240: Для нахождения координат точки касания прямой \( y = -3x \ln 2 - 5 \) с графиком функции \( f(x) = 4^x - 6 \cdot 2^x + x \ln 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4^x - 6 \cdot 2^x + x \ln 2) \] Используем правило дифференцирования для экспоненциальных функций: \[ f'(x) = 4^x \ln 4 - 6 \cdot 2^x \ln 2 + \ln 2 \] Зная, что \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \) и \( \ln 4 = \ln (2^2) = 2 \ln 2 \), получаем: \[ f'(x) = 2^{2x} \cdot 2 \ln 2 - 6 \cdot 2^x \ln 2 + \ln 2 \] \[ f'(x) = 2 \cdot 2^{2x} \ln 2 - 6 \cdot 2^x \ln 2 + \ln 2 \]
2. Уравнение касательной к графику функции \( f(x) \) в точке \( (x_0, f(x_0)) \) имеет вид:
\[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \] Для прямой \( y = -3x \ln 2 - 5 \) уравнение касательной должно совпадать. Следовательно, коэффициент наклона касательной \( f'(x_0) \) должен быть равен наклону прямой: \[ f'(x_0) = -3 \ln 2 \]
3. Решить уравнение \( f'(x_0) = -3 \ln 2 \):
\[ 2 \cdot 2^{2x_0} \ln 2 - 6 \cdot 2^{x_0} \ln 2 + \ln 2 = -3 \ln 2 \] Разделим обе части уравнения на \( \ln 2 \): \[ 2 \cdot 2^{2x_0} - 6 \cdot 2^{x_0} + 1 = -3 \] \[ 2 \cdot 2^{2x_0} - 6 \cdot 2^{x_0} + 4 = 0 \]
4. Подставим \( y = 2^{x_0} \), тогда уравнение принимает вид:
\[ 2y^2 - 6y + 4 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{4} = \frac{6 \pm 2}{4} \] \[ y = 2 \quad \text{или} \quad y = 1 \] Следовательно: \[ 2^{x_0} = 2 \quad \text{или} \quad 2^{x_0} = 1 \] \[ x_0 = 1 \quad \text{или} \quad x_0 = 0 \]
5. Найти координаты точек касания, подставив найденные значения \( x_0 \) в функцию \( f(x) \):
\[ f(1) = 4^1 - 6 \cdot 2^1 + 1 \ln 2 = 4 - 12 + \ln 2 = -8 + \ln 2 \] \[ f(0) = 4^0 - 6 \cdot 2^0 + 0 \ln 2 = 1 - 6 + 0 = -5 \]
6. Проверить, какая из точек удовлетворяет уравнению прямой \( y = -3x \ln 2 - 5 \):
\[ y = -3 \cdot 1 \ln 2 - 5 = -3 \ln 2 - 5 \] \[ y = -3 \cdot 0 \ln 2 - 5 = -5 \] Следовательно, точка \( (0, -5) \) удовлетворяет уравнению прямой.

Ответ: <0;-5>

Решение №13241: Для определения значения \(a\), при котором касательная к параболе \(y = ax^2 + x - 3\) в точке \(x_0 = 1\) параллельна прямой \(y = 2x + \frac{1}{3}\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \(y = ax^2 + x - 3\):
\[ y' = \frac{d}{dx}(ax^2 + x - 3) = 2ax + 1 \]
2. Найти угловой коэффициент касательной в точке \(x_0 = 1\):
\[ y'(1) = 2a \cdot 1 + 1 = 2a + 1 \]
3. Угловой коэффициент прямой \(y = 2x + \frac{1}{3}\) равен 2. Для того чтобы касательная была параллельна этой прямой, её угловой коэффициент должен быть равен 2:
\[ 2a + 1 = 2 \]
4. Решить уравнение относительно \(a\):
\[ 2a + 1 = 2 \implies \] \[ 2a = 1 \implies \] \[ a = \frac{1}{2} \]

