№13249

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки \(A (-2; 1)\) на касательную к графику \(y=3x^{3}-6x+10\) в точке \(x_{0}=1\)

Ответ

\frac{3\sqrt{10}}{10}

Решение № 13247:

Для нахождения длины перпендикуляра, опущенного из точки \( A(-2, 1) \) на касательную к графику \( y = 3x^3 - 6x + 10 \) в точке \( x_0 = 1 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y = 3x^3 - 6x + 10 \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^3 - 6x + 10) = 9x^2 - 6 \] <li> Найти значение производной в точке \( x_0 = 1 \): </li> \[ y'(1) = 9(1)^2 - 6 = 9 - 6 = 3 \] <li> Найти значение функции в точке \( x_0 = 1 \): </li> \[ y(1) = 3(1)^3 - 6(1) + 10 = 3 - 6 + 10 = 7 \] <li> Найти уравнение касательной в точке \( x_0 = 1 \). Уравнение касательной в точке \( (x_0, y(x_0)) \) имеет вид: </li> \[ y - y(x_0) = y'(x_0)(x - x_0) \] Подставим значения: \[ y - 7 = 3(x - 1) \] \[ y = 3x - 3 + 7 \] \[ y = 3x + 4 \] <li> Найти уравнение перпендикуляра к касательной, проходящего через точку \( A(-2, 1) \). Уклон перпендикуляра к касательной с уклоном \( k \) равен \( -\frac{1}{k} \). В нашем случае \( k = 3 \), поэтому уклон перпендикуляра будет \( -\frac{1}{3} \). </li> \[ y - 1 = -\frac{1}{3}(x + 2) \] \[ y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + 1 \] \[ y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \] <li> Найти точку пересечения касательной и перпендикуляра: </li> Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} y = 3x + 4 \\ y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \end{cases} \] Приравняем выражения для \( y \): \[ 3x + 4 = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3} \] Умножим все члены на 3, чтобы избавиться от дробей: \[ 9x + 12 = -x + 1 \] \[ 9x + x = 1 - 12 \] \[ 10x = -11 \] \[ x = -\frac{11}{10} \] Подставим \( x \) в уравнение касательной: \[ y = 3\left(-\frac{11}{10}\right) + 4 = -\frac{33}{10} + 4 = -\frac{33}{10} + \frac{40}{10} = \frac{7}{10} \] Точка пересечения: \( \left(-\frac{11}{10}, \frac{7}{10}\right) \). <li> Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки \( A(-2, 1) \) на касательную: </li> Используем формулу расстояния между двумя точками: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставим координаты точек \( A(-2, 1) \) и \( \left(-\frac{11}{10}, \frac{7}{10}\right) \): \[ d = \sqrt{\left(-\frac{11}{10} - (-2)\right)^2 + \left(\frac{7}{10} - 1\right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left(-\frac{11}{10} + \frac{20}{10}\right)^2 + \left(\frac{7}{10} - \frac{10}{10}\right)^2} \] \[ d = \sqrt{\left(\frac{9}{10}\right)^2 + \left(-\frac{3}{10}\right)^2} \] \[ d = \sqrt{\frac{81}{100} + \frac{9}{100}} \] \[ d = \sqrt{\frac{90}{100}} \] \[ d = \sqrt{\frac{9}{10}} \] \[ d = \frac{3}{\sqrt{10}} \] Рационализуем знаменатель: \[ d = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \] </ol> Ответ: <br> Длина перпендикуляра: \( \frac{3\sqrt{10}}{10} \)