№3097

Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, Дифференцирование функций, Приложения производной, Наибольшее и наименьшее значения функции,

Задача в следующих классах: 11 класс

Сложность задачи : 1

Задача встречается в следующей книге:

Условие

Найти наибольшее и наименьшее значение функции\(y=-2x^{3}-3x^{2}-36x+10\) на отрезке \([-5;4]\)

Ответ

\underset{[-5;4]}{max} y(x)=54; \underset{[-5;4]}{min} y(x)=-71

Решение № 3097:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2x^3 - 3x^2 - 36x + 10 \) на отрезке \([-5; 4]\), необходимо выполнить следующие шаги: <ol> <li> Найти производную функции \( y \): </li> \[ y' = \frac{d}{dx}(-2x^3 - 3x^2 - 36x + 10) = -6x^2 - 6x - 36 \] <li> Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \): </li> \[ -6x^2 - 6x - 36 = 0 \] <li> Упростить уравнение, разделив на \(-6\): </li> \[ x^2 + x + 6 = 0 \] <li> Решить квадратное уравнение \( ax^2 + bx + c = 0 \): </li> \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] <li> Подставить значения \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = 6 \): </li> \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-23}}{2} \] <li> Поскольку дискриминант отрицателен ( \( \sqrt{-23} \) ), уравнение не имеет реальных корней. Следовательно, критических точек внутри отрезка нет. </li> <li> Вычислить значения функции \( y \) на концах отрезка: </li> \[ y(-5) = -2(-5)^3 - 3(-5)^2 - 36(-5) + 10 = -2(-125) - 3(25) + 180 + 10 = 250 - 75 + 180 + 10 = 365 \] \[ y(4) = -2(4)^3 - 3(4)^2 - 36(4) + 10 = -2(64) - 3(16) - 144 + 10 = -128 - 48 - 144 + 10 = -310 \] <li> Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: </li> \[ \text{Наибольшее значение: } y(-5) = 365 \] \[ \text{Наименьшее значение: } y(4) = -310 \] </ol> Ответ: <br> Наибольшее значение: \( 365 \) <br> Наименьшее значение: \( -310 \)