Ответ: 0.5

Решение №13243: Для определения значения \(a\), при котором прямая \(y = ax + 2\) является касательной к графику \(y = \ln x\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = \ln x \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \]
2. Пусть точка касания имеет координаты \((x_0, \ln x_0)\). Тогда в этой точке производная функции \( y = \ln x \) должна быть равна угловому коэффициенту касательной, то есть \(a\):
\[ \frac{1}{x_0} = a \]
3. Из уравнения касательной \( y = ax + 2 \) и уравнения графика \( y = \ln x \) в точке касания \((x_0, \ln x_0)\) должно выполняться:
\[ \ln x_0 = a x_0 + 2 \]
4. Подставить \( a = \frac{1}{x_0} \) в уравнение касательной:
\[ \ln x_0 = \frac{1}{x_0} \cdot x_0 + 2 \]
5. Упростить уравнение:
\[ \ln x_0 = 1 + 2 \] \[ \ln x_0 = 3 \]
6. Решить уравнение относительно \( x_0 \):
\[ x_0 = e^3 \]
7. Теперь найти значение \(a\):
\[ a = \frac{1}{x_0} = \frac{1}{e^3} = e^{-3} \]

Ответ: e^3

Решение №13245: Для нахождения уравнения параболы \( y = ax^2 + bx + 2 \), касающейся прямой \( y = 7x + 3 \) в точке \( M(1; 6) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать условие касания параболы и прямой в точке \( M(1; 6) \). Это означает, что в этой точке значения функций совпадают, а также их производные равны.
2. Подставить координаты точки \( M(1; 6) \) в уравнение параболы: \[ 6 = a(1)^2 + b(1) + 2 \]
3. Упростить уравнение: \[ 6 = a + b + 2 \]
4. Решить уравнение относительно \( a \) и \( b \): \[ a + b = 4 \]
5. Найти производную функции параболы: \[ \frac{dy}{dx} = 2ax + b \]
6. Найти производную функции прямой: \[ \frac{dy}{dx} = 7 \]
7. Подставить координаты точки \( M(1; 6) \) в производные функций: \[ 2a(1) + b = 7 \]
8. Упростить уравнение: \[ 2a + b = 7 \]
9. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} a + b = 4 \\ 2a + b = 7 \end{cases} \]
10. Вычесть первое уравнение из второго: \[ (2a + b) - (a + b) = 7 - 4 \]
11. Упростить уравнение: \[ a = 3 \]
12. Подставить значение \( a \) в первое уравнение: \[ 3 + b = 4 \]
13. Решить уравнение относительно \( b \): \[ b = 1 \]
14. Подставить найденные значения \( a \) и \( b \) в уравнение параболы: \[ y = 3x^2 + x + 2 \]

Ответ: NaN

Решение №13246: Для определения значения \( b \), при котором прямая \( y = 3x + b \) является касательной к графику \( y = \sqrt{x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = \sqrt{x} \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
2. Найти точку касания, где производная \( y = \sqrt{x} \) равна угловому коэффициенту прямой \( y = 3x + b \):
\[ \frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 3 \]
3. Решить уравнение относительно \( x_0 \):
\[ \frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 3 \implies 2\sqrt{x_0} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{x_0} = \frac{1}{6} \implies x_0 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36} \]
4. Найти значение функции \( y = \sqrt{x} \) в точке \( x_0 \):
\[ y_0 = \sqrt{x_0} = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6} \]
5. Подставить координаты точки касания \( (x_0, y_0) \) в уравнение прямой \( y = 3x + b \):
\[ \frac{1}{6} = 3 \cdot \frac{1}{36} + b \implies \frac{1}{6} = \frac{1}{12} + b \implies b = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12} \]

