№6946

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти уравнение параболы \(y=x^{2}+bx+c\), касающейся прямой \(y=x+1\) в точке \(M (1;2)\)

Ответ

NaN

Решение № 6946:

Для нахождения уравнения параболы \( y = x^2 + bx + c \), касающейся прямой \( y = x + 1 \) в точке \( M(1; 2) \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y = x^2 + bx + c \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + bx + c) = 2x + b \] <li> Поскольку парабола касается прямой \( y = x + 1 \) в точке \( M(1; 2) \), производная параболы в этой точке должна быть равна угловому коэффициенту прямой. Угловой коэффициент прямой \( y = x + 1 \) равен 1. </li> \[ y'(1) = 2 \cdot 1 + b = 1 \] <li> Решить уравнение относительно \( b \): </li> \[ 2 + b = 1 \implies b = -1 \] <li> Подставить \( b = -1 \) в уравнение параболы: </li> \[ y = x^2 - x + c \] <li> Подставить координаты точки \( M(1; 2) \) в уравнение параболы для нахождения \( c \): </li> \[ 2 = 1^2 - 1 + c \implies 2 = 1 - 1 + c \implies c = 2 \] <li> Итоговое уравнение параболы: </li> \[ y = x^2 - x + 2 \] </ol> Ответ: <br> Уравнение параболы: \( y = x^2 - x + 2 \)