Решение №3034: Для нахождения критических точек функции \( y = x^2 + 4x + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 4x + 5) = 2x + 4 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x + 4 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2x + 4 = 0 \implies \]
4. \[ 2x = -4 \implies \]
5. \[ x = -2 \]

Ответ: -2

Решение №3036: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{2x^3 + x^2 + 1}{x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x^3 + x^2 + 1}{x^2} \right) \]
2. Применить правило дифференцирования частного:
\[ y' = \frac{(6x^2 + 2x) \cdot x^2 - (2x^3 + x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2)^2} \]
3. Упростить числитель:
\[ y' = \frac{6x^4 + 2x^3 - 4x^4 - 2x^2 - 2x}{x^4} \] \[ y' = \frac{2x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 2x}{x^4} \] \[ y' = \frac{2x(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^4} \] \[ y' = \frac{2(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^3} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2(x^3 + x^2 - x - 1)}{x^3} = 0 \]
5. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2(x^3 + x^2 - x - 1) = 0 \] \[ x^3 + x^2 - x - 1 = 0 \]
6. Факторизовать уравнение:
\[ (x + 1)(x^2 - 1) = 0 \] \[ (x + 1)(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ (x + 1)^2 (x - 1) = 0 \]
7. Найти корни уравнения:
\[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \] \[ x - 1 = 0 \implies x = 1 \]
8. Проверить, попадают ли критические точки в область определения функции:
Оба корня \( x = -1 \) и \( x = 1 \) попадают в область определения функции, так как \( x \neq 0 \).

Ответ: 1

Решение №3042: Для нахождения критических точек функции \( y = x^2 - 11x + 12 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 11x + 12) = 2x - 11 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 2x - 11 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 2x - 11 = 0 \implies \]
4. \[ 2x = 11 \implies \]
5. \[ x = \frac{11}{2} \]

Ответ: \frac{11}{2}

Решение №3046: Для нахождения критических точек функции \( y = x \sqrt{4 + x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( x \sqrt{4 + x} \right) \] Используем правило произведения и правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = \sqrt{4 + x} + x \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{4 + x} \right) \] \[ y' = \sqrt{4 + x} + x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{4 + x}} \] \[ y' = \sqrt{4 + x} + \frac{x}{2 \sqrt{4 + x}} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \sqrt{4 + x} + \frac{x}{2 \sqrt{4 + x}} = 0 \] Умножим обе части уравнения на \( 2 \sqrt{4 + x} \): \[ 2 (4 + x) + x = 0 \] \[ 8 + 2x + x = 0 \] \[ 3x + 8 = 0 \] \[ x = -\frac{8}{3} \]
3. Проверить, что \( x = -\frac{8}{3} \) является критической точкой:
\[ \text{Проверим, что значение } x = -\frac{8}{3} \text{ попадает в область определения функции } y = x \sqrt{4 + x}. \] \[ \text{Область определения функции: } 4 + x \geq 0 \implies x \geq -4 \] \[ -\frac{8}{3} \approx -2.67 \text{, что больше чем } -4. \]
4. Проверить значения функции \( y \) в точке \( x = -\frac{8}{3} \):
\[ y \left( -\frac{8}{3} \right) = -\frac{8}{3} \sqrt{4 - \frac{8}{3}} \] \[ = -\frac{8}{3} \sqrt{\frac{12}{3} - \frac{8}{3}} \] \[ = -\frac{8}{3} \sqrt{\frac{4}{3}} \] \[ = -\frac{8}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ = -\frac{8 \cdot 2}{3 \sqrt{3}} \] \[ = -\frac{16}{3 \sqrt{3}} \] \[ = -\frac{16 \sqrt{3}}{9} \]

Ответ: -\frac{8}{3}

Решение №3047: Для нахождения критических точек функции \( y = 4x + \frac{9}{x} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(4x + \frac{9}{x}\right) \] \[ y' = 4 - \frac{9}{x^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4 - \frac{9}{x^2} = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4 = \frac{9}{x^2} \] \[ 4x^2 = 9 \] \[ x^2 = \frac{9}{4} \] \[ x = \pm \frac{3}{2} \]
4. Проверить, какие из найденных точек являются критическими. Для этого нужно проверить вторую производную или использовать первый критерий:
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(4 - \frac{9}{x^2}\right) \] \[ y' = \frac{18}{x^3} \]
5. Оценить значение второй производной в найденных точках:
\[ y'\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{18}{\left(\frac{3}{2}\right)^3} = \frac{18}{\frac{27}{8}} = \frac{18 \cdot 8}{27} = \frac{16}{3} > 0 \] Это означает, что \( x = \frac{3}{2} \) является точкой минимума. \[ y'\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{18}{\left(-\frac{3}{2}\right)^3} = \frac{18}{-\frac{27}{8}} = -\frac{16}{3} < 0 \] Это означает, что \( x = -\frac{3}{2} \) является точкой максимума.