Ответ: \frac{1}{12}

Решение №13247: Для нахождения длины перпендикуляра, опущенного из точки \( A(-2, 1) \) на касательную к графику \( y = 3x^3 - 6x + 10 \) в точке \( x_0 = 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = 3x^3 - 6x + 10 \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(3x^3 - 6x + 10) = 9x^2 - 6 \]
2. Найти значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
\[ y'(1) = 9(1)^2 - 6 = 9 - 6 = 3 \]
3. Найти значение функции в точке \( x_0 = 1 \):
\[ y(1) = 3(1)^3 - 6(1) + 10 = 3 - 6 + 10 = 7 \]
4. Найти уравнение касательной в точке \( x_0 = 1 \). Уравнение касательной в точке \( (x_0, y(x_0)) \) имеет вид:
\[ y - y(x_0) = y'(x_0)(x - x_0) \] Подставим значения: \[ y - 7 = 3(x - 1) \] \[ y = 3x - 3 + 7 \] \[ y = 3x + 4 \]
5. Найти уравнение перпендикуляра к касательной, проходящего через точку \( A(-2, 1) \). Уклон перпендикуляра к касательной с уклоном \( k \) равен \( -\frac{1}{k} \). В нашем случае \( k = 3 \), поэтому уклон перпендикуляра будет \( -\frac{1}{3} \).
\[ y - 1 = -\frac{1}{3}(x + 2) \] \[ y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + 1 \] \[ y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \]
6. Найти точку пересечения касательной и перпендикуляра:
Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} y = 3x + 4 \\ y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \end{cases} \] Приравняем выражения для \( y \): \[ 3x + 4 = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \] Умножим все члены на 3, чтобы избавиться от дробей: \[ 9x + 12 = -x + 1 \] \[ 9x + x = 1 - 12 \] \[ 10x = -11 \] \[ x = -\frac{11}{10} \] Подставим \( x \) в уравнение касательной: \[ y = 3\left(-\frac{11}{10}\right) + 4 = -\frac{33}{10} + 4 = -\frac{33}{10} + \frac{40}{10} = \frac{7}{10} \] Точка пересечения: \( \left(-\frac{11}{10}, \frac{7}{10}\right) \).
7. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки \( A(-2, 1) \) на касательную:
Используем формулу расстояния между двумя точками: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставим координаты точек \( A(-2, 1) \) и \( \left(-\frac{11}{10}, \frac{7}{10}\right) \): \[ d = \sqrt{\left(-\frac{11}{10} - (-2)\right)^2 + \left(\frac{7}{10} - 1\right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left(-\frac{11}{10} + \frac{20}{10}\right)^2 + \left(\frac{7}{10} - \frac{10}{10}\right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left(\frac{9}{10}\right)^2 + \left(-\frac{3}{10}\right)^2} \] \[ d = \sqrt{\frac{81}{100} + \frac{9}{100}} \] \[ d = \sqrt{\frac{90}{100}} \] \[ d = \sqrt{\frac{9}{10}} \] \[ d = \frac{3}{\sqrt{10}} \] Рационализуем знаменатель: \[ d = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \]

Ответ: \frac{3\sqrt{10}}{10}

Решение №13249: Для определения значений \(a\), при которых прямая \(y = 10x + 1\) является касательной к графику функции \(y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 5x - 9a + 2\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \(y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 5x - 9a + 2\):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - x^2 - 5x - 9a + 2\right) = x^2 - 2x - 5 \]
2. Записать уравнение касательной в точке \(x_0\):
\[ y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0) \]
3. Подставить значения \(y(x_0)\) и \(y'(x_0)\):
\[ y(x_0) = \frac{x_0^3}{3} - x_0^2 - 5x_0 - 9a + 2 \] \[ y'(x_0) = x_0^2 - 2x_0 - 5 \]
4. Уравнение касательной в точке \(x_0\) будет:
\[ y = \left(\frac{x_0^3}{3} - x_0^2 - 5x_0 - 9a + 2\right) + \left(x_0^2 - 2x_0 - 5\right)(x - x_0) \]
5. Так как прямая \(y = 10x + 1\) является касательной, то её угловой коэффициент равен производной функции в точке касания:
\[ x_0^2 - 2x_0 - 5 = 10 \]
6. Решить уравнение относительно \(x_0\):
\[ x_0^2 - 2x_0 - 5 = 10 \implies x_0^2 - 2x_0 - 15 = 0 \]
7. Использовать формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ x_0 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -15\): \[ x_0 = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2} \]
8. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{2 + 8}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{2 - 8}{2} = -3 \]
9. Подставить найденные значения \(x_0\) в уравнение функции и уравнение касательной:
10. Для \(x_0 = 5\):
\[ y(5) = \frac{5^3}{3} - 5^2 - 5 \cdot 5 - 9a + 2 = \frac{125}{3} - 25 - 25 - 9a + 2 = \frac{125 - 75 - 75 + 6}{3} - 9a = \frac{-25}{3} - 9a \] \[ y'(5) = 5^2 - 2 \cdot 5 - 5 = 25 - 10 - 5 = 10 \] \[ y = \left(\frac{-25}{3} - 9a\right) + 10(x - 5) = 10x + 1 \] \[ \frac{-25}{3} - 9a + 10(x - 5) = 10x + 1 \] \[ \frac{-25}{3} - 9a - 50 = 1 \] \[ -9a = 1 + \frac{25}{3} + 50 = \frac{3 + 25 + 150}{3} = \frac{178}{3} \] \[ a = -\frac{178}{27} \]
11. Для \(x_0 = -3\):
\[ y(-3) = \frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 - 5(-3) - 9a + 2 = \frac{-27}{3} - 9 + 15 - 9a + 2 = -9 - 9 + 15 - 9a + 2 = -1 - 9a \] \[ y'(-3) = (-3)^2 - 2(-3) - 5 = 9 + 6 - 5 = 10 \] \[ y = (-1 - 9a) + 10(x + 3) = 10x + 1 \] \[ -1 - 9a + 10(x + 3) = 10x + 1 \] \[ -1 - 9a + 30 = 1 \] \[ -9a = 1 - 29 = -28 \] \[ a = \frac{28}{9} \]
12. Ответ:
\[ a = -\frac{178}{27} \quad \text{или} \quad a = \frac{28}{9} \]

