№6952

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Определить, при каком значении \(c\) прямая \(y=3x-2\) является касательной к графику \(y=x^{2}+ax+2\)

Ответ

c\in {-1;7}

Решение № 6952:

Для определения значения \( c \), при котором прямая \( y = 3x - 2 \) является касательной к графику функции \( y = x^2 + cx + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y = x^2 + cx + 2 \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + cx + 2) = 2x + c \] <li> Прямая \( y = 3x - 2 \) будет касательной к графику функции \( y = x^2 + cx + 2 \) в точке \( (x_0, y_0) \), если в этой точке производная функции равна угловому коэффициенту прямой: </li> \[ 2x_0 + c = 3 \] <li> Точка касания \( (x_0, y_0) \) также должна удовлетворять уравнению прямой: </li> \[ y_0 = 3x_0 - 2 \] <li> И уравнению графика функции: </li> \[ y_0 = x_0^2 + cx_0 + 2 \] <li> Приравняем выражения для \( y_0 \): </li> \[ x_0^2 + cx_0 + 2 = 3x_0 - 2 \] <li> Получим систему уравнений: </li> \[ \begin{cases} 2x_0 + c = 3 \\ x_0^2 + cx_0 + 2 = 3x_0 - 2 \end{cases} \] <li> Решим первое уравнение относительно \( c \): </li> \[ c = 3 - 2x_0 \] <li> Подставим это выражение для \( c \) во второе уравнение: </li> \[ x_0^2 + (3 - 2x_0)x_0 + 2 = 3x_0 - 2 \] <li> Упростим уравнение: </li> \[ x_0^2 + 3x_0 - 2x_0^2 + 2 = 3x_0 - 2 \] \[ -x_0^2 + 3x_0 + 2 = 3x_0 - 2 \] \[ -x_0^2 + 4 = 0 \] \[ x_0^2 = 4 \] <li> Найдем \( x_0 \): </li> \[ x_0 = \pm 2 \] <li> Подставим значения \( x_0 \) обратно в выражение для \( c \): </li> \[ c = 3 - 2x_0 \] <li> Для \( x_0 = 2 \): </li> \[ c = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1 \] <li> Для \( x_0 = -2 \): </li> \[ c = 3 - 2 \cdot (-2) = 3 + 4 = 7 \] <li> Таким образом, значения \( c \), при которых прямая \( y = 3x - 2 \) является касательной к графику функции \( y = x^2 + cx + 2 \), равны \( -1 \) и \( 7 \). </li> </ol> Ответ: <br> Значения \( c \): \( -1 \) и \( 7 \)