№13245

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Определить, при каком значении \(a\) прямая \(y=ax+2\) является касательной к графику \(y=lnx\)

Ответ

e^3

Решение № 13243:

Для определения значения \(a\), при котором прямая \(y = ax + 2\) является касательной к графику \(y = \ln x\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y = \ln x \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \] <li> Пусть точка касания имеет координаты \((x_0, \ln x_0)\). Тогда в этой точке производная функции \( y = \ln x \) должна быть равна угловому коэффициенту касательной, то есть \(a\): </li> \[ \frac{1}{x_0} = a \] <li> Из уравнения касательной \( y = ax + 2 \) и уравнения графика \( y = \ln x \) в точке касания \((x_0, \ln x_0)\) должно выполняться: </li> \[ \ln x_0 = a x_0 + 2 \] <li> Подставить \( a = \frac{1}{x_0} \) в уравнение касательной: </li> \[ \ln x_0 = \frac{1}{x_0} \cdot x_0 + 2 \] <li> Упростить уравнение: </li> \[ \ln x_0 = 1 + 2 \] \[ \ln x_0 = 3 \] <li> Решить уравнение относительно \( x_0 \): </li> \[ x_0 = e^3 \] <li> Теперь найти значение \(a\): </li> \[ a = \frac{1}{x_0} = \frac{1}{e^3} = e^{-3} \] </ol> Ответ: <br> Значение \(a\), при котором прямая \(y = ax + 2\) является касательной к графику \(y = \ln x\), равно \( e^{-3} \).