Ответ: a\in \left \{ -\frac{172}{27};\frac{28}{9} \right \}

Решение №13251: Для нахождения точки на графике уравнения \(\log^{3}(y-1) + \log_{3}(3-x) = 1\), расстояние от которой до прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\) будет наименьшим, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Переписать уравнение \(\log^{3}(y-1) + \log_{3}(3-x) = 1\) в более удобной форме.
\[ \log^{3}(y-1) + \log_{3}(3-x) = 1 \]
2. Рассмотрим замену переменных: пусть \(u = y - 1\) и \(v = 3 - x\). Тогда уравнение принимает вид:
\[ \log^{3}(u) + \log_{3}(v) = 1 \]
3. Найдем точки пересечения графика уравнения с прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\). Перепишем уравнение прямой в виде \(u = v - 3\):
\[ y = \frac{3}{4}x - 3 \implies u = \frac{3}{4}x - 4 \]
4. Подставим \(u = \frac{3}{4}x - 4\) в уравнение \(\log^{3}(u) + \log_{3}(v) = 1\):
\[ \log^{3}\left(\frac{3}{4}x - 4\right) + \log_{3}(3 - x) = 1 \]
5. Решим это уравнение численными методами или графически, так как аналитическое решение может быть сложным.
6. Для упрощения, найдем точки пересечения графика уравнения с прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\) графически или с помощью численных методов.
7. После нахождения точек пересечения, вычислим расстояние от этих точек до прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\) с использованием формулы расстояния от точки до прямой:
\[ d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] где \(A = -\frac{3}{4}\), \(B = 1\), и \(C = -3\).
8. Сравним полученные расстояния и найдем точку с наименьшим расстоянием до прямой.

Ответ: M\left ( 1;\frac{5}{2} \right )

