№13254

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Определить, при каком значении \(p\) прямая \(y=x+1\) является касательной к графику \(y=x^{2}+px+2\)

Ответ

p\in {-1;3}

Решение № 13252:

Для определения значения \( p \), при котором прямая \( y = x + 1 \) является касательной к графику \( y = x^2 + px + 2 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li>Найти производную функции \( y = x^2 + px + 2 \):</li> \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + px + 2) = 2x + p \] <li>Записать уравнение касательной линии в точке касания \( x_0 \):</li> \[ y = x + 1 \] <li>Убедиться, что в точке касания \( x_0 \) производная функции \( y \) равна угловому коэффициенту касательной линии:</li> \[ 2x_0 + p = 1 \] <li>Записать уравнение касательной линии, проходящей через точку касания \( (x_0, y_0) \):</li> \[ y_0 = x_0^2 + px_0 + 2 \] <li>Записать уравнение касательной линии, проходящей через точку \( (0, 1) \):</li> \[ y = x + 1 \] <li>Убедиться, что точка касания \( (x_0, y_0) \) удовлетворяет уравнению касательной линии:</li> \[ y_0 = x_0 + 1 \] <li>Подставить \( y_0 \) из уравнения касательной линии в уравнение параболы:</li> \[ x_0^2 + px_0 + 2 = x_0 + 1 \] <li>Решить систему уравнений:</li> \[ \begin{cases} 2x_0 + p = 1 \\ x_0^2 + px_0 + 2 = x_0 + 1 \end{cases} \] <li>Из первого уравнения выразить \( p \):</li> \[ p = 1 - 2x_0 \] <li>Подставить выражение для \( p \) во второе уравнение и решить его:</li> \[ x_0^2 + (1 - 2x_0)x_0 + 2 = x_0 + 1 \] \[ x_0^2 + x_0 - 2x_0^2 + 2 = x_0 + 1 \] \[ -x_0^2 + x_0 + 2 = x_0 + 1 \] \[ -x_0^2 + 2 = 1 \] \[ -x_0^2 = -1 \] \[ x_0^2 = 1 \] \[ x_0 = \pm 1 \] <li>Подставить значения \( x_0 \) обратно в выражение для \( p \):</li> \[ \text{Для } x_0 = 1: \quad p = 1 - 2 \cdot 1 = -1 \] \[ \text{Для } x_0 = -1: \quad p = 1 - 2 \cdot (-1) = 3 \] <li>Проверить, какое из значений \( p \) удовлетворяет условию касательной линии:</li> \[ \text{Для } p = -1: \quad y = x^2 - x + 2 \quad \text{и} \quad y = x + 1 \quad \text{не совпадают} \] \[ \text{Для } p = 3: \quad y = x^2 + 3x + 2 \quad \text{и} \quad y = x + 1 \quad \text{совпадают} \] </ol> Ответ: <br> Значение \( p \), при котором прямая \( y = x + 1 \) является касательной к графику \( y = x^2 + px + 2 \), равно \( p = 3 \).