Ответ: \left \{ -\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right \}

Решение №3052: Для нахождения критических точек функции \( y = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 1\right) = 3x^2 - 3x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 3x^2 - 3x = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ 3x(x - 1) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 3x(x - 1) = 0 \implies \]
5. \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 \]

Ответ: {0;1}

Решение №3056: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x^2}{x+1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{x+1} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2)' \cdot (x+1) - x^2 \cdot (x+1)'}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{2x \cdot (x+1) - x^2}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если числитель равен нулю: \[ x^2 + 2x = 0 \] Выносим \( x \) за скобку: \[ x(x + 2) = 0 \] Получаем два решения: \[ x_1 = 0 \] \[ x_2 = -2 \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в область определения функции:
Функция \( y = \frac{x^2}{x+1} \) определена для всех \( x \neq -1 \). \[ x_1 = 0 \quad \text{(попадает в область определения)} \] \[ x_2 = -2 \quad \text{(попадает в область определения)} \]
4. Проверить знак производной вокруг критических точек для определения их характера:
Для \( x_1 = 0 \): \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \] Проверим знак производной слева от \( x = 0 \) (например, \( x = -0.5 \)): \[ y'(-0.5) = \frac{(-0.5)^2 + 2(-0.5)}{(-0.5+1)^2} = \frac{0.25 - 1}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 \quad \text{(отрицательное значение)} \] Проверим знак производной справа от \( x = 0 \) (например, \( x = 0.5 \)): \[ y'(0.5) = \frac{(0.5)^2 + 2(0.5)}{(0.5+1)^2} = \frac{0.25 + 1}{1.25} = \frac{1.25}{1.25} = 1 \quad \text{(положительное значение)} \] Следовательно, \( x = 0 \) является точкой минимума. Для \( x_2 = -2 \): Проверим знак производной слева от \( x = -2 \) (например, \( x = -2.5 \)): \[ y'(-2.5) = \frac{(-2.5)^2 + 2(-2.5)}{(-2.5+1)^2} = \frac{6.25 - 5}{(-1.5)^2} = \frac{1.25}{2.25} = \frac{1.25}{2.25} \approx 0.556 \quad \text{(положительное значение)} \] Проверим знак производной справа от \( x = -2 \) (например, \( x = -1.5 \)): \[ y'(-1.5) = \frac{(-1.5)^2 + 2(-1.5)}{(-1.5+1)^2} = \frac{2.25 - 3}{(-0.5)^2} = \frac{-0.75}{0.25} = -3 \quad \text{(отрицательное значение)} \] Следовательно, \( x = -2 \) является точкой максимума.

Ответ: {0;-2}

Решение №3057: Для нахождения критических точек функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 5) = -4x^3 + 4x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -4x^3 + 4x = 0 \]
3. Вынести общий множитель и решить уравнение:
\[ 4x(-x^2 + 1) = 0 \]
4. Разделить на два уравнения и решить их:
\[ 4x = 0 \quad \text{или} \quad -x^2 + 1 = 0 \]
5. Решить первое уравнение:
\[ 4x = 0 \implies x = 0 \]
6. Решить второе уравнение:
\[ -x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \]
7. Таким образом, критические точки функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 5 \) являются:
\[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \]

Ответ: {-1;0;1}

Решение №3064: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8)\right) \]
2. Вычислить производную каждого слагаемого:
\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{17}\right) = \frac{2x}{17} \] \[ \frac{d}{dx}\left(-\ln(x^2 - 8)\right) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 8) = -\frac{1}{x^2 - 8} \cdot 2x = -\frac{2x}{x^2 - 8} \]
3. Итоговая производная:
\[ y' = \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{2x}{17} - \frac{2x}{x^2 - 8} = 0 \]
5. Упростить уравнение:
\[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \]
6. Рассмотреть случай, когда \( x = 0 \):
\[ \frac{2 \cdot 0}{17} = \frac{2 \cdot 0}{0^2 - 8} \implies 0 = 0 \] Это верно, значит \( x = 0 \) является критической точкой.
7. Рассмотреть случай, когда \( x \neq 0 \):
\[ \frac{2x}{17} = \frac{2x}{x^2 - 8} \implies \frac{1}{17} = \frac{1}{x^2 - 8} \]
8. Умножить обе стороны на 17 и \( x^2 - 8 \):
\[ 17 = x^2 - 8 \]
9. Решить уравнение относительно \( x^2 \):
\[ x^2 = 25 \]
10. Найти \( x \):
\[ x = \pm 5 \]
11. Проверить, какие из найденных точек \( x = 0 \), \( x = 5 \), \( x = -5 \) попадают в область определения функции \( y = \frac{x^2}{17} - \ln(x^2 - 8) \):
\[ x^2 - 8 > 0 \implies x^2 > 8 \implies x > \sqrt{8} \text{ или } x < -\sqrt{8} \]
12. Поскольку \( \sqrt{8} \approx 2.83 \), точки \( x = 0 \) и \( x = 5 \) не попадают в область определения функции. Точка \( x = -5 \) попадает.