Решение №13252: Для определения значения \( p \), при котором прямая \( y = x + 1 \) является касательной к графику \( y = x^2 + px + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = x^2 + px + 2 \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + px + 2) = 2x + p \]
2. Записать уравнение касательной линии в точке касания \( x_0 \):
\[ y = x + 1 \]
3. Убедиться, что в точке касания \( x_0 \) производная функции \( y \) равна угловому коэффициенту касательной линии:
\[ 2x_0 + p = 1 \]
4. Записать уравнение касательной линии, проходящей через точку касания \( (x_0, y_0) \):
\[ y_0 = x_0^2 + px_0 + 2 \]
5. Записать уравнение касательной линии, проходящей через точку \( (0, 1) \):
\[ y = x + 1 \]
6. Убедиться, что точка касания \( (x_0, y_0) \) удовлетворяет уравнению касательной линии:
\[ y_0 = x_0 + 1 \]
7. Подставить \( y_0 \) из уравнения касательной линии в уравнение параболы:
\[ x_0^2 + px_0 + 2 = x_0 + 1 \]
8. Решить систему уравнений:
\[ \begin{cases} 2x_0 + p = 1 \\ x_0^2 + px_0 + 2 = x_0 + 1 \end{cases} \]
9. Из первого уравнения выразить \( p \):
\[ p = 1 - 2x_0 \]
10. Подставить выражение для \( p \) во второе уравнение и решить его:
\[ x_0^2 + (1 - 2x_0)x_0 + 2 = x_0 + 1 \] \[ x_0^2 + x_0 - 2x_0^2 + 2 = x_0 + 1 \] \[ -x_0^2 + x_0 + 2 = x_0 + 1 \] \[ -x_0^2 + 2 = 1 \] \[ -x_0^2 = -1 \] \[ x_0^2 = 1 \] \[ x_0 = \pm 1 \]
11. Подставить значения \( x_0 \) обратно в выражение для \( p \):
\[ \text{Для } x_0 = 1: \quad p = 1 - 2 \cdot 1 = -1 \] \[ \text{Для } x_0 = -1: \quad p = 1 - 2 \cdot (-1) = 3 \]
12. Проверить, какое из значений \( p \) удовлетворяет условию касательной линии:
\[ \text{Для } p = -1: \quad y = x^2 - x + 2 \quad \text{и} \quad y = x + 1 \quad \text{не совпадают} \] \[ \text{Для } p = 3: \quad y = x^2 + 3x + 2 \quad \text{и} \quad y = x + 1 \quad \text{совпадают} \]

Ответ: p\in {-1;3}

Решение №43155: Для определения знака углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции \( y = f(x) \) в точках с абсциссами \( a, b, c \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} f(x) \]
2. Определить знак производной \( f'(x) \) в точках \( a, b, c \):
\[ \text{Из рисунка видно, что:} \]
• В точке \( a \) функция \( f(x) \) убывает, следовательно, \( f'(a) < 0 \).
• В точке \( b \) функция \( f(x) \) возрастает, следовательно, \( f'(b) > 0 \).
• В точке \( c \) функция \( f(x) \) убывает, следовательно, \( f'(c) < 0 \).
3. Интерпретировать знак углового коэффициента касательной:
\[ \text{Угловой коэффициент касательной в точке \( x \) равен \( f'(x) \).} \]
• В точке \( a \): \( f'(a) < 0 \), значит, угловой коэффициент касательной отрицательный.
• В точке \( b \): \( f'(b) > 0 \), значит, угловой коэффициент касательной положительный.
• В точке \( c \): \( f'(c) < 0 \), значит, угловой коэффициент касательной отрицательный.

Ответ: NaN

Решение №43156: Для определения знака углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции \( y = f(x) \) в точках с абсциссами \( a, b, c \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} f(x) \]
2. Оценить знак производной \( f'(x) \) в точках \( a, b, c \):
\[ f'(a), f'(b), f'(c) \]
3. Использовать график функции для визуальной оценки знака производной:



4. Анализировать график:
• В точке \( a \):
• График функции убывает, следовательно, производная \( f'(a) \) отрицательна.
• В точке \( b \):
• График функции убывает, следовательно, производная \( f'(b) \) отрицательна.
• В точке \( c \):
• График функции возрастает, следовательно, производная \( f'(c) \) положительна.
5. Заключение:
• В точке \( a \) угловой коэффициент касательной отрицательный.
• В точке \( b \) угловой коэффициент касательной отрицательный.
• В точке \( c \) угловой коэффициент касательной положительный.

Ответ: NaN

Решение №43157: Для решения задачи о нахождении точек, в которых производная функции равна нулю, и точек, в которых производная не существует, на основе графика функции, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим график функции и определим участки, где функция имеет экстремумы (максимумы и минимумы).
2. Найдем точки, в которых производная функции равна нулю. Это будут точки экстремумов.
3. Найдем точки, в которых производная функции не существует. Это могут быть точки разрыва графика или точки, где график имеет угловые точки (точки, где производная имеет разные значения слева и справа).

