№43187

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции \(y=f(x)\) вточке с абсциссой \(x=a\), если: \(f(x)=tg2x\), \(a=\frac{\pi}{8}\).

Ответ

NaN

Решение № 43170:

Для нахождения углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции \( y = f(x) \) в точке с абсциссой \( x = a \), где \( f(x) = \tan(2x) \) и \( a = \frac{\pi}{8} \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\tan(2x)) \] Используем правило дифференцирования: \[ f'(x) = \sec^2(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = 2 \sec^2(2x) \] <li> Подставить \( x = a \) в производную \( f'(x) \): </li> \[ f'\left(\frac{\pi}{8}\right) = 2 \sec^2\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = 2 \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \] <li> Вычислить значение \( \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) \): </li> \[ \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \] <li> Подставить значение \( \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) \) в выражение для \( f'\left(\frac{\pi}{8}\right) \): </li> \[ f'\left(\frac{\pi}{8}\right) = 2 \left(\sec\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)^2 = 2 \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2 \cdot 2 = 4 \] <li> Заключение: Угловой коэффициент касательной в точке \( x = \frac{\pi}{8} \) равен 4. </li> </ol> Ответ: <br> Угловой коэффициент касательной: \( 4 \)