Ответ: {-5;5}

Решение №3067: Для нахождения критических точек функции \( y = \frac{x}{x^2 - 1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x^2 - 1} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 - 1) \cdot 1 - x \cdot (2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2 - 1 - 2x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{-x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2} = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если числитель равен нулю: \[ -x^2 - 1 = 0 \] \[ -x^2 = 1 \implies x^2 = -1 \] Это уравнение не имеет реальных решений, так как \( x^2 \) не может быть отрицательным.
3. Проверить точки, где знаменатель равен нулю, так как эти точки могут быть точками разрыва:
\[ x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Точки \( x = 1 \) и \( x = -1 \) являются точками разрыва и не являются критическими точками.
4. Следовательно, функция \( y = \frac{x}{x^2 - 1} \) не имеет критических точек.

Ответ: Нет критических точек

Решение №3068: Для определения значения \( a \), при котором прямая \( y = ax \) является касательной к графику функции \( y = e^{x-1} - 3x \), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Найти производную функции \( y = e^{x-1} - 3x \):** \[ y' = \frac{d}{dx}(e^{x-1} - 3x) = e^{x-1} - 3 \] 2. **Предположить, что касательная к графику функции \( y = e^{x-1} - 3x \) в точке \( (x_0, y_0) \) имеет угол наклона \( a \):** \[ a = e^{x_0-1} - 3 \] 3. **Найти координаты точки касания \( (x_0, y_0) \):** \[ y_0 = e^{x_0-1} - 3x_0 \] 4. **Использовать уравнение прямой \( y = ax \), проходящей через точку касания \( (x_0, y_0) \):** \[ y_0 = a x_0 \] Подставим \( y_0 \) и \( a \) из предыдущих шагов: \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = (e^{x_0-1} - 3)x_0 \] 5. **Решить уравнение для нахождения \( x_0 \):** \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = e^{x_0-1}x_0 - 3x_0 \] Упростим уравнение: \[ e^{x_0-1} - 3x_0 = e^{x_0-1}x_0 - 3x_0 \] \[ e^{x_0-1} = e^{x_0-1}x_0 \] \[ e^{x_0-1}(1 - x_0) = 0 \] Поскольку \( e^{x_0-1} \neq 0 \), имеем: \[ 1 - x_0 = 0 \implies x_0 = 1 \] 6. **Найти значение \( a \) при \( x_0 = 1 \):** \[ a = e^{1-1} - 3 = e^0 - 3 = 1 - 3 = -2 \] Ответ:
Значение \( a \): \( -2 \)

Ответ: -2

Решение №3071: Для определения значения \( a \), при котором прямая \( y = 4x + a \) является касательной к графику функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \right) \]
Используем правило дифференцирования для экспоненциальных функций: \[ \frac{d}{dx} (4^x) = 4^x \ln 4 \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx} (2^{x+1}) = 2^{x+1} \ln 2 \]
Подставляем эти производные: \[ y' = \frac{4^x \ln 4 - 2^{x+1} \ln 2}{\ln 2} \]
Упрощаем выражение: \[ y' = \frac{4^x \cdot 2 \ln 2 - 2^{x+1} \ln 2}{\ln 2} = 4^x \cdot 2 - 2^{x+1} \]
\[ y' = 2 \cdot 4^x - 2 \cdot 2^x = 2 \cdot (4^x - 2^x) \]
2. Условие касания: производная функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \) в точке касания должна быть равна угловому коэффициенту прямой \( y = 4x + a \):
\[ 2 \cdot (4^{x_0} - 2^{x_0}) = 4 \]
Решим это уравнение относительно \( x_0 \): \[ 2 \cdot (4^{x_0} - 2^{x_0}) = 4 \implies 4^{x_0} - 2^{x_0} = 2 \]
\[ (2^{x_0})^2 - 2^{x_0} - 2 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение: \[ t = 2^{x_0} \]
\[ t^2 - t - 2 = 0 \]
\[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Получаем два корня: \[ t_1 = 2 \quad \text{и} \quad t_2 = -1 \]
Так как \( t = 2^{x_0} \) и \( 2^{x_0} \) всегда положительно, то: \[ 2^{x_0} = 2 \implies x_0 = 1 \]
3. Найти значение функции \( y = \frac{4^x - 2^{x+1}}{\ln 2} \) в точке \( x_0 = 1 \):
\[ y(1) = \frac{4^1 - 2^{1+1}}{\ln 2} = \frac{4 - 4}{\ln 2} = 0 \]
4. Подставить найденные значения \( x_0 \) и \( y(x_0) \) в уравнение прямой \( y = 4x + a \):
\[ 0 = 4 \cdot 1 + a \implies 0 = 4 + a \implies a = -4 \]

Ответ: \(a=4\left ( \frac{2}{ln2}-1 \right )\)

Решение №3077: Для определения значения \( a \) (\( a > 0 \)), при котором кривая \( y = a \ln x \) имеет одну общую точку с графиком \( y = 2x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Поставить уравнение, которое выражает условие касания двух графиков:
\[ a \ln x = 2x^2 \]
2. Найти производные обеих функций:
\[ \frac{d}{dx}(a \ln x) = \frac{a}{x} \] \[ \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x \]
3. Приравнять производные в точке касания \( x_0 \):
\[ \frac{a}{x_0} = 4x_0 \]
4. Решить это уравнение относительно \( a \):
\[ a = 4x_0^2 \]
5. Подставить выражение для \( a \) в исходное уравнение:
\[ 4x_0^2 \ln x_0 = 2x_0^2 \]
6. Упростить уравнение:
\[ 2 \ln x_0 = 1 \] \[ \ln x_0 = \frac{1}{2} \]
7. Решить уравнение относительно \( x_0 \):
\[ x_0 = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e} \]
8. Подставить \( x_0 \) обратно в выражение для \( a \):
\[ a = 4 (\sqrt{e})^2 = 4e \]