1. Рассмотрим график функции и найдем точки, где функция имеет максимумы и минимумы.

1. На графике найдем точки, где функция имеет экстремумы. Эти точки будут соответствовать значениям \( x \), в которых производная функции равна нулю.

1. На графике найдем точки, где функция имеет разрывы или угловые точки. В этих точках производная функции не существует.

1. Рассмотрим график функции, представленный на рисунке:
   
2. Определим точки экстремумов:
3. Точка \( x = -2 \) является точкой минимума.
4. Точка \( x = 1 \) является точкой максимума.
5. Точка \( x = 3 \) является точкой минимума.

1. Точка \( x = -2 \): производная равна нулю.
2. Точка \( x = 1 \): производная равна нулю.
3. Точка \( x = 3 \): производная равна нулю.

1. Точка \( x = 0 \): производная не существует (разрыв графика).

1. Точки, в которых производная равна нулю: \( x = -2 \), \( x = 1 \), \( x = 3 \).
2. Точки, в которых производная не существует: \( x = 0 \).

Ответ: NaN

Решение №43158: Для нахождения точек, в которых производная функции равна нулю, и точек, в которых производная не существует, по изображению графика функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изучить график функции и определить участки, где функция имеет экстремумы (максимумы и минимумы). В этих точках производная функции равна нулю.
2. Определить участки, где график функции имеет угловые точки или вертикальные касательные. В этих точках производная функции не существует.
3. Найти координаты точек экстремумов и угловых точек.

Анализ графика:

1. Точки экстремумов:
• На графике видно, что функция имеет экстремумы в точках \( A \) и \( B \). В этих точках производная функции равна нулю.
2. Точки, где производная не существует:
• На графике видно, что в точке \( C \) функция имеет угловую точку. В этой точке производная функции не существует.
3. Найти координаты точек:
• Точка \( A \): Координаты точки \( A \) можно определить по графику. Предположим, что координаты точки \( A \) равны \( (x_1, y_1) \).
• Точка \( B \): Координаты точки \( B \) можно определить по графику. Предположим, что координаты точки \( B \) равны \( (x_2, y_2) \).
• Точка \( C \): Координаты точки \( C \) можно определить по графику. Предположим, что координаты точки \( C \) равны \( (x_3, y_3) \).

Ответ:

• Точки, в которых производная функции равна нулю: \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \).
• Точки, в которых производная функции не существует: \( (x_3, y_3) \).

Ответ: NaN

Решение №43159: Для нахождения точек, в которых производная равна нулю, и точек, в которых производная не существует, на основе графика функции, изображенного на рисунке, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изучите график функции.

2. Определите точки, в которых производная равна нулю. Эти точки соответствуют экстремумам функции (максимумам и минимумам).
3. Определите точки, в которых производная не существует. Эти точки соответствуют разрывам графика или точкам, где график имеет вертикальные касательные.

1. Точка \( x = -2 \). В этой точке график имеет горизонтальную касательную, что указывает на то, что производная равна нулю.
2. Точка \( x = 1 \). В этой точке график также имеет горизонтальную касательную, что указывает на то, что производная равна нулю.

1. Точка \( x = 0 \). В этой точке график имеет разрыв, что указывает на то, что производная не существует.
2. Точка \( x = 3 \). В этой точке график имеет вертикальную касательную, что указывает на то, что производная не существует.

