№3098

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=\sqrt[3]{x^{2}}(x-1)\) на отрезке \(\left [ \frac{1}{1000};1 \right ]\)

Ответ

\underset{\left [ \frac{1}{1000};1 \right ]}{max} y(x)=0; \underset{[ \frac{1}{1000};1 \right ]}{min} y(x)=-\frac{3}{5}\sqrt[3]{\frac{4}{25}}

Решение № 3098:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) \) на отрезке \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y = \sqrt[3]{x^2}(x-1) = x^{2/3}(x-1) \] \[ y' = \frac{d}{dx}\left(x^{2/3}(x-1)\right) \] Используем правило произведения: \[ y' = \left(x^{2/3}\right)'(x-1) + x^{2/3}(x-1)' \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{-1/3}(x-1) + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{2}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} + x^{2/3} \] \[ y' = \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{2}{3}x^{-1/3} = 0 \] Умножим обе части на \( 3x^{1/3} \): \[ 5x - 2 = 0 \] \[ 5x = 2 \] \[ x = \frac{2}{5} \] <li> Проверить, какие из критических точек попадают в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\): Критическая точка \( x = \frac{2}{5} \) попадает в отрезок \(\left [ \frac{1}{1000}; 1 \right ]\). </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка: \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{1}{1000}\right)^2}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(\frac{1}{1000} - 1\right) = \frac{1}{100}\left(-\frac{999}{1000}\right) = -\frac{999}{100000} \] \[ y\left(\frac{2}{5}\right) = \sqrt[3]{\left(\frac{2}{5}\right)^2}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(\frac{2}{5} - 1\right) = \left(\frac{2}{5}\right)^{2/3}\left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3} \] \[ y(1) = \sqrt[3]{1^2}(1-1) = 0 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: \[ y\left(\frac{1}{1000}\right) = -\frac{999}{100000} \] \[ y\left(\frac{2}{5}\right) = -\frac{3}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2/3} \] \[ y(1) = 0 \] </li> <li> Наибольшее значение: \( 0 \) </li> <li> Наименьшее значение: \( -\frac{999}{100000} \) </li> </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 0 \) <br> Наименьшее значение: \( -\frac{999}{100000} \)