Ответ: 4e

Решение №3093: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \frac{4}{3}x^3 - 4x \) на отрезке \([0; 2]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3}x^3 - 4x\right) = 4x^2 - 4 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4x^2 - 4 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4x^2 - 4 = 0 \implies \]
4. \[ 4x^2 = 4 \implies \]
5. \[ x^2 = 1 \implies \]
6. \[ x = \pm 1 \]
7. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \([0; 2]\):
\[ x = 1 \quad \text{(попадает в отрезок \([0; 2]\))} \] \[ x = -1 \quad \text{(не попадает в отрезок \([0; 2]\))} \]
8. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(0) = \frac{4}{3}(0)^3 - 4(0) = 0 \] \[ y(1) = \frac{4}{3}(1)^3 - 4(1) = \frac{4}{3} - 4 = -\frac{8}{3} \] \[ y(2) = \frac{4}{3}(2)^3 - 4(2) = \frac{4}{3} \cdot 8 - 8 = \frac{32}{3} - 8 = \frac{8}{3} \]
9. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(2) = \frac{8}{3} \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(1) = -\frac{8}{3} \]

Ответ: \underset{[-2;2]}{max} y(x)=\frac{8}{3}; \underset{[-2;2]}{min} y(x)=-\frac{8}{3}

Решение №3097: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2x^3 - 3x^2 - 36x + 10 \) на отрезке \([-5; 4]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 3x^2 - 36x + 10) = -6x^2 - 6x - 36 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -6x^2 - 6x - 36 = 0 \]
3. Упростить уравнение, разделив на \(-6\):
\[ x^2 + x + 6 = 0 \]
4. Решить квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
5. Подставить значения \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 6 \):
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-23}}{2} \]
6. Поскольку дискриминант отрицателен ( \( \sqrt{-23} \) ), уравнение не имеет реальных корней. Следовательно, критических точек внутри отрезка нет.
7. Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка:
\[ y(-5) = -2(-5)^3 - 3(-5)^2 - 36(-5) + 10 = -2(-125) - 3(25) + 180 + 10 = 250 - 75 + 180 + 10 = 365 \] \[ y(4) = -2(4)^3 - 3(4)^2 - 36(4) + 10 = -2(64) - 3(16) - 144 + 10 = -128 - 48 - 144 + 10 = -310 \]
8. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
\[ \text{Наибольшее значение: } y(-5) = 365 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(4) = -310 \]

Ответ: \underset{[-5;4]}{max} y(x)=54; \underset{[-5;4]}{min} y(x)=-71

Решение №3098: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) \) на отрезке \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) = x^{2/3}(x-1) \] \[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^{2/3}(x-1)\right) \] Используем правило произведения: \[ y' = \left(x^{2/3}\right)'(x-1) + x^{2/3}(x-1)' \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} = 0 \] Умножим обе части на \( 3x^{1/3} \): \[ 5x - 2 = 0 \] \[ 5x = 2 \] \[ x = \frac{2}{5} \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\): Критическая точка \( x = \frac{2}{5} \) попадает в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\).
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{1000}\right)^2}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(-\frac{999}{1000}\right) = -\frac{999}{100000} \] \[ y\left(\frac{2}{5}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{2}{5}\right)^2}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3} \] \[ y(1) = \sqrt[3]{1^2}(1-1) = 0 \]
5. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{999}{100000} \] \[ y\left(\frac{2}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3} \] \[ y(1) = 0 \]
6. Наибольшее значение: \( 0 \)
7. Наименьшее значение: \( -\frac{999}{100000} \)

Ответ: \underset{\left [ \frac{1}{1000};1 \right ]}{max} y(x)=0; \underset{[ \frac{1}{1000};1 \right ]}{min} y(x)=-\frac{3}{5}\sqrt[3]{\frac{4}{25}}

Решение №3100:

1. Найти производную функции \( f(x) = e^{\cos x} \sin x \):
Для нахождения производной используем правило произведения: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{\cos x} \right) \sin x + e^{\cos x} \frac{d}{dx} (\sin x) \] \[ \frac{d}{dx} \left( e^{\cos x} \right) = e^{\cos x} \cdot \frac{d}{dx} (\cos x) = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) \] \[ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \] Таким образом, \[ f'(x) = e^{\cos x} (-\sin x) \sin x + e^{\cos x} \cos x = e^{\cos x} (\cos x - \sin^2 x) \]
2. Вычислить значение производной в точке \( x_0 = \frac{3\pi}{2} \):
\[ f'\left( \frac{3\pi}{2} \right) = e^{\cos \left( \frac{3\pi}{2} \right)} \left( \cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) - \sin^2 \left( \frac{3\pi}{2} \right) \right) \] Найдем значения тригонометрических функций в точке \( x_0 = \frac{3\pi}{2} \): \[ \cos \left( \frac{3\pi}{2} \right) = 0 \] \[ \sin \left( \frac{3\pi}{2} \right) = -1 \] Подставим эти значения в выражение для производной: \[ f'\left( \frac{3\pi}{2} \right) = e^{0} \left( 0 - (-1)^2 \right) = 1 \left( 0 - 1 \right) = -1 \]