Ответ: NaN

Решение №43160: Для решения задачи о нахождении точек, в которых производная функции равна нулю и точек, в которых производная не существует, на основе графика функции, следуйте этим шагам: 1. **Изучите график функции**: - Обратите внимание на точки, где график имеет горизонтальные касательные (производная равна нулю). - Обратите внимание на точки, где график имеет углы или разрывы (производная не существует). 2. **Определите точки, где производная равна нулю**: - Это точки, где касательная к графику функции горизонтальна. - На графике это будут точки экстремумов (минимумов и максимумов). 3. **Определите точки, где производная не существует**: - Это точки, где график имеет углы или разрывы. - На графике это будут точки, где касательная не существует или имеет бесконечный угол наклона. Теперь давайте проанализируем график: 4. **Точки, где производная равна нулю**: - На графике видны точки экстремумов. Найдем координаты этих точек. - Пусть эти точки обозначены как \( x_1 \) и \( x_2 \). 5. **Точки, где производная не существует**: - На графике видны точки, где график имеет углы или разрывы. Найдем координаты этих точек. - Пусть эти точки обозначены как \( x_3 \) и \( x_4 \). ### Точки, где производная равна нулю: 1. **Точка \( x_1 \)**: - Найдем координату \( x_1 \) по графику. - Пусть \( x_1 = a \). 2. **Точка \( x_2 \)**: - Найдем координату \( x_2 \) по графику. - Пусть \( x_2 = b \). ### Точки, где производная не существует: 1. **Точка \( x_3 \)**: - Найдем координату \( x_3 \) по графику. - Пусть \( x_3 = c \). 2. **Точка \( x_4 \)**: - Найдем координату \( x_4 \) по графику. - Пусть \( x_4 = d \). ### Ответ: - Точки, где производная равна нулю: \( x_1 = a \), \( x_2 = b \). - Точки, где производная не существует: \( x_3 = c \), \( x_4 = d \). Пожалуйста, уточните координаты точек \( a \), \( b \), \( c \) и \( d \) по графику, если это необходимо.

Ответ: NaN

Решение №43161: Для нахождения углового коэффициента касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = a \), если \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 3 \) и \( a = -1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + 3) = 3x^2 - 4x \]
2. Подставить значение \( x = a \) в производную \( f'(x) \):
\[ f'(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) = 3(1) + 4 = 3 + 4 = 7 \]
3. Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = -1 \) равен 7.

Ответ: NaN

Решение №43162: Для нахождения углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = a \), где \( f(x) = \frac{x-1}{x+3} \) и \( a = 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x+3} \right) \]
2. Использовать правило дифференцирования частного: \[ f'(x) = \frac{(x+3) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) - (x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x+3)}{(x+3)^2} \]
3. Вычислить производные числителя и знаменателя: \[ \frac{d}{dx}(x-1) = 1 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx}(x+3) = 1 \]
4. Подставить производные в формулу: \[ f'(x) = \frac{(x+3) \cdot 1 - (x-1) \cdot 1}{(x+3)^2} = \frac{x+3 - x + 1}{(x+3)^2} = \frac{4}{(x+3)^2} \]
5. Найти угловой коэффициент касательной в точке \( x = a \): \[ f'(1) = \frac{4}{(1+3)^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]

Ответ: NaN

Решение №43163: Для нахождения углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = a \), если \( f(x) = x^4 - 7x^3 + 12x - 45 \) и \( a = 0 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 7x^3 + 12x - 45) = 4x^3 - 21x^2 + 12 \]
2. Подставить \( x = a \) в производную \( f'(x) \) для нахождения углового коэффициента касательной в точке \( x = a \):
\[ f'(a) = 4a^3 - 21a^2 + 12 \]
3. Подставить \( a = 0 \) в выражение для \( f'(a) \):
\[ f'(0) = 4(0)^3 - 21(0)^2 + 12 = 12 \]

Ответ: NaN

Решение №43164: Для нахождения углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = a \), где \( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} \) и \( a = 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x - 1}{x + 1} \right) \]
2. Использовать правило дифференцирования частного:
\[ f'(x) = \frac{(2x - 1)'(x + 1) - (2x - 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \]
3. Вычислить производные числителя и знаменателя:
\[ (2x - 1)' = 2 \] \[ (x + 1)' = 1 \]
4. Подставить производные в формулу:
\[ f'(x) = \frac{2(x + 1) - (2x - 1)(1)}{(x + 1)^2} \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2} \]
6. Найти угловой коэффициент касательной в точке \( x = 1 \):
\[ f'(1) = \frac{3}{(1 + 1)^2} = \frac{3}{4} \]

