№13242

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Прямая \(y=-3xln2-5\) является касательной к графику \(f(x)=4^{x}-6\cdot 2^{x}+xln2\). Найти координаты точки касания

Ответ

<0;-5>

Решение № 13240:

Для нахождения координат точки касания прямой \( y = -3x \ln 2 - 5 \) с графиком функции \( f(x) = 4^x - 6 \cdot 2^x + x \ln 2 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( f(x) \): </li> \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(4^x - 6 \cdot 2^x + x \ln 2) \] Используем правило дифференцирования для экспоненциальных функций: \[ f'(x) = 4^x \ln 4 - 6 \cdot 2^x \ln 2 + \ln 2 \] Зная, что \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \) и \( \ln 4 = \ln (2^2) = 2 \ln 2 \), получаем: \[ f'(x) = 2^{2x} \cdot 2 \ln 2 - 6 \cdot 2^x \ln 2 + \ln 2 \] \[ f'(x) = 2 \cdot 2^{2x} \ln 2 - 6 \cdot 2^x \ln 2 + \ln 2 \] </li> <li> Уравнение касательной к графику функции \( f(x) \) в точке \( (x_0, f(x_0)) \) имеет вид: </li> \[ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) \] Для прямой \( y = -3x \ln 2 - 5 \) уравнение касательной должно совпадать. Следовательно, коэффициент наклона касательной \( f'(x_0) \) должен быть равен наклону прямой: \[ f'(x_0) = -3 \ln 2 \] </li> <li> Решить уравнение \( f'(x_0) = -3 \ln 2 \): </li> \[ 2 \cdot 2^{2x_0} \ln 2 - 6 \cdot 2^{x_0} \ln 2 + \ln 2 = -3 \ln 2 \] Разделим обе части уравнения на \( \ln 2 \): \[ 2 \cdot 2^{2x_0} - 6 \cdot 2^{x_0} + 1 = -3 \] \[ 2 \cdot 2^{2x_0} - 6 \cdot 2^{x_0} + 4 = 0 \] </li> <li> Подставим \( y = 2^{x_0} \), тогда уравнение принимает вид: </li> \[ 2y^2 - 6y + 4 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{4} = \frac{6 \pm 2}{4} \] \[ y = 2 \quad \text{или} \quad y = 1 \] Следовательно: \[ 2^{x_0} = 2 \quad \text{или} \quad 2^{x_0} = 1 \] \[ x_0 = 1 \quad \text{или} \quad x_0 = 0 \] </li> <li> Найти координаты точек касания, подставив найденные значения \( x_0 \) в функцию \( f(x) \): </li> \[ f(1) = 4^1 - 6 \cdot 2^1 + 1 \ln 2 = 4 - 12 + \ln 2 = -8 + \ln 2 \] \[ f(0) = 4^0 - 6 \cdot 2^0 + 0 \ln 2 = 1 - 6 + 0 = -5 \] </li> <li> Проверить, какая из точек удовлетворяет уравнению прямой \( y = -3x \ln 2 - 5 \): </li> \[ y = -3 \cdot 1 \ln 2 - 5 = -3 \ln 2 - 5 \] \[ y = -3 \cdot 0 \ln 2 - 5 = -5 \] Следовательно, точка \( (0, -5) \) удовлетворяет уравнению прямой. </li> </ol> Ответ: <br> Координаты точки касания: \( (0, -5) \)