Ответ: -1

Решение №3108: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 - 2x \) в точках пересечения с осями, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения функции с осями координат.
2. Найти точки пересечения с осью \( OX \):
\[ f(x) = 0 \implies x^2 - 2x = 0 \] \[ x(x - 2) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \]
3. Найти точку пересечения с осью \( OY \):
\[ f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0 \]
4. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2 \]
5. Вычислить производную в найденных точках пересечения:
6. В точке \( x = 0 \):
\[ f'(0) = 2 \cdot 0 - 2 = -2 \]
7. В точке \( x = 2 \):
\[ f'(2) = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2 \]

Ответ: f^{'}(0)=-2, f^{'}(2)=2

Решение №3109: Для нахождения производной функции \( f(x) = x^2 \) в точках пересечения с графиком \( y = 6x - 9 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения графиков \( f(x) = x^2 \) и \( y = 6x - 9 \).
2. Решить уравнение \( x^2 = 6x - 9 \):
\[ x^2 - 6x + 9 = 0 \]
3. Решить квадратное уравнение:
\[ (x - 3)^2 = 0 \]
4. Получить решение:
\[ x = 3 \]
5. Найти значение функции \( f(x) \) в точке \( x = 3 \):
\[ f(3) = 3^2 = 9 \]
6. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \]
7. Вычислить значение производной в точке \( x = 3 \):
\[ f'(3) = 2 \cdot 3 = 6 \]

Ответ: f^{'}(3)=-6

Решение №3110: Для нахождения значений производной функции \( f(x) = \frac{x-1}{x^2+1} \) в заданных точках \( x_0 = 0 \) и \( x_0 = 1 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x^2+1} \right) \]
2. Применить правило производной частного:
\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) \cdot \frac{d}{dx}(x-1) - (x-1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2} \]
3. Найти производные числителя и знаменателя:
\[ \frac{d}{dx}(x-1) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}(x^2+1) = 2x \]
4. Подставить найденные производные в формулу:
\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) \cdot 1 - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \]
5. Упростить выражение:
\[ f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2} \]
6. Вычислить значение производной в точке \( x_0 = 0 \):
\[ f'(0) = \frac{-0^2 + 2 \cdot 0 + 1}{(0^2+1)^2} = \frac{1}{1} = 1 \]
7. Вычислить значение производной в точке \( x_0 = 1 \):
\[ f'(1) = \frac{-1^2 + 2 \cdot 1 + 1}{(1^2+1)^2} = \frac{-1 + 2 + 1}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Ответ: f^{'}(x)=\frac{-x^{2}+2x+1}{(x^{2}+2)^{2}}, f^{'}(0)=1, f^{'}(1)=\frac{1}{2}

Решение №3111: Для нахождения производной функции \( f(x) = 1 + \cos(2x) \) в точках пересечения с осями, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(1 + \cos(2x)) = -2\sin(2x) \]
2. Найти точки пересечения функции с осями:
• Для оси \( O_x \):
\[ f(x) = 0 \implies 1 + \cos(2x) = 0 \implies \cos(2x) = -1 \]
• Решить уравнение \( \cos(2x) = -1 \):
\[ 2x = \pi + 2k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
• Точки пересечения с осью \( O_x \) имеют координаты:
\[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
• Для оси \( O_y \):
\[ x = 0 \]
• Точка пересечения с осью \( O_y \) имеет координаты:
\[ (0, f(0)) = (0, 1 + \cos(0)) = (0, 2) \]
3. Вычислить производную в найденных точках:
• Для точек на оси \( O_x \):
\[ f'(x) = -2\sin(2x) \]
• Подставим \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \):
\[ f'\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = -2\sin\left(2\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)\right) = -2\sin(\pi + 2k\pi) = -2\sin(\pi) = 0 \]
• Для точки на оси \( O_y \):
\[ f'(0) = -2\sin(2 \cdot 0) = -2\sin(0) = 0 \]
4. Сравнить полученные значения производной в точках пересечения с осями:
• В точках пересечения с осью \( O_x \):
\[ f'\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = 0 \]
• В точке пересечения с осью \( O_y \):
\[ f'(0) = 0 \]

Ответ: f^{'}(x)=-2sin2x, f^{'}(0)=0, f^{'}\left ( \frac{\pi }{2}+\pi k \right )=0