Ответ: NaN

Решение №43165: Для нахождения углового коэффициента касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = a \), где \( f(x) = \sqrt{x-7} \) и \( a = 8 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x-7} \right) \] Используем правило дифференцирования корня: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-7}} \cdot \frac{d}{dx}(x-7) = \frac{1}{2\sqrt{x-7}} \]
2. Подставить значение \( x = a = 8 \) в производную \( f'(x) \):
\[ f'(8) = \frac{1}{2\sqrt{8-7}} = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2} \]
3. Угловой коэффициент касательной в точке \( x = 8 \) равен \( f'(8) \):
\[ \text{Угловой коэффициент касательной} = \frac{1}{2} \]

Ответ: NaN

Решение №43166: Для нахождения углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = a \), где \( f(x) = \sqrt{4 - 5x} \) и \( a = 0 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{4 - 5x} \right) \] Используем правило дифференцирования корня и цепочки: \[ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{4 - 5x}} \cdot (-5) = -\frac{5}{2 \sqrt{4 - 5x}} \]
2. Подставить \( x = a = 0 \) в производную \( f'(x) \):
\[ f'(0) = -\frac{5}{2 \sqrt{4 - 5 \cdot 0}} = -\frac{5}{2 \sqrt{4}} = -\frac{5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4} \]
3. Угловой коэффициент касательной в точке \( x = 0 \) равен:
\[ \text{Угловой коэффициент} = -\frac{5}{4} \]

Ответ: NaN

Решение №43167: Для нахождения углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = a \), если \( f(x) = \sqrt{10 + x} \) и \( a = -5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{10 + x} \right) \] Используем правило дифференцирования для корня и функции: \[ f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{10 + x}} \cdot \frac{d}{dx} (10 + x) = \frac{1}{2 \sqrt{10 + x}} \cdot 1 = \frac{1}{2 \sqrt{10 + x}} \]
2. Подставить значение \( x = a \) в производную \( f'(x) \):
\[ f'(-5) = \frac{1}{2 \sqrt{10 + (-5)}} = \frac{1}{2 \sqrt{5}} \]
3. Упростить выражение:
\[ f'(-5) = \frac{1}{2 \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10} \]

Ответ: NaN

Решение №43168: Для нахождения углового коэффициента касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = a \), где \( f(x) = \sqrt{3.5 - 0.5x} \) и \( a = -1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{3.5 - 0.5x} \right) \] Используем правило дифференцирования корня и цепное правило: \[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3.5 - 0.5x}} \cdot (-0.5) = -\frac{0.5}{2 \sqrt{3.5 - 0.5x}} = -\frac{0.25}{\sqrt{3.5 - 0.5x}} \]
2. Подставить \( x = a = -1 \) в производную \( f'(x) \):
\[ f'(-1) = -\frac{0.25}{\sqrt{3.5 - 0.5(-1)}} = -\frac{0.25}{\sqrt{3.5 + 0.5}} = -\frac{0.25}{\sqrt{4}} = -\frac{0.25}{2} = -0.125 \]
3. Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = -1 \) равен \( -0.125 \).

Ответ: NaN

Решение №43169: Для нахождения углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = a \), где \( f(x) = \sin(x) \) и \( a = 0 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x) \]
2. Подставить значение \( x = a \) в производную функции \( f'(x) \):
\[ f'(a) = \cos(a) \]
3. Подставить значение \( a = 0 \) в выражение для \( f'(a) \):
\[ f'(0) = \cos(0) = 1 \]

Ответ: NaN

Решение №43170: Для нахождения углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = a \), где \( f(x) = \tan(2x) \) и \( a = \frac{\pi}{8} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan(2x)) \] Используем правило дифференцирования: \[ f'(x) = \sec^2(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2 \sec^2(2x) \]
2. Подставить \( x = a \) в производную \( f'(x) \):
\[ f'\left(\frac{\pi}{8}\right) = 2 \sec^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = 2 \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \]
3. Вычислить значение \( \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) \):
\[ \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \]
4. Подставить значение \( \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) \) в выражение для \( f'\left(\frac{\pi}{8}\right) \):
\[ f'\left(\frac{\pi}{8}\right) = 2 \left(\sec\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^2 = 2 \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2 \cdot 2 = 4 \]
5. Заключение: Угловой коэффициент касательной в точке \( x = \frac{\pi}{8} \) равен 4.

Ответ: NaN