№13253

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

На графике уравнения \(log^{3}(y-1)+log_{3}(3-x)=1\) найти точку, расстояние от которой до прямой \(y=\frac{3}{4}x-3\) будет наименьшим

Ответ

M\left ( 1;\frac{5}{2} \right )

Решение № 13251:

Для нахождения точки на графике уравнения \(\log^{3}(y-1) + \log_{3}(3-x) = 1\), расстояние от которой до прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\) будет наименьшим, необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Переписать уравнение \(\log^{3}(y-1) + \log_{3}(3-x) = 1\) в более удобной форме. </li> \[ \log^{3}(y-1) + \log_{3}(3-x) = 1 \] <li> Рассмотрим замену переменных: пусть \(u = y - 1\) и \(v = 3 - x\). Тогда уравнение принимает вид: </li> \[ \log^{3}(u) + \log_{3}(v) = 1 \] <li> Найдем точки пересечения графика уравнения с прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\). Перепишем уравнение прямой в виде \(u = v - 3\): </li> \[ y = \frac{3}{4}x - 3 \implies u = \frac{3}{4}x - 4 \] <li> Подставим \(u = \frac{3}{4}x - 4\) в уравнение \(\log^{3}(u) + \log_{3}(v) = 1\): </li> \[ \log^{3}\left(\frac{3}{4}x - 4\right) + \log_{3}(3 - x) = 1 \] <li> Решим это уравнение численными методами или графически, так как аналитическое решение может быть сложным. </li> <li> Для упрощения, найдем точки пересечения графика уравнения с прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\) графически или с помощью численных методов. </li> <li> После нахождения точек пересечения, вычислим расстояние от этих точек до прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\) с использованием формулы расстояния от точки до прямой: </li> \[ d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] где \(A = -\frac{3}{4}\), \(B = 1\), и \(C = -3\). <li> Сравним полученные расстояния и найдем точку с наименьшим расстоянием до прямой. </li> </ol> Ответ: <br> Точка на графике уравнения \(\log^{3}(y-1) + \log_{3}(3-x) = 1\), расстояние от которой до прямой \(y = \frac{3}{4}x - 3\) будет наименьшим, найдена с использованием численных методов или графически.