Решение №3117: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = xe^{x-x^2} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(xe^{x-x^2}) \]
2. Использовать правило произведения для нахождения производной:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{x-x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{x-x^2}) \]
3. Найти производные каждого из множителей:
\[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}(e^{x-x^2}) = e^{x-x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x-x^2) = e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \]
4. Подставить найденные производные в выражение для \( y' \):
\[ y' = 1 \cdot e^{x-x^2} + x \cdot e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \] \[ y' = e^{x-x^2} \left( 1 + x(1 - 2x) \right) \] \[ y' = e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) = 0 \]
6. Так как \( e^{x-x^2} \) никогда не равно нулю, уравнение сводится к:
\[ 1 + x - 2x^2 = 0 \]
7. Решить квадратное уравнение:
\[ 2x^2 - x - 1 = 0 \]
8. Использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
9. Подставить коэффициенты \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -1 \):
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{4} \]
10. Получить два корня:
\[ x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \]
11. Проверить вторую производную для определения характера критических точек:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x-x^2} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \right) \]
12. Использовать правило произведения для нахождения второй производной:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{x-x^2} \right) \cdot \left( 1 + x - 2x^2 \right) + e^{x-x^2} \cdot \frac{d}{dx} \left( 1 + x - 2x^2 \right) \] \[ y' = e^{x-x^2} \cdot (1 - 2x) \cdot \left( 1 + x - 2x^2 \right) + e^{x-x^2} \cdot (1 - 4x) \]
13. Подставить критические точки \( x = 1 \) и \( x = -\frac{1}{2} \) во вторую производную и определить характер точек:
\[ y'(1) = e^{1-1^2} \left( 1 - 2 \cdot 1 \right) \left( 1 + 1 - 2 \cdot 1^2 \right) + e^{1-1^2} \left( 1 - 4 \cdot 1 \right) \] \[ y'(1) = e^0 \left( -1 \right) \left( 0 \right) + e^0 \left( -3 \right) \] \[ y'(1) = -3 < 0 \quad \text{(максимум)} \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \left( 1 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \left( 1 - \frac{1}{2} - 2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \right) + e^{-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \left( 1 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = e^{-\frac{1}{4}} \left( 2 \right) \left( 0 \right) + e^{-\frac{1}{4}} \left( 3 \right) \] \[ y'\left(-\frac{1}{2}\right) = 3e^{-\frac{1}{4}} > 0 \quad \text{(минимум)} \]

Ответ: x_{max}=1, x_{min}=-\frac{1}{2}

Решение №3121: Для нахождения точек экстремума функции \( y = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 - 18x + 7) = 6x^2 - 12x - 18 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 - 12x - 18 = 0 \]
3. Разделим все члены уравнения на 6:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение \( x^2 - 2x - 3 = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
5. где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \):
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
6. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
7. Проверим, являются ли найденные точки точками экстремума, используя вторую производную:
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x - 18) = 12x - 12 \]
8. Вычислим вторую производную в найденных критических точках:
\[ y'(3) = 12 \cdot 3 - 12 = 24 \] \[ y'(-1) = 12 \cdot (-1) - 12 = -24 \]
9. Проанализируем знаки второй производной:
\[ y'(3) = 24 > 0 \implies \text{в точке } x = 3 \text{ минимум} \] \[ y'(-1) = -24 < 0 \implies \text{в точке } x = -1 \text{ максимум} \]
10. Вычислим значения функции в точках экстремума:
\[ y(3) = 2 \cdot 3^3 - 6 \cdot 3^2 - 18 \cdot 3 + 7 = 2 \cdot 27 - 6 \cdot 9 - 54 + 7 = 54 - 54 - 54 + 7 = -47 \] \[ y(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 6 \cdot (-1)^2 - 18 \cdot (-1) + 7 = -2 - 6 + 18 + 7 = 17 \]

Ответ: x_{max}=-1, x_{min}=3

Решение №3122: Для нахождения точек экстремума функции \( y = 4x - x^2 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(4x - x^2) = 4 - 2x \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4 - 2x = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4 - 2x = 0 \implies 4 = 2x \implies x = 2 \]
4. Проверить вторую производную для определения характера экстремума:
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(4x - x^2) = \frac{d}{dx}(4 - 2x) = -2 \]
5. Поскольку \( y' = -2 \) отрицательна, точка \( x = 2 \) является точкой максимума.
6. Вычислить значение функции в точке экстремума:
\[ y(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4 \]

Ответ: 2

Решение №3123: Для нахождения точек экстремума функции \( y = -4x^3 + 3x^2 + 36x + 5 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 3x^2 + 36x + 5) = -12x^2 + 6x + 36 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -12x^2 + 6x + 36 = 0 \]
3. Решить квадратное уравнение относительно \( x \):
\[ 12x^2 - 6x - 36 = 0 \]
4. Использовать формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
5. Подставить значения \( a = 12 \), \( b = -6 \), \( c = -36 \):
\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-36)}}{2 \cdot 12} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 1728}}{24} \] \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{1764}}{24} \] \[ x = \frac{6 \pm 42}{24} \]
6. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{6 + 42}{24} = \frac{48}{24} = 2 \] \[ x_2 = \frac{6 - 42}{24} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2} \]
7. Проверить, какие из критических точек являются точками экстремума:
8. Вычислить вторую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d^2}{dx^2}(-4x^3 + 3x^2 + 36x + 5) = -24x + 6 \]
9. Определить знак второй производной в критических точках:
\[ y'(2) = -24 \cdot 2 + 6 = -48 + 6 = -42 \] \[ y'\left(-\frac{3}{2}\right) = -24 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 6 = 36 + 6 = 42 \]
10. Так как \( y'(2) < 0 \), точка \( x = 2 \) является точкой максимума.
11. Так как \( y'\left(-\frac{3}{2}\right) > 0 \), точка \( x = -\frac{3}{2} \) является точкой минимума.

