№13251

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Уравнения касательной и нормали,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 3

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Определить, при каких \(a\) прямая \(y=10x+1\) является касательной к графику \(y=\frac{x3}{3}-x^{2}-5x-9a+2\)

Ответ

a\in \left \{ -\frac{172}{27};\frac{28}{9} \right \}

Решение № 13249:

Для определения значений \(a\), при которых прямая \(y = 10x + 1\) является касательной к графику функции \(y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 5x - 9a + 2\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \(y = \frac{x^3}{3} - x^2 - 5x - 9a + 2\): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{3} - x^2 - 5x - 9a + 2\right) = x^2 - 2x - 5 \] <li> Записать уравнение касательной в точке \(x_0\): </li> \[ y = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0) \] <li> Подставить значения \(y(x_0)\) и \(y'(x_0)\): </li> \[ y(x_0) = \frac{x_0^3}{3} - x_0^2 - 5x_0 - 9a + 2 \] \[ y'(x_0) = x_0^2 - 2x_0 - 5 \] <li> Уравнение касательной в точке \(x_0\) будет: </li> \[ y = \left(\frac{x_0^3}{3} - x_0^2 - 5x_0 - 9a + 2\right) + \left(x_0^2 - 2x_0 - 5\right)(x - x_0) \] <li> Так как прямая \(y = 10x + 1\) является касательной, то её угловой коэффициент равен производной функции в точке касания: </li> \[ x_0^2 - 2x_0 - 5 = 10 \] <li> Решить уравнение относительно \(x_0\): </li> \[ x_0^2 - 2x_0 - 5 = 10 \implies x_0^2 - 2x_0 - 15 = 0 \] <li> Использовать формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): </li> \[ x_0 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -15\): \[ x_0 = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2} \] <li> Получаем два корня: </li> \[ x_1 = \frac{2 + 8}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{2 - 8}{2} = -3 \] <li> Подставить найденные значения \(x_0\) в уравнение функции и уравнение касательной: </li> <li> Для \(x_0 = 5\): </li> \[ y(5) = \frac{5^3}{3} - 5^2 - 5 \cdot 5 - 9a + 2 = \frac{125}{3} - 25 - 25 - 9a + 2 = \frac{125 - 75 - 75 + 6}{3} - 9a = \frac{-25}{3} - 9a \] \[ y'(5) = 5^2 - 2 \cdot 5 - 5 = 25 - 10 - 5 = 10 \] \[ y = \left(\frac{-25}{3} - 9a\right) + 10(x - 5) = 10x + 1 \] \[ \frac{-25}{3} - 9a + 10(x - 5) = 10x + 1 \] \[ \frac{-25}{3} - 9a - 50 = 1 \] \[ -9a = 1 + \frac{25}{3} + 50 = \frac{3 + 25 + 150}{3} = \frac{178}{3} \] \[ a = -\frac{178}{27} \] <li> Для \(x_0 = -3\): </li> \[ y(-3) = \frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 - 5(-3) - 9a + 2 = \frac{-27}{3} - 9 + 15 - 9a + 2 = -9 - 9 + 15 - 9a + 2 = -1 - 9a \] \[ y'(-3) = (-3)^2 - 2(-3) - 5 = 9 + 6 - 5 = 10 \] \[ y = (-1 - 9a) + 10(x + 3) = 10x + 1 \] \[ -1 - 9a + 10(x + 3) = 10x + 1 \] \[ -1 - 9a + 30 = 1 \] \[ -9a = 1 - 29 = -28 \] \[ a = \frac{28}{9} \] <li> Ответ: </li> \[ a = -\frac{178}{27} \quad \text{или} \quad a = \frac{28}{9} \] </ol> Ответ: <br> \(a = -\frac{178}{27}\) или \(a = \frac{28}{9}\)