№3128
Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Монотонность функций,
Задача в следующих классах: 11 класс
Сложность задачи : 1
Задача встречается в следующей книге:
Условие
Найти точки экстремума функций\(y=2x^{2}+3x+4\)
Ответ
x_{min}=-\frac{3}{4}
Решение № 3128:
Для нахождения точек экстремума функции \( y = 2x^2 + 3x + 4 \), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 + 3x + 4) = 4x + 3 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ 4x + 3 = 0 \] <li> Решить уравнение относительно \( x \): </li> \[ 4x + 3 = 0 \implies 4x = -3 \implies x = -\frac{3}{4} \] <li> Проверить вторую производную для определения характера критической точки: </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(4x + 3) = 4 \] <li> Поскольку \( y' = 4 > 0 \), критическая точка \( x = -\frac{3}{4} \) является точкой минимума. </li> <li> Вычислить значение функции в точке минимума: </li> \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) + 4 \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(\frac{9}{16}\right) - \frac{9}{4} + 4 \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{18}{16} - \frac{36}{16} + \frac{64}{16} \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{18 - 36 + 64}{16} \] \[ y\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{46}{16} = \frac{23}{8} \] </ol> Ответ: <br> Точка минимума: \( x = -\frac{3}{4} \) <br> Значение функции в точке минимума: \( y\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{23}{8} \)