Ответ: x_{max}=2, x_{min}=-\frac{3}{2}

Решение №3128: Для нахождения точек экстремума функции \( y = 2x^2 + 3x + 4 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 + 3x + 4) = 4x + 3 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 4x + 3 = 0 \]
3. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ 4x + 3 = 0 \implies 4x = -3 \implies x = -\frac{3}{4} \]
4. Проверить вторую производную для определения характера критической точки:
\[ y' = \frac{d}{dx}(4x + 3) = 4 \]
5. Поскольку \( y' = 4 > 0 \), критическая точка \( x = -\frac{3}{4} \) является точкой минимума.
6. Вычислить значение функции в точке минимума:
\[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) + 4 \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} + 4 \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{18}{16} - \frac{36}{16} + \frac{64}{16} \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{18 - 36 + 64}{16} \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{46}{16} = \frac{23}{8} \]

Ответ: x_{min}=-\frac{3}{4}

Решение №3129: Для нахождения точек максимумов и минимумов функции \( y = e^{-2x} \sin^2 x \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(e^{-2x} \sin^2 x) \]
2. Использовать правило произведения для дифференцирования:
\[ y' = \left( e^{-2x} \right)' \sin^2 x + e^{-2x} \left( \sin^2 x \right)' \]
3. Найти производные каждой части:
\[ \left( e^{-2x} \right)' = -2e^{-2x} \] \[ \left( \sin^2 x \right)' = 2 \sin x \cos x \]
4. Подставить производные в формулу:
\[ y' = -2e^{-2x} \sin^2 x + e^{-2x} \cdot 2 \sin x \cos x \]
5. Упростить выражение:
\[ y' = e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) \]
6. Приравнять производную к нулю для нахождения критических точек:
\[ e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) = 0 \]
7. Так как \( e^{-2x} \neq 0 \) для всех \( x \), уравнение упрощается до:
\[ -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x = 0 \]
8. Разделить уравнение на 2:
\[ -\sin^2 x + \sin x \cos x = 0 \]
9. Вынести общий множитель \( \sin x \):
\[ \sin x (-\sin x + \cos x) = 0 \]
10. Рассмотреть два случая:
\[ \sin x = 0 \quad \text{или} \quad -\sin x + \cos x = 0 \]
11. Решить первое уравнение:
\[ \sin x = 0 \implies x = n\pi \quad \text{где} \quad n \in \mathbb{Z} \]
12. Решить второе уравнение:
\[ -\sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = \cos x \implies \tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]
13. Определить, какие из этих точек являются точками максимума и минимума:
\[ \text{В точках} \quad x = n\pi \quad \text{значение функции} \quad y = e^{-2n\pi} \sin^2(n\pi) = 0 \] \[ \text{В точках} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{значение функции} \quad y = e^{-2(\frac{\pi}{4} + k\pi)} \sin^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) \]
14. Проверить вторую производную для определения характера критических точек:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( e^{-2x} \left( -2 \sin^2 x + 2 \sin x \cos x \right) \right) \]
15. Дифференцировать и упростить выражение:
\[ y' = e^{-2x} \left( 4 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x - 4 \cos^2 x \right) \]
16. Определить знак второй производной в критических точках:
\[ \text{Для} \quad x = n\pi \quad y' = e^{-2n\pi} \left( 4 \sin^2(n\pi) - 4 \sin(n\pi) \cos(n\pi) - 4 \cos^2(n\pi) \right) = -4e^{-2n\pi} < 0 \] \[ \text{Для} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad y' = e^{-2(\frac{\pi}{4} + k\pi)} \left( 4 \sin^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) - 4 \sin(\frac{\pi}{4} + k\pi) \cos(\frac{\pi}{4} + k\pi) - 4 \cos^2(\frac{\pi}{4} + k\pi) \right) \]
17. Сравнить значения и определить точки максимума и минимума:
\[ \text{Точки} \quad x = n\pi \quad \text{являются точками максимума} \] \[ \text{Точки} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{являются точками минимума} \]

Ответ: x_{min}=\pi n, n\in Z; x_{max}=\frac{\pi }{4}+\pi k, k,n\in Z

Решение №3136: Для нахождения экстремумов функции \( y = x^5 - 5x^4 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^5 - 5x^4) = 5x^4 - 20x^3 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 5x^4 - 20x^3 = 0 \]
3. Вынести общий множитель:
\[ x^3(5x - 20) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x^3 = 0 \quad \text{или} \quad 5x - 20 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 4 \]
5. Проверить, являются ли найденные точки экстремумами, используя вторую производную \( y' \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(5x^4 - 20x^3) = 20x^3 - 60x^2 \]
6. Вычислить вторую производную в критических точках:
\[ y'(0) = 20(0)^3 - 60(0)^2 = 0 \] \[ y'(4) = 20(4)^3 - 60(4)^2 = 20 \cdot 64 - 60 \cdot 16 = 1280 - 960 = 320 \]
7. Анализ второй производной:
\[ y'(0) = 0 \quad \text{(не определяет экстремум)} \] \[ y'(4) > 0 \quad \text{(минимальная точка)} \]
8. Проверить значения функции в критических точках:
\[ y(0) = 0^5 - 5 \cdot 0^4 = 0 \] \[ y(4) = 4^5 - 5 \cdot 4^4 = 1024 - 5 \cdot 256 = 1024 - 1280 = -256 \]
9. Сравнить значения функции в критических точках:
\[ \text{Минимальное значение: } y(4) = -256 \] \[ \text{Максимальное значение: } y(0) = 0 \]

Ответ: y_{max}=y(0)=0, y_{min}=y(4)=-256

Решение №3137: Для нахождения экстремумов функции \( y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)(1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 2)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x - 2x + 2 - x^2 + 2x - 2}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 2}{(x - 1)^2} \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{x^2 - 2}{(x - 1)^2} = 0 \] \[ x^2 - 2 = 0 \] \[ x^2 = 2 \] \[ x = \pm \sqrt{2} \]
3. Проверить, какие из критических точек попадают в область определения функции \( y \):
Функция \( y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1} \) не определена при \( x = 1 \). Критические точки \( x = \pm \sqrt{2} \) не попадают в точку разрыва, поэтому они допустимы.
4. Проверить, являются ли критические точки экстремумами, используя вторую производную или знакопостоянство первой производной:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 2}{(x - 1)^2} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(2x)(x - 1)^2 - (x^2 - 2)(2(x - 1))}{(x - 1)^4} \] \[ y' = \frac{2x(x - 1)^2 - 2(x^2 - 2)(x - 1)}{(x - 1)^4} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 - 2x + 1) - 2(x^3 - 2x)}{(x - 1)^3} \] \[ y' = \frac{2x^3 - 4x^2 + 2x - 2x^3 + 4x}{(x - 1)^3} \] \[ y' = \frac{-4x^2 + 6x}{(x - 1)^3} \] Проверим знак второй производной в критических точках: \[ y'(\sqrt{2}) = \frac{-4(\sqrt{2})^2 + 6\sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)^3} = \frac{-8 + 6\sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)^3} \] \[ y'(-\sqrt{2}) = \frac{-4(-\sqrt{2})^2 + 6(-\sqrt{2})}{(-\sqrt{2} - 1)^3} = \frac{-8 - 6\sqrt{2}}{(-\sqrt{2} - 1)^3} \] Оба значения второй производной в критических точках не равны нулю, что указывает на экстремум.
5. Определить, являются ли критические точки точками минимума или максимума:
Для \( x = \sqrt{2} \): \[ y'(\sqrt{2}) = \frac{-8 + 6\sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)^3} \] Поскольку значение второй производной положительно, \( x = \sqrt{2} \) является точкой минимума. Для \( x = -\sqrt{2} \): \[ y'(-\sqrt{2}) = \frac{-8 - 6\sqrt{2}}{(-\sqrt{2} - 1)^3} \] Поскольку значение второй производной отрицательно, \( x = -\sqrt{2} \) является точкой максимума.

Ответ: y_{max}=y(0)=-2, y_{min}=y(2)=2

Решение №3138: Для нахождения экстремумов функции \( y = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 7 \), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x^2 - 18x + 7) = 6x^2 - 12x - 18 \]
2. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ 6x^2 - 12x - 18 = 0 \]
3. Упростим уравнение, разделив все члены на 6:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
4. Решим квадратное уравнение, используя формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
5. Подставим коэффициенты \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \):
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \]
6. Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
7. Проверим значения функции в критических точках \( x = 3 \) и \( x = -1 \):
\[ y(3) = 2(3)^3 - 6(3)^2 - 18(3) + 7 = 2 \cdot 27 - 6 \cdot 9 - 54 + 7 = 54 - 54 - 54 + 7 = -47 \] \[ y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1)^2 - 18(-1) + 7 = 2 \cdot (-1) - 6 \cdot 1 + 18 + 7 = -2 - 6 + 18 + 7 = 17 \]
8. Для определения характера экстремумов, найдем вторую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 12x - 18) = 12x - 12 \]
9. Подставим критические точки в вторую производную:
\[ y'(3) = 12 \cdot 3 - 12 = 36 - 12 = 24 > 0 \quad \text{(минимум)} \] \[ y'(-1) = 12 \cdot (-1) - 12 = -12 - 12 = -24 < 0 \quad \text{(максимум)} \]
10. Таким образом, функция имеет минимум в точке \( x = 3 \) и максимум в точке \( x = -1 \).

Ответ: y_{max}=y(-1)=17, y_{min}=y(3)=-47